В математике , неархимедова геометрия [1] представляет собой любая из ряда форм геометрии , в которой аксиома Архимеда инвертировано. Примером такой геометрии является плоскость Дена . Неархимедовы геометрии могут, как показывает пример, иметь свойства, значительно отличающиеся от евклидовой геометрии .
Есть два смысла, в которых этот термин может использоваться, относящийся к геометрии над полями, которая нарушает одно из двух смыслов архимедова свойства (то есть в отношении порядка или величины).
Геометрия над неархимедовым упорядоченным полем [ править ]
Первый смысл этого термина - это геометрия над неархимедовым упорядоченным полем или его подмножеством. Вышеупомянутая плоскость Дена представляет собой самопроизведение конечной части некоторого неархимедова упорядоченного поля, основанного на поле рациональных функций . В этой геометрии есть существенные отличия от евклидовой геометрии; в частности, существует бесконечно много параллелей прямой, проходящей через точку - так что постулат параллельности не работает, - но сумма углов треугольника по-прежнему является прямым углом. [2]
Интуитивно понятно, что в таком пространстве точки на линии не могут быть описаны действительными числами или их подмножеством, и существуют сегменты «бесконечной» или «бесконечно малой» длины.
Геометрия над полем с неархимедовыми значениями [ править ]
Второй смысл термина является метрической геометрией над неархимедовым нормированным полем , [3] или ультраметрическим пространство . В таком пространстве возникают еще большие противоречия с евклидовой геометрией. Например, все треугольники равнобедренные, а шары внахлест гнездятся. Примером такого пространства являются p-адические числа .
Интуитивно понятно, что в таком пространстве расстояния не могут «складываться» или «накапливаться».
Ссылки [ править ]
- ^ Робин Хартшорн , Геометрия: Евклид и далее (2000), стр. 158.
- ^ Гильберт, Дэвид (1902), Основы геометрии (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
- ^ Конрад, Б. "Несколько подходов к неархимедовой геометрии. В p-адической геометрии (Лекции из Зимней школы Аризоны 2007 г.). Серия лекций Университета AMS". Амер. Математика. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.
