Ограничьте низшее и ограничьте высшее

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то нижний предел и предел превосходит из последовательности можно рассматривать как ограничение (то есть, возможные и крайние) оценок на последовательности. Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. Предел функции ). Для набора это нижняя грань и верхняя грань предельных точек набора., соответственно. В общем, когда есть несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают самый маленький и самый большой из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие крайних пределов остается неизменным. Нижний предел также называется инфимуму предел , предел инфимуму , liminf , низший предел , нижний предел , или внутренний предел ; Предел превосходит также известно как супремум предел , предел супремум , limsup , верхний предел , верхний предел , или внешнюю граница .

Иллюстрация верхнего предела и нижнего предела. Последовательность x _n показана синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему пределу и нижнему пределу x _n , показанному пунктирными черными линиями. В этом случае последовательность накапливается вокруг двух пределов. Верхний предел - больший из двух, а нижний предел - меньший из двух. Нижний и верхний пределы согласуются тогда и только тогда, когда последовательность сходится (т. Е. Когда есть единственный предел).

Нижний предел последовательности обозначается через${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ quad {\ text {or}} \ quad \ varliminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$

Верхний предел последовательности обозначается${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ quad {\ text {or}} \ quad \ varlimsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$

Определение последовательностей [ править ]

Нижний предел последовательности ( x _n ) определяется как

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ Big (} \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} {\ Big )}}$

или же

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ sup _ {n \ geq 0} \, \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} = \ sup \ {\, \ inf \ {\, x_ {m}: m \ geq n \, \}: n \ geq 0 \, \}.}$

Точно так же верхний предел ( x _n ) определяется формулой

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$

или же

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$

В качестве альтернативы иногда используются обозначения и .${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

Верхние и нижние пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции подпоследовательных пределов последовательности . ^[1] Элемент из расширенных действительных чисел является повлечет последующий предел из если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел таких , что . Если - множество всех подпоследовательных пределов , то ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (n_{k})}$${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$${\displaystyle E\subset {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

а также

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

Если члены в последовательности являются действительными числами, верхний предел и нижний предел всегда существуют, поскольку действительные числа вместе с ± ∞ (т. Е. Строка расширенных действительных чисел ) являются полными . В более общем смысле эти определения имеют смысл в любом частично упорядоченном множестве , при условии, что верхняя и нижняя границы существуют, например, в полной решетке .

Когда существует обычный предел, оба предела ниже и выше равны ему; поэтому каждый из них можно рассматривать как обобщение обычного предела, который в первую очередь интересен в случаях, когда предел не существует. Когда существуют как lim inf x _{n, так} и lim sup x _n , мы имеем

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Нижний / верхний пределы связаны с нотацией большого О в том смысле, что они ограничивают последовательность только «в пределе»; последовательность может выходить за границы. Однако с обозначением большого O последовательность может превышать предел только в конечном префиксе последовательности, тогда как верхний предел последовательности, такой как e ^{- n,} может фактически быть меньше, чем все элементы последовательности. Единственное обещание состоит в том, что некоторый хвост последовательности может быть ограничен сверху верхним пределом плюс сколь угодно малой положительной константой и ограничен снизу нижним пределом минус произвольно малая положительная постоянная.

Верхний предел и нижний предел последовательности являются частным случаем таковых для функции (см. Ниже).

Случай последовательностей действительных чисел [ править ]

В математическом анализе верхний предел и нижний предел являются важными инструментами для изучения последовательностей действительных чисел . Поскольку супремум и нижняя грань неограниченного набора действительных чисел могут не существовать (действительные числа не являются полной решеткой), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенной системе действительных чисел : мы добавляем положительные и отрицательные бесконечности к действительной прямой чтобы дать полное вполне упорядоченное множество [−∞, ∞], которое является полной решеткой.

Интерпретация [ править ]

Рассмотрим последовательность, состоящую из действительных чисел. Предположим, что верхний предел и нижний предел являются действительными числами (а значит, не бесконечными).${\displaystyle (x_{n})}$

• Верхний предел - это наименьшее действительное число, такое что для любого положительного действительного числа существует такое натуральное число , что для всех . Другими словами, любое число, превышающее верхний предел, является конечной верхней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше, чем .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b+\varepsilon }$
• Нижний предел - это наибольшее действительное число, такое что для любого положительного действительного числа существует такое натуральное число , что для всех . Другими словами, любое число ниже нижнего предела является конечной нижней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше .${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b-\varepsilon }$

Свойства [ править ]

В случае, если последовательность ограничена, для всех почти все члены последовательности лежат в открытом интервале .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle (\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon )}$

Взаимосвязь нижнего предела и верхнего предела для последовательностей действительных чисел выглядит следующим образом:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(-x_{n})=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$

Как упоминалось ранее, удобно продолжить до [−∞, ∞]. Тогда ( x _n ) в [−∞, ∞] сходится тогда и только тогда, когда${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

в этом случае равно их обычному значению. (Обратите внимание, что при работе только в точке сходимость к −∞ или ∞ не будет считаться сходимостью.) Поскольку нижний предел является не более чем верхним пределом, выполняются следующие условия${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\infty \;\;\Rightarrow \;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=-\infty \;\;\Rightarrow \;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .}$

Если и , то интервал [ I , S ] не обязательно должен содержать какое-либо из чисел x _n , но любое небольшое увеличение [ I  - ε, S  + ε] (для сколь угодно малого ε> 0) будет содержать x _n для всех, кроме конечного много индексов n . Фактически, интервал [ I , S ] - это наименьший отрезок с этим свойством. Мы можем формализовать это свойство следующим образом: существуют подпоследовательности и из (где и являются монотонными), для которых имеем${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$${\displaystyle x_{h_{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$

С другой стороны, существует такое, что для всех${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq n_{0}}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$

Резюмируя:

• Если больше, чем верхний предел, существует не более конечного числа больше, чем ; если меньше, их бесконечно много.${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$
• Если меньше предела inferior, существует не более конечного числа меньше, чем ; если больше, их бесконечно много.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$

В общем имеем что

${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}}$

Liminf и limsup последовательности являются соответственно наименьшей и наибольшей точками кластера .

• Для любых двух последовательностей действительных чисел верхний предел удовлетворяет субаддитивности всякий раз, когда определена правая часть неравенства (т. Е. Не или ):${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle -\infty +\infty }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }(a_{n})+\limsup _{n\to \infty }(b_{n}).}$.

Аналогично, нижний предел удовлетворяет супераддитивности :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }(a_{n})+\liminf _{n\to \infty }(b_{n}).}$

В частном случае, когда одна из последовательностей фактически сходится, скажем , то неравенства выше , становятся равенствами (с или заменяются ).${\displaystyle a_{n}\to a}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle a}$

• Для любых двух последовательностей неотрицательных действительных чисел выполняются неравенства${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\leq {\biggl (}\limsup _{n\to \infty }a_{n}{\biggr )}{\biggl (}\limsup _{n\to \infty }b_{n}{\biggr )}}$

а также

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})\geq {\biggl (}\liminf _{n\to \infty }a_{n}{\biggr )}{\biggl (}\liminf _{n\to \infty }b_{n}{\biggr )}}$

удерживайте всякий раз, когда правая часть не имеет формы . ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Если существует (включая случай ) и , то при условии, что это не форма .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$${\displaystyle A=+\infty }$${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n}}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=AB}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Примеры [ править ]

• В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную как x _n = sin ( n ). Используя тот факт , что пи является иррациональной , можно показать , что

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$

а также

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$

(Это потому, что последовательность {1,2,3, ...} равнораспределена по модулю 2π , что является следствием теоремы о равнораспределении .)

• Пример из теории чисел :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n}),}$

где р _п представляет собой N -го простое число . Предполагается, что значение этого нижнего предела равно 2 - это гипотеза двойного простого числа - но по состоянию на апрель 2014 года ^[update]было доказано, что оно меньше или равно 246. ^[2] Соответствующий верхний предел равен , потому что есть произвольные промежутки между последовательными простыми числами .${\displaystyle +\infty }$

Функции с действительным знаком [ править ]

Предположим, что функция определяется от подмножества действительных чисел к действительным числам. Как и в случае с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда четко определены, если мы допускаем значения + ∞ и -∞; фактически, если оба согласны, то предел существует и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечности). Например, если f ( x ) = sin (1 / x ), имеем lim sup _{x → 0} f ( x ) = 1 и lim inf _{x → 0} f ( x ) = -1. Разница между ними - это грубая мера того, насколько «дико» колеблется функция, и при наблюдении за этим фактом это называетсяколебание из F на 0 . Этой идеи осцилляции достаточно, например, чтобы охарактеризовать интегрируемые по Риману функции как непрерывные, за исключением множества с нулевой мерой . ^[3] Обратите внимание, что точки ненулевых колебаний (то есть точки, в которых f « ведет себя плохо ») являются разрывами, которые, если они не составляют набор из нуля, ограничены незначительным набором.

Функции от метрических пространств до полных решеток [ править ]

Существует понятие lim sup и lim inf для функций, определенных на метрическом пространстве , отношение которых к пределам вещественнозначных функций отражает отношение между lim sup, lim inf и пределом реальной последовательности. Возьмем метрическое пространство X , подпространство Е , содержащееся в X , и функция F  :  E  →  R . Определите, для любой граничной точки а в Е ,

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})}$

а также

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}(\inf\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})}$

где B ( a ; ε) обозначает метрический шар радиуса ε вокруг a .

Заметим, что при сжатии ε супремум функции по шару монотонно убывает, поэтому мы имеем

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}(\sup\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\})}$

и аналогично

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}(\inf\{f(x):x\in E\cap B(a;\varepsilon )\setminus \{a\}\}).}$

Это, наконец, мотивирует определения общих топологических пространств. Возьмем X , E и a, как раньше, но пусть теперь X - топологическое пространство. В этом случае мы заменяем метрические шары окрестностями:

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf\{\sup\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup\{\inf\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,a\in U,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(есть способ записать формулу с помощью "lim", используя сети и фильтр соседства). Эта версия часто бывает полезна при обсуждениях полунепрерывности, которые довольно часто возникают при анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции от натуральных чисел как топологическое подпространство расширенной действительной прямой, в пространство (замыкание N в [−∞, ∞], расширенное действительное число линия , является  N  ∪ {∞}.)

Последовательности наборов [ править ]

Силовой агрегат ℘ ( Х ) из множества X является полной решеткой , которая заказана множеством включения , и так супремума и инфимума любого множества подмножеств (в терминах множество включения) всегда существует. В частности, каждое подмножество Y из X ограничена сверху X и снизу пустого множества ∅ , так как ∅ ⊆ Y ⊆ X . Следовательно, можно (а иногда и полезно) рассматривать верхний и нижний пределы последовательностей в ( X ) (т. Е. Последовательности подмножеств X ).

Есть два распространенных способа определить предел последовательностей множеств. В обоих случаях:

• Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не вокруг самих точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существуют наборы накопления , которые каким-то образом находятся рядом с бесконечным количеством элементов последовательности.
• Верхний / верхний / внешний предел - это набор, который объединяет эти наборы накопления вместе. То есть это объединение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора предел супремума является наименьшей верхней границей набора точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это верхняя грань предельных точек.
• Нижняя / нижняя / внутренняя граница - это набор, в котором встречаются все эти наборы накопления . То есть это пересечение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора предел инфимума является наибольшей нижней границей набора точек накопления, поскольку он содержится в каждой из них. Следовательно, это нижняя грань предельных точек.
• Поскольку упорядочение осуществляется включением множества, то внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. Е. Lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности.

Разница между двумя определениями заключается в том, как определяется топология (т. Е. Как количественно определить разделение). На самом деле, второе определение идентично первым , когда дискретная метрика используется , чтобы вызвать топологию на X .

Сходимость общих наборов [ править ]

В этом случае последовательность наборов приближается к ограничивающему набору, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам ограничивающего набора. В частности, если { X _n } - последовательность подмножеств X , то:

• lim sup  X _n , который также называется внешним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в X _n, взятых из (счетного) бесконечного числа n . То есть x ∈ lim sup  X _n тогда и только тогда, когда существует последовательность точек x _k и подпоследовательность { X _{n k} } из { X _n } такие, что x _k ∈ X _{n k} и x _k → x при k → ∞.
• lim inf  X _n , который также называется внутренним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в X _n для всех, кроме конечного числа n (т. е. cконечно многих n ). То есть x ∈ lim inf  X _n тогда и только тогда, когда существует последовательность точек { x _k } такая, что x _k ∈ X _k и x _k → x при k → ∞.

Предел lim  X _n существует тогда и только тогда, когда lim inf X _n и lim sup X _n согласованы, и в этом случае lim  X _n = lim sup X _n = lim inf X _n . ^[4]

Частный случай: дискретная метрика [ править ]

Это определение , используемое в теории меры и вероятности . Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественном пределе .

Согласно этому определению последовательность наборов приближается к предельному набору, когда ограничивающий набор включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного множества наборов последовательности, и не включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа, дополнений наборов последовательности. То есть этот случай конкретизирует общее определение, когда топология на множестве X индуцируется дискретной метрикой .

В частности, для точек x ∈ X и y ∈ X дискретная метрика определяется формулой

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

при котором последовательность точек { x _k } сходится к точке x ∈ X тогда и только тогда, когда x _k = x для всех, кроме конечного числа k . Следовательно, если предельное множество существует, оно содержит точки и только те точки, которые находятся во всех, кроме конечного числа множеств последовательности. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. Е. Требует больше всего), это определение предельного множества является наиболее строгим из возможных.

Если { X _n } является последовательностью подмножеств X , то всегда существует следующее:

• lim sup  X _n состоит из элементов X, которые принадлежат X _n для бесконечного числа n (см. счетно бесконечное число ). То есть x ∈ lim sup  X _n тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность { X _{n k} } из { X _n } такая, что x ∈ X _{n k} для всех k .
• lim inf  X _n состоит из элементов X, которые принадлежат X _n для всех, кроме конечного числа n (т. е. для коконечно большого числа n ). То есть x ∈ lim inf  X _n тогда и только тогда, когда существует m > 0 такое, что x ∈ X _n для всех n > m .

Заметим, что x ∈ lim sup  X _n тогда и только тогда, когда x ∉ lim inf  X _n ^c .

• Lim  X _n существует тогда и только тогда, когда lim inf X _n и lim sup X _n согласованы, и в этом случае lim  X _n = lim sup X _n = lim inf X _n .

В этом смысле последовательность имеет предел до тех пор, пока каждая точка в X либо появляется во всех, кроме конечного числа X _n, либо появляется во всех, кроме конечного числа X _n ^c .^[5]

Используя стандартный язык теории множеств, включение множеств обеспечивает частичное упорядочение набора всех подмножеств X, что позволяет пересечению множеств генерировать наибольшую нижнюю границу и объединению множеств, чтобы генерировать наименьшую верхнюю границу. Таким образом, точная нижняя грань или совпадение набора подмножеств является точной нижней границей, а верхняя грань или соединение - точной верхней границей. В этом контексте внутренний предел, lim inf  X _n , является наибольшим соединением хвостов последовательности, а внешний предел, lim sup  X _n , является наименьшим соединением хвостов.последовательности. Следующее уточняет это.

• Пусть I _n - пересечение n- ^го хвоста последовательности. Это,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность { I _n } неубывающая ( I _n ⊆ I _{n +1} ), потому что каждое I _{n +1} является пересечением меньшего количества множеств, чем I _n . Наименьшая верхняя граница этой последовательности встреч хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup\{\inf\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{aligned}}}$

Таким образом, предельная нижняя грань содержит все подмножества, которые являются нижними границами для всех, кроме конечного числа наборов последовательности.

• Аналогично, пусть J _n будет объединением n- ^го хвоста последовательности. Это,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность { J _п } не возрастает ( J _п ⊇ J _{п +1} ) , так как каждый J _{п + 1} является объединением множеств меньшим , чем J _н . Наибольшая нижняя граница этой последовательности соединений хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf\{\sup\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right).\end{aligned}}}$

Таким образом, предельная верхняя грань содержится во всех подмножествах, которые являются верхними границами для всех, кроме конечного числа наборов последовательности.

Примеры [ править ]

Ниже приводится несколько примеров сходимости набора. Они были разбиты на секции относительно метрики для индукции топологии на множестве X .

Используя дискретную метрику

• Бореля-Кантелли представляет собой пример применения этих конструкций.

Используя дискретную метрику или евклидову метрику

• Рассмотрим множество X = {0,1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: {{0}, {0}, {0}, ...} и {{1}, {1}, {1}, ... }, которые имеют предельные точки 0 и 1 соответственно, поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} этих двух точек. Однако нет предельных точек, которые можно взять из последовательности { X _n } в целом, и поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество {}. Это,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Однако для { Y _n } = {{0}, {0}, {0}, ...} и { Z _n } = {{1}, {1}, {1}, ...}:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• Рассмотрим набор X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots \}.}$

Как и в двух предыдущих примерах,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

То есть четыре элемента, которые не соответствуют шаблону, не влияют на lim inf и lim sup, потому что их только конечное количество. Фактически, эти элементы могут быть размещены в любом месте последовательности (например, в позициях 100, 150, 275 и 55000). Пока сохраняются хвосты последовательности, внешние и внутренние границы не изменятся. Связанные концепции существенных внутренних и внешних пределов, которые используют существенную верхнюю границу и существенную нижнюю границу , обеспечивают важную модификацию, которая «раздавливает» счетное множество (а не только конечное множество) промежуточных добавлений.

Использование евклидовой метрики

• Рассмотрим последовательность подмножеств рациональных чисел :

${\displaystyle \{X_{n}\}=\{\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots \}.}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} и {{1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...}, которые имеют точки ограничения 1 и 0 соответственно, и поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} этих двух точки. Однако нет предельных точек, которые можно взять из последовательности { X _n } в целом, и поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество {}. Итак, как и в предыдущем примере,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Однако для { Y _n } = {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} и { Z _n } = {{1}, {1/2 }, {1/3}, {1/4}, ...}:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

В каждом из этих четырех случаев элементы предельных множеств не являются элементами ни одного из множеств исходной последовательности.

• Предел Ω (т. Е. Предельное множество ) решения динамической системы - это внешний предел траекторий решения системы. ^{[4] : 50–51} Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому предельному набору, хвосты этих траекторий сходятся к предельному набору.

• Например, система LTI, которая представляет собой каскадное соединение нескольких стабильных систем с незатухающей системой LTI второго порядка (то есть с нулевым коэффициентом демпфирования ), будет бесконечно колебаться после возмущения (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы сопоставлены друг с другом, траектории будут приближаться к кругу в пространстве состояний . Этот круг, который является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Круг представляет собой геометрическое место траектории, соответствующей выходному сигналу чистого синусоидального тона; то есть выходной сигнал системы приближается к чистому тону.

Обобщенные определения [ править ]

Приведенные выше определения не подходят для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются частным изложением следующих определений.

Определение набора [ править ]

Нижний предел множества X ⊆ Y - это нижняя грань всех предельных точек набора. Это,

${\displaystyle \liminf X:=\inf\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Точно так же верхний предел множества X - это верхняя грань всех предельных точек набора. Это,

${\displaystyle \limsup X:=\sup\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Обратите внимание, что множество X должно быть определено как подмножество частично упорядоченного множества Y , которое также является топологическим пространством, чтобы эти определения имели смысл. Более того, это должна быть полная решетка, чтобы верхняя и нижняя границы существовали всегда. В этом случае каждый набор имеет верхний предел и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел набора не обязательно должны быть элементами набора.

Определение баз фильтров [ править ]

Возьмем топологическое пространство X и базу фильтра B в этом пространстве. Набор всех кластерных точек для этой базы фильтра определяется выражением

${\displaystyle \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

где это замыкание в . Очевидно, что это замкнутое множество, подобное набору предельных точек множества. Предположим, что X также является частично упорядоченным множеством . Верхний предел базы фильтра B определяется как${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда этот супремум существует. Когда X имеет полный порядок , является полной решеткой и имеет топологию порядка ,

${\displaystyle \limsup B=\inf\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Точно так же нижний предел базы фильтра B определяется как

${\displaystyle \liminf B:=\inf \bigcap \{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда существует этот инфимум; если X тотально упорядочен, является полной решеткой и имеет порядковую топологию, то

${\displaystyle \liminf B=\sup\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Если нижний предел и верхний предел совпадают, тогда должна быть ровно одна точка кластера, и предел базы фильтра равен этой уникальной точке кластера.

Специализация для последовательностей и сетей [ править ]

Обратите внимание, что базы фильтров - это обобщения сетей , которые являются обобщениями последовательностей . Следовательно, эти определения дают нижний предел и верхний предел любой сети (и, следовательно, любой последовательности). Например, возьмем топологическое пространство и сеть , где есть направленное множество и для всех . База фильтра ("хвостов"), генерируемая этой сетью, определяется следующим образом:${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$${\displaystyle (A,{\leq })}$${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему пределу и нижнему пределу соответственно. Аналогично, для топологического пространства , взять последовательность , где для любого с будучи множество натуральных чисел . База фильтра ("хвостов"), сгенерированная этой последовательностью, определяется следующим образом:${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел последовательности равны верхнему пределу и нижнему пределу соответственно.${\displaystyle C}$

См. Также [ править ]

• Essential supremum и Essential infimum
• Конверт (волны)
• Односторонний предел
• Производные Дини
• Теоретико-множественный предел

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с ограничением низшего и предельного высшего .

• "Верхний и нижний пределы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]