Линия (геометрия)

Красная и синяя линии на этом графике имеют одинаковый наклон (градиент) ; красная и зеленая линии имеют одинаковую точку пересечения по оси Y (ось Y пересекается в одном месте).

Представление одного линейного сегмента .

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Область Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадратный Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Область
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В геометрии понятие прямой или прямой было введено древними математиками для представления прямых объектов (т. Е. Не имеющих кривизны ) с незначительной шириной и глубиной. Линии - это идеализация таких объектов, которые часто описываются двумя точками (например, ) или упоминаются с помощью одной буквы (например, ). ^{[1] [2]}${\ displaystyle {\ overleftrightarrow {AB}}}$${\ displaystyle \ ell}$

До 17 века линии определялись как «первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и представляет собой не что иное, как поток или пробег точки, которая [...] ...] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением любой ширины. [...] Прямая линия - это линия, которая одинаково простирается между ее точками ". ^[3]

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе»; он ввел несколько постулатов в качестве основных недоказуемых свойств, из которых он построил всю геометрию, которая теперь называется евклидовой геометрией, чтобы избежать путаницы с другими геометриями, которые были введены с конца 19 века (такими как неевклидова , проективная и аффинная геометрия). ).

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , но в более абстрактных условиях, таких как геометрия падения , линия может быть независимым объектом, отличным от множество точек, лежащих на нем.

Когда геометрия описывается набором аксиом , понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Свойства линий затем определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линию можно интерпретировать как геодезическую (кратчайший путь между точками), в то время как в некоторых проективных геометриях линия представляет собой двумерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость также выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам думать о пути светового луча как о линии.

Определения против описаний [ править ]

Все определения в конечном итоге имеют круговой характер, поскольку они зависят от понятий, которые сами должны иметь определения, зависимость, которая не может продолжаться бесконечно, не возвращаясь к исходной точке. Чтобы избежать этого порочного круга, некоторые концепции следует воспринимать как примитивные ; термины, которым не дано определения. ^[4] В геометрии понятие линии часто используется как примитив. ^[5] В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии , некоторые другие фундаментальные идеи принимаются как примитивы. Когда концепция линии является примитивной, поведение и свойства линий продиктованы аксиомами которые они должны удовлетворить.

При неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы иметь дело с ней. В этом случае можно дать описание или мысленный образ примитивного понятия, чтобы дать основу для построения понятия, на котором формально базировались бы (неустановленные) аксиомы. Некоторые авторы называют описания этого типа определениями в этом неформальном стиле изложения. Это неверные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» линии в «Элементах» Евклида попадает в эту категорию. ^[6] Даже в том случае, если рассматривается конкретная геометрия (например, евклидова геометрия), среди авторов нет общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание строки, когда предмет не рассматривается формально.

В евклидовой геометрии [ править ]

Когда Евклид впервые формализовал геометрию в « Элементах» , он определил общую линию (прямую или изогнутую) как «неширокую длину», при этом прямая линия была линией, «которая равномерно лежит с точками на себе». ^[7] Эти определения не имеют большого смысла, поскольку в них используются термины, которые сами по себе не определены. Фактически, сам Евклид не использовал эти определения в этой работе и, вероятно, включил их только для того, чтобы прояснить читателю, о чем идет речь. В современной геометрии, линия просто взята в качестве неопределенного объекта с заданными свойствами с помощью аксиом , ^[8] , но иногда определяется как набор точек , подчиняющихся линейная зависимость , когда какая -либо другая фундаментальная концепция остается неопределенной.

В аксиоматической формулировке евклидовой геометрии, такой как геометрия Гильберта (исходные аксиомы Евклида содержали различные недостатки, которые были исправлены современными математиками) ^[9], линия утверждается, что она имеет определенные свойства, которые связывают ее с другими линиями и точками . Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные линии пересекаются не более чем в одной точке. ^[10] В двух измерениях (т. Е. На евклидовой плоскости ) две прямые, которые не пересекаются, называются параллельными . В более высоких измерениях две прямые, которые не пересекаются, параллельны, если они содержатся в плоскости., или перекос, если это не так.

Любой набор из конечного числа прямых разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); это разделение известно как расположение линий .

В декартовых координатах [ править ]

Линии на декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах , характеризуются линейными уравнениями . Точнее, каждая линия (включая вертикальные линии) - это набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют линейному уравнению ; это,${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ {(х, у) \ середина топора + по = с \},}$

где a , b и c - фиксированные действительные числа (называемые коэффициентами ), так что a и b не равны нулю. В этой форме вертикальные линии соответствуют уравнениям с b = 0.

Далее можно предположить либо c = 1, либо c = 0 , разделив все на c, если оно не равно нулю.

Есть много различных способов написать уравнение линии, которые можно преобразовать из одного в другое с помощью алгебраических манипуляций. Приведенную выше форму иногда называют стандартной формой . Если поставить постоянный член слева, уравнение станет

${\ displaystyle ax + by-c = 0,}$

и это иногда называют общей формой уравнения. Однако эта терминология не является общепринятой, и многие авторы не различают эти две формы.

Эти формы ( другие формы см. В разделе « Линейное уравнение» ) обычно называются по типу информации (данных) о строке, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии - это ее наклон, точка пересечения по оси x , известные точки на линии и точка пересечения по оси Y.

Уравнение прямой , проходящей через две различные точки и может быть записана в виде${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$${\ Displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$

${\ displaystyle (y-y_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) = (y_ {1} -y_ {0}) (x-x_ {0})}$.

Если x ₀ ≠ x ₁ , это уравнение можно переписать как

${\ displaystyle y = (x-x_ {0}) \, {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + y_ {0}}$

или же

${\ displaystyle y = x \, {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + {\ frac {x_ {1} y_ {0} -x_ {0} -x_ { 0} y_ {1}} {x_ {1} -x_ {0}}} \ ,.}$

Параметрические уравнения [ править ]

Параметрические уравнения также используются для задания линий, особенно в трех или более измерениях, поскольку линии в более чем двух измерениях не могут быть описаны одним линейным уравнением.

В трех измерениях линии часто описываются параметрическими уравнениями:

${\ displaystyle x = x_ {0} + at}$

${\ displaystyle y = y_ {0} + bt}$

${\ displaystyle z = z_ {0} + ct}$

где:

x , y и z - все функции независимой переменной t, которая принимает значения действительных чисел.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) - любая точка на прямой.

a , b и c связаны с наклоном линии, так что вектор направления ( a , b , c ) параллелен прямой.

Параметрические уравнения для линий в более высоких измерениях аналогичны тем, что они основаны на задании одной точки на линии и вектора направления.

В качестве примечания, линии в трех измерениях также могут быть описаны как одновременные решения двух линейных уравнений

${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z-d_ {1} = 0}$

${\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z-d_ {2} = 0}$

такие, что и не пропорциональны (отношения подразумевают ). Это следует из того, что в трех измерениях одно линейное уравнение обычно описывает плоскость, а линия - это то, что является общим для двух различных пересекающихся плоскостей.${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1})}$${\ displaystyle (a_ {2}, b_ {2}, c_ {2})}$${\displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$${\displaystyle t=0}$

Форма пересечения откоса [ править ]

В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме пересечения наклона :

${\displaystyle y=mx+b}$

где:

m - наклон или уклон линии.

b - точка пересечения линии по оси y .

x - независимая переменная функции y = f ( x ).

Наклон прямой, проходящей через точки и , когда задается выражением, можно записать уравнение этой прямой .${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$${\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}}$

Нормальная форма [ править ]

Нормальная форма (также называемая Hesse нормальной формой , ^[11] после того, как немецкий математик Людвиг Отто Гессе ), основан на нормальном сегменте для данной линии, которая определяется как отрезок линии , проведенный от координат перпендикулярна к линии . Этот сегмент соединяет исходную точку с ближайшей точкой на линии к исходной точке. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости имеет вид:

${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,}$

где - угол наклона нормального сегмента (ориентированный угол от единичного вектора оси x к этому сегменту), а p - (положительная) длина нормального сегмента. Нормальная форма может быть получена из стандартной формы путем деления всех коэффициентов на${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle ax+by=c}$

${\displaystyle {\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

В отличие от форм пересечения наклона и пересечения, эта форма может представлять любую линию, но также требует указания только двух конечных параметров и p . Если p > 0 , то определяется однозначно по модулю 2 π . С другой стороны, если прямая проходит через начало координат ( c = p = 0 ), сбрасывается c / | c | член для вычисления и , и, следовательно, определяется только по модулю π .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \sin \varphi }$${\displaystyle \cos \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

В полярных координатах [ править ]

В декартовой плоскости , полярные координаты ( г , & thetas ; ) связаны с декартовыми координатами уравнений

${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$

В полярных координатах можно записать уравнение прямой, не проходящей через начало координат - точку с координатами (0, 0):

${\displaystyle r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},}$

с r > 0 и Здесь p - (положительная) длина отрезка прямой, перпендикулярного линии и ограниченного началом координат и линией, и (ориентированный) угол от оси x к этому отрезку.${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$${\displaystyle \varphi }$

Может быть полезно выразить уравнение через угол между осью x и линией. В этом случае уравнение принимает вид${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi /2}$

${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},}$

с r > 0 и${\displaystyle 0<\theta <\alpha +\pi .}$

Эти уравнения могут быть получены из нормальной формы уравнения линии путем установки и затем применяя разностную идентичность угла для синуса или косинуса.${\displaystyle x=r\cos \theta ,}$${\displaystyle y=r\sin \theta ,}$

Эти уравнения также могут быть доказаны геометрически , применяя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике к прямоугольному треугольнику, который имеет точку линии и начало координат как вершины, а прямую и перпендикуляр к ней через начало координат как стороны.

Предыдущие формы неприменимы для прямой, проходящей через начало координат, но можно записать более простую формулу: полярные координаты точек линии, проходящей через начало координат и образующей угол с осью x , представляют собой пары таких что ${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (r,\theta )}$

${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .}$

Как векторное уравнение [ править ]

Векторное уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид (где λ - скаляр ).${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB} }$

Если является вектор ОА и Ь является вектор О.Б. , то уравнение линии может быть записано: .${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )}$

Луч, начинающийся в точке A , описывается ограничением λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч исходит из λ ≤ 0.

В высшем измерении [ править ]

В трехмерном пространстве , А первое уравнение степени в переменных х , у и г определяет плоскость, так что два таких уравнений, при условии , самолеты , они дают начало не параллельны, образуют линию , которая является пересечением плоскостей. В более общем смысле, в n -мерном пространстве n -1 уравнений первой степени в n координатных переменных определяют линию при подходящих условиях.

В более общем евклидовом пространстве , R ^п (и аналогично в любом другом аффинном пространстве ), линия L , проходящей через две различные точки через и б (рассматриваемые в качестве векторов) является подмножеством

${\displaystyle L=\{(1-t)\,a+t\,b\mid t\in \mathbb {R} \}}$

Направление линии - от a ( t = 0) к b ( t = 1), или, другими словами, в направлении вектора b  -  a . Различный выбор a и b может дать одну и ту же строку.

Коллинеарные точки [ править ]

Три точки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Плоскость обычно определяют три точки , но в случае трех коллинеарных точек этого не происходит.

В аффинных координатах в n -мерном пространстве точки X = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), Y = ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) и Z = ( z ₁ , z ₂ , ..., z _n ) коллинеарны, если матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}}$

имеет ранг меньше 3. В частности, для трех точек на плоскости ( n = 2) указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Эквивалентно для трех точек на плоскости, точки коллинеарны тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равен наклону других) . В дальнейшем k точек на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда любые ( k –1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В евклидовой геометрии , на евклидово расстояние D ( , б ) между двумя точками и б могут быть использованы для экспрессии коллинеарности между тремя точками по: ^{[12] [13]}

Точки a , b и c коллинеарны тогда и только тогда, когда d ( x , a ) = d ( c , a ) и d ( x , b ) = d ( c , b ) влечет x = c .

Однако есть другие понятия расстояния (например, расстояние Манхэттена ), для которых это свойство неверно.

В геометриях, где понятие линии является примитивным , как это может иметь место в некоторых синтетических геометриях , необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы линий [ править ]

В некотором смысле ^[14] все линии в евклидовой геометрии равны в том смысле, что без координат их нельзя отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам в геометрии и делиться на типы в соответствии с этой взаимосвязью. Например, относительно коники ( окружности , эллипса , параболы или гиперболы ) прямые могут быть:

• касательные , которые касаются коники в одной точке;
• секущие линии , которые пересекают конику в двух точках и проходят через ее внутреннюю часть;
• внешние линии, не пересекающиеся с коникой ни в одной точке евклидовой плоскости; или же
• директриса , чье расстояние от точки помогает установить , является ли точка находится на коническом.

В контексте определения параллельности в евклидовой геометрии трансверсаль - это линия, которая пересекает две другие прямые, которые могут быть или не быть параллельны друг другу.

Для более общих алгебраических кривых прямые также могут быть:

• i -секущие линии, пересекающиеся с кривой в i точках без кратности, или
• асимптоты , к которым кривая приближается сколь угодно близко, не касаясь ее.

Что касается треугольников, мы имеем:

• линия Эйлера ,
• линии Симсона и
• центральные линии .

Для выпуклого четырехугольника с не более чем двумя параллельными сторонами линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагоналей .

Для шестиугольника с вершинами, лежащими на конике, у нас есть линия Паскаля, а в частном случае, когда коника представляет собой пару прямых, у нас есть линия Паппа .

Параллельные линии - это линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Пересекающиеся линии имеют одну общую точку. Совпадающие линии совпадают друг с другом - каждая точка, которая находится на одной из них, также находится на другой.

Перпендикулярные линии - это линии, которые пересекаются под прямым углом .

В трехмерном пространстве , косые линии являются линиями, которые не в одной плоскости , и , таким образом , не пересекаются друг с другом.

В проективной геометрии [ править ]

Во многих моделях проективной геометрии представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как это визуализируется в евклидовой геометрии. В эллиптической геометрии мы видим типичный пример этого. ^[15] В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большими окружностями сферы с диаметрально противоположными точками. В другой модели эллиптической геометрии линии представлены евклидовыми плоскостями, проходящими через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различны, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

Расширения [ править ]

Рэй [ править ]

Учитывая прямую и любую точку A на ней, мы можем рассматривать A как разложение этой линии на две части. Каждая такая часть называется лучом, а точка A - его начальной точкой . Это также известно как полупрямая линия , одномерное полупространство . Точка А считается членом луча. ^[16] Интуитивно, луч состоит из точек на прямой, проходящей через точку A и продолжающейся бесконечно долго, начиная с точки A , только в одном направлении вдоль этой прямой. Однако, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

Принимая во внимание различные точки A и B , они определяют уникальный луч с начальной точкой A . Как две точки определяют единственную линию, этот луч состоит из всех точек между A и B (включая A и B ) , а также все точки C на линии , проходящей через А и В такие , что B находится между A и C . ^[17] Это, время от времени, и выражается в виде множества всех точек С таким образом, что не между B и C .^[18] Точка D , на линии определяется A и B , но не в луче с начальной точкойопределяется B , будет определятьеще один луч с начальной точкой A . По отношению клучу AB луч AD называется противоположным лучом .

Таким образом, мы бы сказали, что две разные точки, A и B , определяют прямую и разложение этой прямой на непересекающееся объединение открытого отрезка ( A ,  B ) и двух лучей, BC и AD (точка D не нарисована. на диаграмме, но находится слева от A на линии AB ). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общим концом образуют угол .

Определение луча зависит от понятия промежуточности точек на прямой. Отсюда следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых существует это понятие, обычно евклидовой геометрии или аффинной геометрии над упорядоченным полем . С другой стороны, лучей не существует ни в проективной геометрии, ни в геометрии над неупорядоченным полем, как комплексные числа или любое конечное поле .

Отрезок линии [ править ]

Отрезок является частью линии, ограниченная два различных конечных точек и содержит каждую точку на линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен линейный сегмент, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью линейного сегмента. Два или более линейных сегмента могут иметь некоторые из тех же отношений, что и прямые, например быть параллельными, пересекающимися или наклонными, но, в отличие от прямых, они могут быть ни одним из них, если они компланарны и либо не пересекаются, либо коллинеарны .

Геодезические [ править ]

«Краткость» и «прямолинейность» линии, интерпретируемые как свойство минимизации расстояния вдоль линии между любыми двумя ее точками (см. Неравенство треугольника ), могут быть обобщены и приводят к концепции геодезических в метрических пространствах .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

В Wikisource есть текст статьи Line Британской энциклопедии 1911 года .

• Кокстер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
• Педо, Дэн (1988), Геометрия: Комплексный курс , Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie Jr., CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме линий .

• "Линия (кривая)" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения прямой в узле