Сложная геометрия

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В математике , сложная геометрия является изучение комплексных многообразий , комплексных алгебраических многообразий и функций многих комплексных переменных . Применение трансцендентных методов к алгебраической геометрии попадает в эту категорию вместе с более геометрическими аспектами комплексного анализа .

Идея [ править ]

В широком смысле, сложная геометрия связана с пространствами и геометрическими объектами, которые в некотором смысле моделируются на комплексной плоскости . Особенности комплексной плоскости и комплексного анализа одной переменной, такие как внутреннее понятие ориентируемости (то есть возможность последовательно вращаться на 90 градусов против часовой стрелки в каждой точке комплексной плоскости) и жесткость голоморфных функций (т. Е. , существование единственной комплексной производной подразумевает комплексную дифференцируемость для всех порядков), как видно, проявляется во всех формах изучения сложной геометрии. Например, каждое комплексное многообразие канонически ориентируемо, и форма теоремы Лиувиллявыполняется на компактных комплексных многообразиях или проективных комплексных алгебраических многообразиях.

Сложная геометрия отличается от того, что можно было бы назвать реальной геометрией, исследования пространств, основанного на геометрических и аналитических свойствах действительной числовой прямой . Например, в то время как гладкие многообразия допускают разбиения единицы , наборы гладких функций, которые могут быть тождественно равными единице на некотором открытом множестве и тождественно нулю где-либо еще, комплексные многообразия не допускают таких наборов голоморфных функций. Действительно, это проявление теоремы тождества , типичный результат комплексного анализа одной переменной. В некотором смысле новизна сложной геометрии восходит к этому фундаментальному наблюдению.

Верно, что каждое комплексное многообразие, в частности, является гладким вещественным многообразием. Это потому, что комплексная плоскость , если забыть о своей сложной структуре, изоморфна реальной плоскости . Однако сложная геометрия обычно не рассматривается как отдельная область дифференциальной геометрии , исследования гладких многообразий. В частности, Серра «s GAGA теорема утверждает , что каждое проективное аналитическое многообразие на самом деле является алгебраическим многообразие , и изучение голоморфных данных на аналитическом многообразии эквивалентно изучения алгебраических данных. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Эта эквивалентность указывает на то, что комплексная геометрия в некотором смысле ближе к алгебраической геометрии, чем к дифференциальной геометрии . Другой пример этого, который связан с природой комплексной плоскости, заключается в том, что при комплексном анализе одной переменной легко описываются особенности мероморфных функций . Напротив, возможное сингулярное поведение непрерывной действительной функции охарактеризовать гораздо сложнее. В результате этого можно легко изучать особые пространства в комплексной геометрии, такой как особые комплексные аналитические многообразия или особые комплексные алгебраические многообразия, тогда как в дифференциальной геометрии изучение особых пространств часто избегается.

На практике комплексная геометрия сидит в пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализ в нескольких комплексных переменных , и комплексе геометр использует инструменты из всех трех полей для изучения сложных пространств. Типичные направления, представляющие интерес в сложной геометрии, включают классификацию сложных пространств, изучение прикрепленных к ним голоморфных объектов (таких как голоморфные векторные пучки и когерентные пучки ), а также тесные отношения между сложными геометрическими объектами и другими областями математики и физики.

Определения [ править ]

Комплексная геометрия занимается изучением комплексных многообразий , а также комплексных алгебраических и комплексно аналитических многообразий . В этом разделе определены эти типы пространств и представлены отношения между ними.

Комплексное многообразие является топологическим пространством , что:${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle X}$является хаусдорфовым и вторым счетным .
• ${\ displaystyle X}$локально гомеоморфно открытому подмножеству для некоторых . То есть, для каждой точки , существует открытая окрестность из и гомеоморфизм на открытое подмножество . Такие открытые множества называются графиками .${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p \ in X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ varphi: U \ to V}$${\ Displaystyle V \ substeq \ mathbb {C} ^ {п}}$
• Если и любые два перекрывающихся диаграмм, отображающие на открытые множества из соответственно, то функция перехода является биголоморфизмом .${\ displaystyle (U_ {1}, \ varphi)}$${\ displaystyle (U_ {2}, \ psi)}$${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to \ psi (U_ {1} \ cap U_ {2})}$

Обратите внимание, что, поскольку каждый биголоморфизм является диффеоморфизмом и изоморфизмом как реальное векторное пространство для , каждое комплексное многообразие размерности , в частности, является гладким многообразием размерности , которое всегда является четным числом.${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$

В отличие от сложных многообразий, которые всегда гладкие, комплексная геометрия также связана с возможно сингулярными пространствами. Аффинное комплексное аналитическое многообразие является подмножеством такие , что о каждой точке , существует открытая окрестность из и совокупность конечного числа голоморфных функций , такие , что . По соглашению мы также требуем, чтобы множество было неприводимым . Точка является сингулярным , если матрица Якоби вектора голоморфных функций не имеет полный ранг в и неособо иначе. Проективное комплексное аналитическое многообразие является подмножеством${\ Displaystyle X \ substeq \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle p \ in X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$в комплексном проективном пространстве , то есть, таким же образом, локально задается нулями конечного набора голоморфных функций на открытых подмножествах .${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Аналогичным образом можно определить аффинное комплексное алгебраическое многообразие как подмножество, которое локально задано как нулевое множество конечного числа многочленов от комплексных переменных. Чтобы определить проективное комплексное алгебраическое многообразие , нужно, чтобы подмножество локально задавалось нулевым набором конечного числа однородных многочленов .${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$

Чтобы определить общее комплексное алгебраическое или комплексно аналитическое многообразие, необходимо понятие локально окольцованного пространства . Комплексное алгебраический / аналитическое многообразие является локально окольцованным пространством , которое локально изоморфно как локально кольчатого пространство в аффинное комплексное алгебраическом / аналитическое многообразие. В аналитическом случае обычно разрешается иметь топологию, которая локально эквивалентна топологии подпространства из-за идентификации с открытыми подмножествами , тогда как в алгебраическом случае часто используется топология Зарисского . Снова мы также по соглашению требуем, чтобы это локально окольцованное пространство было неприводимым.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle X}$

Поскольку определение особой точки является локальным, определение, данное для аффинного аналитического / алгебраического многообразия, применяется к точкам любого комплексного аналитического или алгебраического многообразия. Множество точек многообразия, которые являются сингулярными, называется сингулярным множеством , обозначается , а дополнение - неособым или гладким множеством , обозначается . Мы говорим, что комплексное многообразие является гладким или неособым, если его сингулярное множество пусто. То есть, если он равен своему неособому локусу.${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{sing}}$${\displaystyle X^{nonsing}}$

По теореме о неявных функциях для голоморфных функций каждое комплексное многообразие является, в частности, неособым комплексным аналитическим многообразием, но не является в общем аффинным или проективным. По теореме Серра GAGA каждое проективное комплексное аналитическое многообразие на самом деле является проективным комплексным алгебраическим многообразием. Когда комплексное многообразие неособо, это комплексное многообразие. В более общем смысле, неособое множество любого комплексного многообразия является комплексным многообразием.

Типы сложных пространств [ править ]

Кэлеровы многообразия [ править ]

Комплексные многообразия можно изучать с точки зрения дифференциальной геометрии, посредством чего они снабжены дополнительными геометрическими структурами, такими как риманова метрика или симплектическая форма . Чтобы эта дополнительная структура соответствовала сложной геометрии, нужно попросить, чтобы она была совместима со сложной структурой в подходящем смысле. Кэлерово многообразие является комплексным многообразием с римановой метрикой и симплектической структурой , совместимой со сложной структурой. Каждый комплекс подмногообразие многообразия кэлеровома является Кэлерово, и так , в частности , каждые неособые аффинное или проективное комплексное многообразие Кэлерово, после того, как ограничение стандартной эрмитова метрики на или Фубини-исследование метрики на соответственно.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Другие важные примеры кэлеровых многообразий включают римановы поверхности, K3-поверхности и многообразия Калаби-Яу .

Многообразия Штейна [ править ]

Теорема Серра GAGA утверждает, что проективные комплексно-аналитические многообразия на самом деле являются алгебраическими. Хотя это не совсем верно для аффинных многообразий, существует класс комплексных многообразий, которые очень похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, называемые многообразиями Штейна . Многообразие называется штейновым, если оно голоморфно выпукло и голоморфно отделимо (технические определения см. В статье о многообразиях Штейна). Однако можно показать, что это эквивалентно тому, что для некоторых это комплексное подмногообразие . Другой способ, которым многообразия Штейна похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, состоит в том, что теоремы Картана A и B верны для многообразий Штейна.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$

Примеры многообразий Штейна включают некомпактные римановы поверхности и неособые аффинные комплексные алгебраические многообразия.

Гиперкэлеровы многообразия [ править ]

Особый класс комплексных многообразий - это гиперкэлеровы многообразия , которые представляют собой римановы многообразия, допускающие три различные совместимые интегрируемые почти комплексные структуры, удовлетворяющие кватернионным отношениям . Таким образом, гиперкэлеровы многообразия являются кэлеровыми многообразиями по трем различным причинам и, следовательно, имеют богатую геометрическую структуру.${\displaystyle I,J,K}$ ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id} }$

Примеры гиперкэлеровых многообразий включают пространства ALE , K3-поверхности, пространства модулей расслоения Хиггса , колчанные многообразия и многие другие пространства модулей, возникающие из калибровочной теории и теории представлений .

Многообразия Калаби-Яу [ править ]

Как уже упоминалось, особый класс кэлеровых многообразий задается многообразиями Калаби-Яу. Они задаются кэлеровыми многообразиями с тривиальным каноническим расслоением . Обычно определение многообразия Калаби-Яу также требует компактности. В этом случае доказательство Яу гипотезы Калаби подразумевает, что допускает кэлерову метрику с нулевой кривизной Риччи , и это может быть принято как эквивалентное определение Калаби-Яу. ${\displaystyle K_{X}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Многообразия Калаби-Яу нашли применение в теории струн и зеркальной симметрии , где они используются для моделирования дополнительных 6 измерений пространства-времени в 10-мерных моделях теории струн. Примерами многообразий Калаби-Яу являются эллиптические кривые , поверхности K3 и комплексные абелевы многообразия .

Сложные разновидности Фано [ править ]

Комплексное многообразие Фано - это комплексное алгебраическое многообразие с обильным антиканоническим линейным расслоением (т. Е. Обильно). Многообразия Фано представляют значительный интерес в сложной алгебраической геометрии и, в частности, в бирациональной геометрии , где они часто возникают в программе минимальных моделей . Фундаментальные примеры многообразий Фано даются проективным пространством где , и гладкими гиперповерхностями степени меньше, чем .${\displaystyle K_{X}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle K={\mathcal {O}}(-n-1)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n+1}$

Торические разновидности [ править ]

Торические многообразия - это комплексные алгебраические многообразия размерности, содержащие открытое плотное подмножество, биголоморфное , снабженное действием, которое расширяет действие на открытое плотное подмножество. Торическое многообразие может быть описано комбинаторно своим торическим веером и, по крайней мере, когда оно неособое, многогранником моментов . Это многоугольник с тем свойством, что любая вершина может быть преобразована в стандартную форму вершины положительного ортанта действием . Торическое многообразие может быть получено как подходящее пространство, расслаивающееся над многогранником. ${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$

Многие конструкции, выполняемые на торических многообразиях, допускают альтернативное описание в терминах комбинаторики и геометрии многогранника моментов или связанного с ним торического веера. Это делает торические многообразия особенно привлекательными тестами для многих конструкций сложной геометрии. Примеры торических многообразий включают комплексные проективные пространства и расслоения над ними.

Методы сложной геометрии [ править ]

Из-за жесткости голоморфных функций и комплексных многообразий методы, обычно используемые для изучения сложных многообразий и комплексных многообразий, отличаются от методов, используемых в регулярной дифференциальной геометрии, и ближе к методам, используемым в алгебраической геометрии. Например, в дифференциальной геометрии многие проблемы решаются путем взятия локальных конструкций и их глобального соединения с помощью разбиений единицы. Разделы единства не существуют в сложной геометрии, и поэтому проблема того, когда локальные данные могут быть склеены в глобальные, является более тонкой. Когда локальные данные могут быть соединены вместе, это измеряется когомологиями пучков , а пучки и их группы когомологий являются основными инструментами.

Например, известные проблемы анализа нескольких комплексных переменных, предшествовавшие введению современных определений, - это проблемы Кузена , в которых спрашивается, когда именно локальные мероморфные данные могут быть склеены для получения глобальной мероморфной функции. Эти старые проблемы могут быть просто решены после введения пучков и групп когомологий.

Специальные примеры пучков, используемых в сложной геометрии, включают голоморфные линейные расслоения (и связанные с ними дивизоры ), голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки . Поскольку когомологии пучков измеряют препятствия в комплексной геометрии, один из используемых приемов - доказательство теорем об исчезновении. Примеры теорем об исчезновении в комплексной геометрии включают теорему об исчезновении Кодаира для когомологий линейных расслоений на компактных кэлеровых многообразиях и теоремы Картана A и B для когомологий когерентных пучков на аффинных комплексных многообразиях.

Сложная геометрия также использует методы, вытекающие из дифференциальной геометрии и анализа. Например, теорема Хирцебруха-Римана-Роха , частный случай теоремы Атьи-Зингера об индексе , вычисляет голоморфную эйлерову характеристику голоморфного векторного расслоения в терминах характеристических классов лежащего в основе гладкого комплексного векторного расслоения.

Классификация в сложной геометрии [ править ]

Одна из основных тем сложной геометрии - классификация . Из-за жесткости сложных многообразий и многообразий проблема классификации этих пространств часто оказывается решаемой. Классификация в комплексной и алгебраической геометрии часто происходит посредством изучения пространств модулей , которые сами по себе являются комплексными многообразиями или многообразиями, точки которых классифицируют другие геометрические объекты, возникающие в сложной геометрии.

Римановы поверхности [ править ]

Термин модули был введен Бернхардом Риманом во время его оригинальной работы над римановыми поверхностями. Теория классификации наиболее известна для компактных римановых поверхностей. Согласно классификации замкнутых ориентированных поверхностей , компактные римановы поверхности входят в счетное число дискретных типов, измеряемых их родом , который является неотрицательным целым числом, считающим количество дырок в данной компактной римановой поверхности.${\displaystyle g}$

Классификация по существу следует из теоремы униформизации и выглядит следующим образом: ^{[1] [2] [3]}

• г = 0 :${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

• g = 1 : существует одномерное комплексное многообразие, классифицирующее возможные компактные римановы поверхности рода 1, так называемые эллиптические кривые , модулярную кривую . По теореме униформизации любую эллиптическую кривую можно записать в виде частного, где - комплексное число со строго положительной мнимой частью. Пространство модулей задаются фактором группы , действующей на верхней полуплоскости с помощью преобразований Мёбиуса .${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$
• g> 1 : Для каждого рода больше единицы существует пространство модулей рода g компактных римановых поверхностей размерности . Подобно случаю эллиптических кривых, это пространство может быть получено подходящим фактором верхнего полупространства Зигеля по действию группы .${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}_{g}=3g-3}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$

Наборы голоморфных линий [ править ]

Сложная геометрия касается не только сложных пространств, но и других связанных с ними голоморфных объектов. Классификация пучков голоморфных линий на комплексном разнообразие определяется разнообразием Пикара из .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle X}$

Многообразие Пикара легко описывается в случае, когда - компактная риманова поверхность рода g. А именно, в этом случае многообразие Пикара представляет собой несвязное объединение комплексных абелевых многообразий , каждое из которых изоморфно якобиевому многообразию кривой, классифицирующему дивизоры нулевой степени с точностью до линейной эквивалентности. В дифференциально-геометрических терминах эти абелевы многообразия являются комплексными торами, комплексными многообразиями, диффеоморфными , возможно, с одной из многих различных комплексных структур.${\displaystyle X}$${\displaystyle (S^{1})^{2g}}$

По теореме Торелли компактная риманова поверхность определяется своим якобиевым многообразием, и это демонстрирует одну причину, по которой изучение структур на комплексных пространствах может быть полезным, поскольку оно может позволить решить классификацию самих пространств.

См. Также [ править ]

• Бивектор (комплекс)
• Многообразие Калаби – Яу
• Теоремы Картана A и B
• Комплексное аналитическое пространство
• Комплексная группа Ли
• Сложный многогранник
• Комплексное проективное пространство
• Проблемы кузена
• Теория деформации # Деформации комплексных многообразий
• Классификация Энриквеса-Кодаира
• ГАГА
• Теорема Хартогса о продолжении
• Эрмитово симметричное пространство
• Разложение Ходжа
• Коллектор Хопфа
• Воображаемая линия (математика)
• Кобаяши метрика
• Переписка Кобаяши – Хитчина
• Кэлерово многообразие
• Номер Лелонга
• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Зеркальная симметрия
• Множитель идеальный
• Проективное разнообразие
• Псевдовыпуклость
• Несколько сложных переменных
• Многообразие Штейна

Ссылки [ править ]

• Huybrechts, Даниэль (2005). Сложная геометрия: Введение . Springer. ISBN 3-540-21290-6.
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Математическая библиотека Северной Голландии, 7 (3-е (пересмотренное) изд.), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Северная Голландия , ISBN 0-444-88446-7, Руководство по ремонту  1045639 , Zbl  0685.32001
• С. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (библиотека Wiley Classics) Том 1, 2.
• Е. Х. Невилл (1922) Пролегомены аналитической геометрии в анизотропном евклидовом пространстве трех измерений , Cambridge University Press .