Полевая линия

Линии поля, изображающие электрическое поле, созданное положительным зарядом (слева), отрицательным зарядом (в центре) и незаряженным объектом (справа).

Линия поля - это графическое наглядное пособие для визуализации векторных полей . Он состоит из направленной линии, касающейся вектора поля в каждой точке по своей длине. ^{[1] [2]} Схема, показывающая репрезентативный набор соседних линий поля, является распространенным способом изображения векторного поля в научной и математической литературе; это называется диаграммой силовых линий . Они используются для отображения электрических полей , магнитных полей и гравитационных полей среди многих других типов. В механике жидкости линии поля, показывающие скоростьполе течения жидкости называются линиями тока .

Определение и описание [ править ]

На рисунке слева показаны силовые линии электрического поля двух равных положительных зарядов. На рисунке справа показаны силовые линии электрического поля двух одинаковых зарядов разного знака.

Векторное поле определяет направление и величину в каждой точке пространства. Линия поля для этого векторного поля может быть построена, начав с точки и проведя линию через пространство, которая следует направлению векторного поля, сделав линию поля касательной к вектору поля в каждой точке. ^{[3] [2] [1]} Линия поля обычно отображается как направленный сегмент линии со стрелкой, указывающей направление векторного поля. Для двумерных полей силовые линии представляют собой плоские кривые, и большинство диаграмм силовых линий относятся к этому типу. Так как в каждой точке, где оно отлично от нуля и конечно, векторное поле имеет уникальное направление, силовые линии никогда не могут пересекаться, поэтому через каждую точку проходит ровно одна силовая линия, в которой векторное поле ненулевое и конечное. ^{[3] [2]} Точки, в которых поле равно нулю или бесконечности, не проходят через линии поля, поскольку направление не может быть определено там, но могут быть конечными точками линий поля.

Поскольку существует бесконечное количество точек, можно провести бесконечное количество линий поля; но только ограниченное количество может быть показано на диаграмме линий поля. Поэтому то, какие линии поля показывать, выбирает человек или компьютерная программа, которая рисует диаграмму, и одно векторное поле может быть изображено разными наборами линий поля. Диаграмма линий поля обязательно является неполным описанием векторного поля, поскольку она не дает никакой информации о поле между нарисованными линиями поля, и выбор того, сколько и какие линии показывать, определяет, сколько полезной информации дает диаграмма.

Линии поля будут иметь начало в источнике векторного поля, где его дивергенция положительна. Линии поля, которые входят в сток векторного поля, где дивергенция отрицательна, будут иметь свой конец. Линии поля также могут образовывать замкнутые контуры , продолжаться до бесконечности или от бесконечности или продолжаться бесконечно, не замыкаясь на себя. ^{[4] [5]} Отдельная линия поля показывает направление векторного поля, но не его величину . Чтобы также изобразить величинуполя можно нарисовать набор линий поля так, чтобы плотность линий поля (количество линий поля на единицу перпендикулярной площади) в любом месте была пропорциональна величине векторного поля в этой точке. Области, в которых соседние силовые линии сходятся (становятся ближе друг к другу), указывают на усиление поля в этом направлении.

В физике рисунки силовых линий в основном полезны в случаях, когда источники и стоки, если таковые имеются, имеют физический смысл, в отличие, например, от случая силового поля радиальной гармоники . Например, закон Гаусса гласит, что электрическое поле имеет источники на положительных зарядах , опускается на отрицательные заряды и нигде в другом месте, поэтому линии электрического поля начинаются с положительных зарядов и заканчиваются отрицательными зарядами. Гравитационное поле не имеет источников, оно опускается на массы, и у него нет нигде больше, силовые линии гравитационного поля исходят из бесконечности и заканчиваются на массах. Магнитное поле не имеет источников или поглотителей ( закон Гаусса для магнетизма ), так что его силовые линии не имеют ни начала , ни конца: они могуттолько образуют замкнутые петли, простираются до бесконечности в обоих направлениях или продолжаются бесконечно, никогда не пересекая себя. Однако, как указано выше, особая ситуация может возникнуть вокруг точек, где поле равно нулю (которые не могут быть пересечены линиями поля, потому что их направление не было бы определено), и имеет место одновременное начало и конец линий поля. Такая ситуация возникает, например, между двумя одинаковыми положительными точечными электрическими зарядами. Здесь поле исчезает и линии, идущие от зарядов в осевом направлении, заканчиваются. В то же время в поперечной плоскости, проходящей через среднюю точку, радиально расходится бесконечное количество силовых линий. Одновременное наличие линий, заканчивающихся и начинающихся, сохраняет бездивергентный характер поля в точке. ^[5]

Обратите внимание, что для этого типа чертежа, где плотность силовых линий должна быть пропорциональна величине поля, важно представить все три измерения. Например, рассмотрим электрическое поле, возникающее от одиночного изолированного точечного заряда . Силовые линии электрического поля в этом случае представляют собой прямые линии, исходящие от заряда равномерно во всех направлениях в трехмерном пространстве. Это означает, что их плотность пропорциональна , правильный результат соответствует закону Кулона для этого случая. Однако, если бы силовые линии электрического поля для этой установки были бы просто нарисованы на двумерной плоскости, их двумерная плотность была бы пропорциональна неправильному результату для этой ситуации. ^[6]${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$${\ displaystyle 1 / r}$

Строительство [ править ]

Учитывая векторное поле и начальную точку, линия поля может быть построена итеративно, найдя вектор поля в этой точке . Блок касательный вектор в этой точке: . Переместившись на небольшое расстояние в направлении поля, можно найти новую точку на линии.${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x})}$${\ Displaystyle \ mathbf {х} _ {\ текст {0}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ текст {0}})}$${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ text {0}}) / | \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ text {0}}) |}$${\ displaystyle ds}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ text {1}} = \ mathbf {x} _ {\ text {0}} + {\ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ text {0} }) \ over | \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ text {0}}) |} ds}$

Затем находится поле в этой точке, и, перемещаясь на большее расстояние в этом направлении, находится следующая точка линии поля. В каждой точке следующую точку можно найти по${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ текст {1}})}$${\ displaystyle ds}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {\ текст {2}})}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i}}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i+1}}=\mathbf {x} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}})|}ds}$

Повторяя это и соединив точки, полевая линия может быть увеличена настолько, насколько это необходимо. Это только приближение к фактической линии поля, поскольку каждый прямой сегмент на самом деле не касается поля по его длине, а только в его начальной точке. Но при использовании достаточно малого значения для большего числа более коротких шагов линия поля может быть аппроксимирована настолько точно, насколько это необходимо. Силовую линию можно удлинить в противоположном направлении , делая каждый шаг в противоположном направлении, используя отрицательный шаг .${\displaystyle ds}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$${\displaystyle -ds}$

Примеры [ править ]

Если векторное поле описывает скорость поля , то силовые линии следуют линиям тока в потоке. Возможно, наиболее известным примером векторного поля, описываемого силовыми линиями, является магнитное поле , которое часто изображается с помощью силовых линий, исходящих от магнита .

Дивергенция и завиток [ править ]

Линии поля можно использовать для отслеживания знакомых величин из векторного исчисления :

• Дивергенцию можно легко увидеть через силовые линии, если предположить, что линии нарисованы так, что плотность силовых линий пропорциональна величине поля (см. Выше). В этом случае расхождение можно рассматривать как начало и конец силовых линий. Если векторное поле является результатом радиальных полей закона обратных квадратов по отношению к одному или нескольким источникам, то это соответствует тому факту, что расходимость такого поля равна нулю вне источников. В соленоидальном векторном поле(т. е. векторное поле, где дивергенция всюду равна нулю), силовые линии не начинаются и не заканчиваются; они либо образуют замкнутые петли, либо уходят в бесконечность в обоих направлениях. Если векторное поле имеет положительную дивергенцию в некоторой области, линии поля будут начинаться из точек в этой области. Если векторное поле имеет отрицательную дивергенцию в некоторой области, линии поля будут оканчиваться в точках в этой области.
• Теорема Кельвина – Стокса показывает, что силовые линии векторного поля с нулевым ротором (т. Е. Консервативного векторного поля , например гравитационного или электростатического поля ) не могут быть замкнутыми контурами. Другими словами, curl всегда присутствует, когда линия поля образует замкнутую петлю. Он может присутствовать и в других ситуациях, например, при спиральной форме силовых линий.

Физическое значение [ править ]

Хотя силовые линии представляют собой «простую» математическую конструкцию, в некоторых случаях они приобретают физическое значение. В механике жидкости линии поля скорости (линии тока ) в установившемся потоке представляют пути движения частиц жидкости. В контексте физики плазмы , электронами или ионами , которые происходят , чтобы быть на одной и той же линии поля взаимодействуют сильно, в то время как частицы на разных силовых линий вообще не взаимодействуют. Такое же поведение проявляют частицы железной опилки в магнитном поле.

Железные опилки на фото кажутся выстраивающимися по дискретным силовым линиям, но ситуация более сложная. Это легко представить как двухэтапный процесс: во-первых, опилки равномерно распределяются по магнитному полю, но все выровнены в направлении поля. Затем, в зависимости от масштаба и ферромагнитных свойств опилок, они ослабляют поле с обеих сторон, создавая видимые промежутки между линиями, которые мы видим. ^{[ необходима цитата ]} Конечно, описанные здесь две стадии происходят одновременно, пока не будет достигнуто равновесие. Поскольку собственный магнетизм опилок изменяет поле, линии, показанные опилками, являются лишь приближением силовых линий исходного магнитного поля. Магнитные поля непрерывны и не имеют дискретных линий.

См. Также [ править ]

• Силовое поле (физика)
• Полевые линии множеств Юлии
• Внешний луч - силовые линии потенциала Дуади – Хаббарда множества Мандельброта или заполненных множеств Жюлиа
• Силовая линия
• Векторное поле

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме полевых диаграмм .

• Интерактивный Java-апплет, показывающий силовые линии электрического поля выбранных пар зарядов. Автор Вольфганг Бауэр.
• Примечания к курсу «Визуализация полей, расхождения и завитка» из курса Массачусетского технологического института.