Касательная

Касательно кривой. Красная линия касается кривой в точке, отмеченной красной точкой.

Касательная плоскость к сфере

В геометрии , то линия тангенса (или просто касательной ) к плоской кривой в заданной точке является прямой линией , что «только касается» кривой в этой точке. Лейбниц определил ее как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой. ^[1] Точнее, прямая линия называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c, если прямая проходит через точку ( c , f ( c ))на кривой и имеет наклон f ' ( c ) , где f ' - производная от f . Аналогичное определение применяется к пространственным кривым и кривым в n- мерном евклидовом пространстве .

Проходя через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания , касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке. точка.

Точно так же касательная плоскость к поверхности в данной точке - это плоскость, которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной - одно из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии, которое было широко обобщено; см. Касательное пространство .

Слово «касательная» происходит от латинского tangere , «касаться».

История [ править ]

Евклид делает несколько ссылок на касательную ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) к кругу в книге III Элементов (ок. 300 г. до н. Э.). ^[2] В работе Аполлония « Коники» (ок. 225 г. до н.э.) он определяет касательную как линию, между которой и кривой не может проходить никакая другая прямая линия . ^[3]

Архимед (ок. 287 - ок. 212 до н. Э.) Нашел касательную к архимедовой спирали , рассматривая путь точки, движущейся по кривой. ^[3]

В 1630-х годах Ферма разработал технику адекватности для вычисления касательных и других задач анализа и использовал ее для вычисления касательных к параболе. Техника адекватности подобна разнице между и и делению на степень . Самостоятельно Декарт использовал свой метод нормалей, основанный на наблюдении, что радиус круга всегда нормален к самому кругу. ^[4]${\ Displaystyle f (х + ч)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle h}$

Эти методы привели к развитию дифференциального исчисления в 17 веке . Многие люди внесли свой вклад. Роберваль открыл общий метод рисования касательных, рассматривая кривую, описываемую движущейся точкой, движение которой является результатом нескольких более простых движений. ^[5] Рене-Франсуа де Слюз и Йоханнес Худде нашли алгебраические алгоритмы для поиска касательных. ^[6] Дальнейшие разработки включали разработки Джона Уоллиса и Исаака Барроу , приведшие к теории Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница .

Определение касательной в 1828 году было «прямой линией, которая касается кривой, но не пересекает ее». ^[7] Это старое определение предотвращает касание точек перегиба . Это было отклонено, и современные определения эквивалентны определениям Лейбница , который определил касательную линию как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой.

Касательная линия к кривой [ править ]

Интуитивное представление о том, что касательная линия «касается» кривой, можно сделать более явным, если рассмотреть последовательность прямых линий ( секущих ), проходящих через две точки A и B , лежащие на функциональной кривой. Касательный в А является пределом , когда точка B приближается или стремится к А . Существование и уникальность касательной зависит от определенного типа математической гладкости, известной как «дифференцируемость». Например, если две дуги окружности пересекаются в острой точке (вершине), тогда нет однозначно определенной касательной в вершине, потому что предел движения секущих линий зависит от направления, в котором «точка B"приближается к вершине.

В большинстве точек касательная касается кривой, не пересекая ее (хотя при продолжении может пересекать кривую в других местах, удаленных от точки касательной). Точка, где касательная (в этой точке) пересекает кривую, называется точкой перегиба . Круги , параболы , гиперболы и эллипсы не имеют какой - либо точки перегиба, но более сложные кривые , действительно имеют, как график в кубической функции , которая имеет ровно одну точку перегиба, или синусоиды, который имеет две точки перегиба на каждый период из синус .

И наоборот, может случиться так, что кривая целиком лежит на одной стороне прямой линии, проходящей через точку на ней, и все же эта прямая линия не является касательной. Это имеет место, например, для прямой, проходящей через вершину треугольника и не пересекающей ее в противном случае, когда касательная линия не существует по причинам, объясненным выше. В выпуклой геометрии такие линии называются опорными линиями .

Аналитический подход [ править ]

Геометрическая идея касательной линии как границы секущих служит мотивацией для аналитических методов, которые используются для явного нахождения касательных линий. Вопрос о нахождении касательной к графу или проблема касательной линии был одним из центральных вопросов, приведших к развитию математического анализа в 17 веке. Во второй книге своей геометрии , Рене Декарт ^[8] говорит о задаче построения касательной к кривой, «И я осмелюсь сказать , что это не только самая полезная и самая общая проблема в геометрии , что я знаю, но даже что я когда-либо хотел знать ". ^[9]

Интуитивное описание [ править ]

Предположим , что кривая задана в виде графика в функции , у = п ( х ). Чтобы найти касательную в точке p = ( a , f ( a )), рассмотрим другую ближайшую точку q = ( a + h , f ( a + h )) на кривой. Наклон в секущей линии , проходящей через р и д равна разности фактор

${\ displaystyle {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}$

Когда точка q приближается к p , что соответствует уменьшению и уменьшению h , коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению k , которое представляет собой наклон касательной в точке p . Если k известно, уравнение касательной можно найти в форме точки наклона:

${\ Displaystyle уф (а) = к (ха). \,}$

Более подробное описание [ править ]

Чтобы сделать предыдущее рассуждение строгим, необходимо объяснить, что имеется в виду под коэффициентом разности, приближающимся к определенному предельному значению k . Точная математическая формулировка была дана Коши в 19 ​​веке и основана на понятии предела . Предположим, что граф не имеет излома или острого края в точке p, и он не является ни вертикальным, ни слишком изгибающимся рядом с точкой p . Тогда существует уникальное значение k, такое, что, когда h приближается к 0, коэффициент разности становится все ближе и ближе к k , а расстояние между ними становится незначительным по сравнению с размером h , если hдостаточно мала. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела разностных коэффициентов для функции f . Этот предел является производной функции f при x = a , обозначенной f  ′ ( a ). Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом:

${\ Displaystyle у = е (а) + е '(а) (ха). \,}$

Исчисление предоставляет правила для вычисления производных функций, которые задаются формулами, таких как степенная функция , тригонометрические функции , экспоненциальная функция , логарифм и их различные комбинации. Таким образом, уравнения касательных к графикам всех этих функций, как и многих других, можно найти методами исчисления.

Как метод может потерпеть неудачу [ править ]

Исчисление также показывает, что на их графиках есть функции и точки, для которых не существует предела, определяющего наклон касательной. Для этих точек функции F является недифференцируем . Есть две возможные причины того, что метод нахождения касательных на основе пределов и производных не сработает: либо геометрическая касательная существует, но это вертикальная линия, которую нельзя представить в форме точечного уклона, поскольку у нее нет наклон, или график демонстрирует одно из трех поведений, исключающих геометрическую касательную.

График y = x ^1/3 иллюстрирует первую возможность: здесь коэффициент разности при a = 0 равен h ^1/3 / h = h ^−2/3 , который становится очень большим, когда h приближается к 0. Эта кривая имеет касательная линия в начале координат, которая вертикальна.

График y = x ^2/3 иллюстрирует другую возможность: у этого графа есть острие в начале координат. Это означает, что, когда h приближается к 0, коэффициент разности при a = 0 приближается к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака x . Таким образом, обе ветви кривой находятся вблизи полувертикальной линии, для которой y = 0, но ни одна не находится рядом с отрицательной частью этой прямой. По сути, в этом случае нет касательной в начале координат, но в некотором контексте можно рассматривать эту прямую как касательную и даже, в алгебраической геометрии , как двойную касательную .

График y = | х | функции абсолютного значения состоит из двух прямых с разными наклонами, соединенных в начале координат. Когда точка q приближается к началу координат справа, секущая линия всегда имеет наклон 1. Когда точка q приближается к началу координат слева, секущая линия всегда имеет наклон -1. Следовательно, нет единственной касательной к графу в начале координат. Наличие двух разных (но конечных) уклонов называется углом .

Наконец, поскольку дифференцируемость предполагает непрерывность, разрывность контрапозитивных состояний подразумевает недифференцируемость. Любой такой скачок или точечный разрыв не будет иметь касательной. Это включает в себя случаи, когда один наклон приближается к положительной бесконечности, а другой - к отрицательной бесконечности, что приводит к бесконечному разрыву скачка.

Уравнения [ править ]

Когда кривая задается формулой y = f ( x ), тогда наклон касательной таков, что по формуле угла наклона точка-наклон уравнение касательной прямой в точке ( X ,  Y ) имеет вид${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}},}$

${\ Displaystyle yY = {\ гидроразрыва {dy} {dx}} (X) \ cdot (xX)}$

где ( x ,  y ) - координаты любой точки на касательной, и где вычисляется производная . ^[10]${\displaystyle x=X}$

Когда кривая задается формулой y = f ( x ), уравнение касательной линии также можно найти ^[11] , используя полиномиальное деление для деления на ; если остаток обозначен как , то уравнение касательной имеет вид${\displaystyle f\,(x)}$${\displaystyle (x-X)^{2}}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

Когда уравнение кривой задано в форме f ( x ,  y ) = 0, тогда значение наклона может быть найдено неявным дифференцированием , давая

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.}$

Уравнение касательной в точке ( X , Y ) такой, что f ( X , Y ) = 0, тогда будет ^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.}$

Это уравнение остается верным, если но (в этом случае наклон касательной бесконечен). Если касательная не определена, а точка ( X , Y ) называется особой .${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

Для алгебраических кривых вычисления могут быть несколько упрощены путем преобразования в однородные координаты . В частности, пусть однородное уравнение кривой имеет вид g ( x ,  y ,  z ) = 0, где g - однородная функция степени n . Тогда, если ( X ,  Y ,  Z ) лежит на кривой, из теоремы Эйлера следует

$${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

Уравнение касательной в декартовых координатах можно найти, задав в этом уравнении z = 1. ^[12]

Чтобы применить это к алгебраическим кривым, запишите f ( x ,  y ) как

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

где каждый u _r является суммой всех членов степени r . Тогда однородное уравнение кривой имеет вид

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

Применение приведенного выше уравнения и установка z = 1 дает

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

как уравнение касательной. ^[13] Уравнение в этой форме часто проще использовать на практике, поскольку после его применения не требуется дальнейшего упрощения. ^[12]

Если кривая задана параметрически с помощью

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

то наклон касательной равен

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}}$

давая уравнение для касательной в виде ^[14]${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

Если касательная не определена. Однако может случиться так, что касательная линия существует и может быть вычислена из неявного уравнения кривой.${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

Нормальная линия к кривой [ править ]

Линия, перпендикулярная касательной к кривой в точке касания, называется нормальной линией к кривой в этой точке. Наклоны перпендикулярных прямых имеют произведение −1, поэтому, если уравнение кривой имеет вид y = f ( x ), то наклон нормальной прямой равен

${\displaystyle -{\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}}$

и отсюда следует, что уравнение нормальной прямой в точке (X, Y) имеет вид

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

Аналогично, если уравнение кривой имеет вид f ( x ,  y ) = 0, то уравнение нормальной прямой имеет вид ^[15]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

Если кривая задана параметрически

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

тогда уравнение нормальной прямой имеет вид ^[14]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

Угол между кривыми [ править ]

Угол между двумя кривыми в точке их пересечения определяется как угол между их касательными линиями в этой точке. Более конкретно, две кривые называются касательными в точке, если они имеют одинаковую касательную в точке, и ортогональными, если их касательные линии ортогональны. ^[16]

Множественные касательные в точке [ править ]

Формулы выше не работают, когда точка является особой точкой . В этом случае через точку могут проходить две или более ветви кривой, каждая из которых имеет свою касательную линию. Когда точка является началом координат, уравнения этих линий могут быть найдены для алгебраических кривых путем факторизации уравнения, образованного путем исключения всех членов, кроме членов самой низкой степени, из исходного уравнения. Поскольку любая точка может быть сделана началом координат путем замены переменных (или сдвига кривой), это дает метод нахождения касательных линий в любой особой точке.

Например, уравнение трисектрисы лимака, показанной справа, имеет вид

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Расширение этого и исключение всех, кроме членов степени 2, дает

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

который при факторинге становится

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

Итак, это уравнения двух касательных, проходящих через начало координат. ^[17]

Когда кривая не является самопересекающейся, касательная в контрольной точке все же может быть не определена однозначно, поскольку кривая не дифференцируема в этой точке, хотя она дифференцируема в другом месте. В этом случае левая и правая производные определяются как пределы производной, поскольку точка, в которой она оценивается, приближается к контрольной точке соответственно слева (более низкие значения) или справа (более высокие значения). Например, кривая y = | х | не дифференцируема при x = 0: его левая и правая производные имеют наклоны -1 и 1 соответственно; касательные в этой точке с этими наклонами называются левой и правой касательной. ^[18]

Иногда наклоны левой и правой касательных равны, поэтому касательные совпадают. Это верно, например, для кривой y = x ^2/3 , для которой левая и правая производные при x = 0 бесконечны; и левая, и правая касательные имеют уравнение x = 0.

Касательные круги [ править ]

Два круга неравного радиуса, оба в одной плоскости, называются касательными друг к другу, если они встречаются только в одной точке. Эквивалентно, две окружности , с радиусом от г _я и центрами в точке ( х _я , у _я ), для я  = 1, 2, называется касательным друг к другу , если

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.\,}$

• Две окружности касаются внешне, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.\,}$

• Две окружности касаются изнутри, если расстояние между их центрами равно разнице между их радиусами. ^[19]

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.\,}$

Поверхности и многомерные многообразия [ править ]

Касательная плоскость к поверхности в данной точке р определяется аналогичным образом к касательной в случае кривых. Это наилучшее приближение поверхности плоскостью в точке p и может быть получено как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различных точки на поверхности, близких к точке p, когда эти точки сходятся к точке p . В более общем смысле, существует k -мерное касательное пространство в каждой точке k -мерного многообразия в n -мерном евклидовом пространстве .

См. Также [ править ]

• Метод Ньютона
• Нормальный (геометрия)
• Оскулирующий круг
• Оскулирующая кривая
• Перпендикуляр
• Подкасательная
• Линия поддержки
• Касательный конус
• Тангенциальный угол
• Тангенциальная составляющая
• Касательные линии к окружностям
• Кратность (математика) # Поведение полиномиальной функции около кратного корня
• Алгебраическая кривая # Касательная в точке

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 143 и сл  .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме касательности .

В Wikisource есть текст статьи Tangent из энциклопедии Кольера 1921 года .

• «Касательная линия» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Касательная линия» . MathWorld .
• Касательная к кругу С интерактивной анимацией
• Касательная и первая производная - интерактивное моделирование