Ультраметрическое пространство

В математике , ультраметрическое пространство является метрическим пространством , в котором неравенство треугольника укреплен к . Иногда связанную метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой . Хотя некоторые из теорем для ультраметрических пространств могут показаться странными на первый взгляд, они естественным образом появляются во многих приложениях.${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$

Формальное определение [ править ]

Ультраметрические на множество M является реальной значной функцией

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(где ℝ обозначают действительные числа ), такая, что для всех x , y , z ∈ M :

1. d ( x , y ) ≥ 0 ;
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( симметрия )
3. d ( х , х ) = 0 ;
4. если d ( x , y ) = 0, то x = y ( тождество неразличимых );
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( строгий треугольник или ультраметрическое неравенство ).

Определение : Ультраметрическое пространство - это пара ( M , d ), состоящая из множества M вместе с ультраметрикой d на M , которая называется ассоциированной функцией расстояния пространства (также называемой метрикой ).

Определение : ^[1] Если г удовлетворяет всем условиям , за исключением , возможно , условия 4 (т.е. тождество неразличимых), то д называется ultrapseudometric на М . Ultrapseudometric пространства является парой ( М , д ) , состоящие из множества М и ultrapseudometric д на М .

В случае, когда M - группа (записанная аддитивно) и d генерируется функцией длины (так что ), последнее свойство может быть усилено с помощью уточнения Крулля ^[2], чтобы:${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$с равенством, если .${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$

Мы хотим доказать, что если , то равенство имеет место, если . Без ограничения общности предположим, что . Это означает, что . Но мы также можем вычислить . Теперь значение не может быть , поскольку, если это так, мы имеем противоречие с первоначальным предположением. Таким образом , и . Используя исходное неравенство, имеем и, следовательно .${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$${\displaystyle \|x\|>\|y\|}$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$${\displaystyle \|y\|}$${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$

Свойства [ править ]

В треугольнике справа две нижние точки x и y нарушают условие d (x, y) ≤ max (d (x, z), d (y, z)).

Из приведенного выше определения можно сделать вывод о нескольких типичных свойствах ультраметрики. Например, для всех выполняется хотя бы одно из трех равенств или или . То есть каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник , поэтому все пространство является равнобедренным множеством .${\displaystyle x,y,z\in M}$${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$

Определяя (открытый) шар радиуса с центром в as , мы имеем следующие свойства:${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$

• Каждая точка внутри шара является его центром, т. Е. Если тогда .${\displaystyle d(x,y)<r}$${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$
• Пересекающиеся шары вложены друг в друга, то есть , если это не пусто , то либо или .${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$
• Все шары строго положительного радиуса являются как открытыми, так и замкнутыми множествами в индуцированной топологии . То есть открытые шары тоже закрытые, а закрытые шары (заменить на ) тоже открыты.${\displaystyle <}$${\displaystyle \leq }$
• Набор всех открытых шаров с радиусом и центром в замкнутом шаре с радиусом образует разбиение последнего, и взаимное расстояние двух различных открытых шаров (больше или) равно .${\displaystyle r}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$

Доказательство этих утверждений - поучительное упражнение. ^[3] Все прямо вытекают из ультраметрического неравенства треугольника. Обратите внимание, что согласно второму утверждению, у мяча может быть несколько центральных точек с ненулевым расстоянием. Интуиция, стоящая за такими, казалось бы, странными эффектами, заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметриках не складываются.

Примеры [ править ]

• Дискретная метрика является ультраметрической.
• В р -адические числа образуют полное ультраметрическое пространство.
• Рассмотрим множество слов произвольной длины (конечной или бесконечной) Σ ^* над некоторым алфавитом Σ. Определите расстояние между двумя разными словами как 2 ^{- n} , где n - первое место, в котором слова различаются. Результирующая метрика является ультраметрикой.
• Множество слов с приклеенными концами длиной п над некоторым алфавитом Е является ультраметрическим пространством относительно р -близко расстояния. Два слова x и y являются p -замкнутыми, если любая подстрока из p последовательных букв ( p < n ) встречается одинаковое количество раз (которое также может быть нулем) как в x, так и y . ^[4]
• Если r = ( r _n ) - последовательность действительных чисел, убывающая до нуля, то | х | _r  : = lim sup _{n → ∞} | х _п | ^{r _n} индуцирует ультраметрику на пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма, поскольку ей не хватает однородности - если разрешено r _n равняться нулю, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, согласно которому 0 0 = 0. )
• Если G - неориентированный граф со взвешенными ребрами , все веса ребер положительны, а d ( u , v ) - вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизировать этот наибольший вес), то вершины графа с расстоянием, измеряемым d , образуют ультраметрическое пространство, и все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом. ^[5]

Приложения [ править ]

• Сжимающая затем может рассматриваться как способ приближения конечного результата вычислений (который может быть гарантированы существованием в банаховых фиксированной точки теоремы ). Подобные идеи можно найти в теории предметной области . p -адический анализ широко использует ультраметрическую природу p -адической метрики .
• В физике конденсированных сред , то самоусреднение перекрытие между спинами в SK модели из спиновых стекол имеет ультраметрическое структуру, с раствором , заданной полной нарушения процедуры реплики симметрии первого очерченного Giorgio Паризи и его сотрудниками. ^[6] Ультраметричность также появляется в теории апериодических твердых тел. ^[7]
• В систематике и филогенетического дерева построения, ультраметрические расстояния также используются в UPGMA и WPGMA методами. ^[8] Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости и создают деревья, в которых расстояния от корня до каждой вершины ветви равны. Когда анализируются данные ДНК , РНК и белков , предположение об ультраметричности называется молекулярными часами .
• В моделях перемежаемости в трехмерной турбулентности жидкостей используются так называемые каскады, а в дискретных моделях диадических каскадов, которые имеют ультраметрическую структуру. ^[9]
• В географии и ландшафтной экологии ультраметрические расстояния применялись для измерения сложности ландшафта и оценки степени важности одной ландшафтной функции по сравнению с другой. ^[10]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с неархимедовой геометрией .

• Капланский И. (1977), Теория множеств и метрические пространства , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.