| Геометрия |
|---|
 |
| Геометры |
Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией ) - это изучение геометрии без использования координат или формул . Он полагается на аксиоматический метод и инструменты, непосредственно связанные с ними, то есть компас и линейку , чтобы делать выводы и решать проблемы.
Только после введения координатных методов появилась причина ввести термин «синтетическая геометрия», чтобы отличить этот подход к геометрии от других подходов. Другие подходы к геометрии воплощены в аналитической и алгебраической геометриях, где можно использовать анализ и алгебраические методы для получения геометрических результатов.
По словам Феликса Кляйна
Синтетическая геометрия изучает фигуры как таковые, не прибегая к формулам, тогда как аналитическая геометрия последовательно использует такие формулы, которые могут быть записаны после принятия соответствующей системы координат. [1]
Геометрия, представленная Евклидом в « Элементах», является типичным примером использования синтетического метода. Это был излюбленный метод Исаака Ньютона для решения геометрических задач. [2]
Синтетические методы были наиболее заметными в течение 19 - го века , когда геометры отвергнуты скоординировать методы в создании основ по проективной геометрии и неевклидовой геометрии . Например, геометр Якоб Штайнер (1796–1863) ненавидел аналитическую геометрию и всегда отдавал предпочтение синтетическим методам. [3]
Логический синтез [ править ]
Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Эта отправная точка - введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах:
- Примитивы - это самые основные идеи. Обычно они включают как объекты, так и отношения. В геометрии объекты - это такие вещи, как точки , линии и плоскости , в то время как фундаментальные отношения - это отношение инцидентности - когда один объект встречается или соединяется с другим. Сами термины не определены. Гильберт однажды заметил, что вместо точек, линий и плоскостей можно было бы с таким же успехом говорить о столах, стульях и пивных кружках [4], причем суть в том, что примитивные термины - это просто пустые заполнители и не имеют внутренних свойств.
- Аксиомы - это утверждения об этих примитивах; например, любые две точки вместе инцидентны только одной линии (т. е. что для любых двух точек есть только одна линия, которая проходит через обе). Аксиомы считаются верными, а не доказанными. Они являются строительными блоками геометрических концепций, поскольку они определяют свойства примитивов.
Из данного набора аксиом синтез исходит как тщательно построенный логический аргумент. Когда значимый результат строго доказывается, он становится теоремой .
Свойства наборов аксиом [ править ]
Не существует фиксированного набора аксиом для геометрии, так как можно выбрать более одного согласованного набора . Каждый такой набор может привести к разной геометрии, хотя есть также примеры разных наборов, дающих одинаковую геометрию. При таком изобилии возможностей говорить о «геометрии» в единственном числе больше неуместно.
Исторически параллельный постулат Евклида оказался независимым от других аксиом. Простое отбрасывание дает абсолютную геометрию , а отрицание дает гиперболическую геометрию . Другие непротиворечивые наборы аксиом могут давать другие геометрии, такие как проективная , эллиптическая , сферическая или аффинная геометрия.
Аксиомы непрерывности и «промежуточности» также являются необязательными, например, дискретные геометрии могут быть созданы путем их отбрасывания или изменения.
После программы Эрланген из Klein , природа любой заданной геометрии можно рассматривать как связь между симметрией и содержание предложений, а не стиль развития.
История [ править ]
Первоначальная трактовка Евклида оставалась неизменной на протяжении более двух тысяч лет, пока одновременное открытие неевклидовой геометрии Гауссом , Бойяи , Лобачевским и Риманом в 19 веке не заставило математиков усомниться в основных предположениях Евклида. [5]
Один из первых французских аналитиков резюмировал синтетическую геометрию следующим образом:
- Элементы Евклида обработаны синтетическим методом. Этот автор, сформулировав аксиомы и сформировав необходимые условия, установил положения, которые, как он доказывает, последовательно подкрепляются предыдущими, всегда переходя от простого к сложному , что является сущностным признаком синтеза. [6]
Расцветом синтетической геометрии можно считать 19 век, когда аналитические методы, основанные на координатах и исчислении, игнорировались некоторыми геометрами, такими как Якоб Штайнер , в пользу чисто синтетического развития проективной геометрии . Например, рассмотрение проективной плоскости, исходя из аксиом инцидентности, на самом деле является более широкой теорией (с большим количеством моделей ), чем можно найти, начиная с векторного пространства размерности три. На самом деле проективная геометрия имеет самое простое и элегантное синтетическое выражение любой геометрии. [ необходима цитата ]
В своей программе Эрланген , Феликс Клейн преуменьшить напряженность между синтетическими и аналитическими методами:
- О антитезе между синтетическим и аналитическим методами в современной геометрии:
- Различие между современным синтезом и современной аналитической геометрией больше не должно рассматриваться как существенное, поскольку и предмет, и методы рассуждения постепенно приняли одинаковую форму в обоих. Поэтому мы выбираем в тексте как общее обозначение их обоих термин проективная геометрия. Хотя синтетический метод больше связан с восприятием пространства и тем самым придает редкую прелесть его первым простым разработкам, область восприятия пространства, тем не менее, не закрыта для аналитического метода, и формулы аналитической геометрии можно рассматривать как точное и наглядное изложение геометрических соотношений. С другой стороны, не следует недооценивать преимущество оригинального исследования хорошо сформулированного анализа - преимущество, обусловленное его продвижением, так сказать, перед мыслью.Но всегда следует настаивать на том, что математический предмет не следует считать исчерпанным, пока он не станет интуитивно очевидным, и прогресс, достигнутый с помощью анализа, является лишь первым, хотя и очень важным шагом.[7]
Тесная аксиома исследование евклидовой геометрии привело к построению четырехугольника Ламберта и четырехугольнику Саккери . Эти структуры представили область неевклидовой геометрии, в которой отрицается параллельная аксиома Евклида. Гаусс , Бойяи и Лобачевский независимо построили гиперболическую геометрию , в которой параллельные прямые имеют угол параллельности , зависящий от их разделения. Это исследование стало широко доступным благодаря модели диска Пуанкаре, в которой движения задаются преобразованиями Мёбиуса . По аналогии,Риман , ученик Гаусса, построил риманову геометрию , частным случаем которой является эллиптическая геометрия .
Другой пример касается инверсивной геометрии, предложенной Людвигом Иммануэлем Магнусом , которую можно считать синтетической по духу. Тесно связанная операция возвратно-поступательного движения выражает анализ плоскости.
Карл фон Штаудт показал, что алгебраические аксиомы, такие как коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, на самом деле были следствием инцидентности прямых в геометрических конфигурациях . Дэвид Гильберт показал [8], что конфигурация Дезарга играет особую роль. Дальнейшую работу проделали Рут Муфанг и ее ученики. Эти концепции были одним из мотиваторов геометрии инцидентности .
Когда параллельные прямые принимаются за основные, синтез дает аффинную геометрию . Хотя евклидова геометрия является одновременно аффинной и метрической геометрией , в общем случае в аффинных пространствах может отсутствовать метрика. Дополнительная гибкость, предоставляемая таким образом, делает аффинную геометрию подходящей для изучения пространства-времени , как обсуждалось в истории аффинной геометрии .
В 1955 году Герберт Буземанн и Пол Дж. Келли озвучили ностальгическую ноту по синтетической геометрии:
- Геометры, хотя и неохотно, должны признать, что красота синтетической геометрии потеряла свою привлекательность для нового поколения. Причины ясны: не так давно синтетическая геометрия была единственной областью, в которой рассуждения основывались исключительно на аксиомах, тогда как этот призыв - столь фундаментальный для многих математически заинтересованных людей - теперь делается во многих других областях. [9]
Например, обучение в колледжах теперь включает линейную алгебру , топологию и теорию графов, где предмет разрабатывается на основе первых принципов, а предложения выводятся с помощью элементарных доказательств .
Сегодняшний студент геометрии имеет отличные аксиомы Евклид доступно: см аксиом Гильберта и аксиомы Тарских .
Эрнст Кёттер опубликовал (на немецком языке) отчет в 1901 году «Развитие синтетической геометрии от Монжа до Штаудта (1847)» ; [10]
Доказательства с использованием синтетической геометрии [ править ]
Синтетические доказательства геометрических теорем используют вспомогательные конструкции (такие как вспомогательные линии ) и такие понятия, как равенство сторон или углов, а также подобие и соответствие треугольников. Примеры таких доказательств могут быть найдены в статьях теорема бабочки , биссектриса теорема , теорема Аполлония , теорема Британского флага , теорема Чевы , Равная вписанной теорема , Геометрическая средняя теорема , формула Герона , теорема равнобедренного треугольника , косинусы , и другие, связаны с здесь.
Вычислительная синтетическая геометрия [ править ]
В этом разделе не процитировать любые источники . ( Февраль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В сочетании с вычислительной геометрией , A вычислительная геометрия синтетической была основана, имея тесную связь, например, с матроидами теории. Синтетическая дифференциальная геометрия - это приложение теории топосов к основам теории дифференцируемых многообразий .
См. Также [ править ]
- Основы геометрии
- Геометрия падения
- Синтетическая дифференциальная геометрия
Примечания [ править ]
- Перейти ↑ Klein 1948 , p. 55
- Перейти ↑ Boyer 2004 , p. 148
- ^ "Штайнер (только для печати)" . History.mcs.st-and.ac.uk . Проверено 20 сентября 2012 .
- Перейти ↑ Greenberg 1974 , p. 59
- ^ Mlodinow 2001, Часть III История Гаусс
- ^ SF Lacroix (1816) Essais sur L'Enseignement en Général, et sur celui des Mathématiques en Particulier , стр. 207, Libraire pur les Mathématiques.
- ↑ Феликс Клейн (1872), переводчик Ральфа Стефана (2006) «Сравнительный обзор исследований в области геометрии»
- ^ Дэвид Гильберт , 1980 (1899). Основы геометрии , 2-е издание, §22 Теорема Дезарга, Чикаго: Открытый суд
- ^ Герберт Буземанн и Пол Дж. Келли (1953) Проективная геометрия и проективные метрики , Предисловие, страница v, Academic Press
- ^ Эрнст Коттер (1901). Die Entwickelung der Synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt (1847) .(Перепечатка 2012 г. как ISBN 1275932649 )
Ссылки [ править ]
- Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Довер, ISBN 978-0-486-43832-0
- Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
- Halsted, GB (1896) Элементарная синтетическая геометрия через Интернет-архив
- Холстед, Джордж Брюс (1906) Синтетическая проективная геометрия , через Интернет-архив .
- Гильберт и Кон-Фоссен, Геометрия и воображение .
- Кляйн, Феликс (1948), Элементарная математика с продвинутой точки зрения / геометрия , Нью-Йорк: Дувр
- Млодинов, Леонард (2001), Окно Евклида / История геометрии от параллельных линий до гиперпространства , Нью-Йорк: The Free Press, ISBN 0-684-86523-8
