В математике , то аффинно расширенная система вещественного числа получаются из вещественного числа системыдобавив два элемента бесконечности : а также , [a] где бесконечности рассматриваются как действительные числа. [1] Это полезно при описании алгебры бесконечностей и различных предельных поведений в исчислении и математическом анализе , особенно в теории меры и интегрирования . [2] Аффинно расширенная система действительных чисел обозначается или же или же . [3] Это завершение вещественных чисел Дедекинда – МакНила .
Когда значение ясно из контекста, символ часто пишется просто как . [3]
Мотивация
Пределы
Часто бывает полезно описать поведение функции , поскольку либо аргумент или значение функции становится в некотором смысле «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию
График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при. Геометрически, при движении все дальше вправо по-оси, значение стремится к 0. Это предельное поведение аналогично пределу функции в котором действительное число подходы , за исключением того, что нет действительного числа, к которому подходы.
Присоединив элементы а также к , он позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам.
Для того, чтобы сделать вещи совершенно формальными, в последовательности Коши определения из позволяет определить как набор всех последовательностей рациональных чисел, таких, что каждый связан с соответствующим для которого для всех . Определение можно построить аналогично.
Измерение и интеграция
В теории меры часто бывает полезно разрешить множества с бесконечной мерой и интегралами, значение которых может быть бесконечным.
Такие меры естественным образом возникают из расчетов. Например, при назначении меры кчто согласуется с обычной длиной интервалов, эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как
возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например
Без разрешения функций принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминирующей сходимости , не имели бы смысла.
Порядок и топологические свойства
Аффинно расширенную систему действительных чисел можно превратить в полностью упорядоченный набор , определив для всех . С помощью этой топологии порядка ,обладает желаемым свойством компактности : каждое подмножествоимеет верхнюю и нижнюю грань [4] (нижняя грань пустого множества равна и его супремум ). Более того, с этой топологиейэто гомеоморфно на единичный интервал . Таким образом, топология метризуема и соответствует (для данного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Нет метрики, которая была бы продолжением обычной метрики на.
В этой топологии набор является соседство из, тогда и только тогда, когда он содержит множество за какое-то реальное число . Понятие соседстваможно определить аналогично. Используя эту характеристику расширенных вещественных окрестностей, специально определенные пределы для стремясь к а также , и специально определенные понятия пределов, равных а также сводятся к общему топологическому определению пределов.
Арифметические операции
Арифметические операции может быть частично расширен до следующим образом: [3]
Для возведения в степень см. Возведение в степень § Пределы полномочий . Здесь "" означает оба "" и "", в то время как "" означает оба "" и "".
Выражения а также (называемые неопределенными формами ) обычно остаются неопределенными . Эти правила построены на законах бесконечных ограничений . Однако в контексте теории вероятностей или меры часто определяется как . [5]
При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение обычно остается неопределенным, потому что, хотя это правда, что для каждой реальной ненулевой последовательности что сходится к , обратная последовательность в конечном итоге содержится в каждой окрестности , Это не правда , что последовательность должен сам сходиться к или же Другими словами, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении тогда не обязательно, чтобы имеет тенденцию к или же в пределе как как правило . Это имеет место для пределов функции идентичности когда стремится к 0, а из (для последней функции ни ни это предел , даже если только положительные значения считаются).
Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить . Например, при работе с блоком серии, радиус сходимости в виде степенных рядов с коэффициентами часто определяется как величина, обратная предельному супремуму последовательности . Таким образом, если разрешить принять ценность , то эту формулу можно использовать независимо от того, является ли предел-супремум или нет.
Алгебраические свойства
С этими определениями это не даже полугруппа , не говоря уже о группе , а кольцо или поле , как и в случае. Однако у него есть несколько удобных свойств:
- а также либо равны, либо оба не определены.
- а также либо равны, либо оба не определены.
- а также либо равны, либо оба не определены.
- а также либо равны, либо оба не определены
- а также равны, если оба определены.
- Если и если оба а также определены, то .
- Если а также и если оба а также определены, то .
В общем, все законы арифметики верны в - пока определены все встречающиеся выражения.
Разнообразный
Некоторые функции можно непрерывно расширять допринимая пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций следующим образом:
Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функция можно непрерывно расширять до (согласно некоторым определениям непрерывности), установив значение на для , и для а также . С другой стороны, функцияможет не быть постоянно расширяется, так как функция приближается в виде подходы снизу и в виде подходы сверху.
Подобная, но другая система реальных линий, проективно расширенная реальная линия , не различает а также (т.е. бесконечность беззнаковая). [6] В результате функция может иметь ограничение на проективно расширенной действительной прямой, тогда как в аффинно расширенной системе действительных чисел только абсолютное значение функции имеет предел, например, в случае функции в . С другой стороны
- а также
соответствуют на проективно расширенной вещественной прямой только пределу справа и одному пределу слева, соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции а также не может быть непрерывным при на проективно продолженной действительной прямой.
Смотрите также
- Деление на ноль
- Расширенная комплексная плоскость
- Расширенные натуральные числа
- Неправильный интеграл
- бесконечность
- Полукольцо журнала
- Серии (математика)
- Проективно расширенная действительная линия
- Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей запятой § Бесконечности и с плавающей запятой IEEE
Заметки
- ^ читать как положительная бесконечность и отрицательная бесконечность соответственно
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 3 декабря 2019 .
- ^ Уилкинс, Дэвид (2007). «Раздел 6: Расширенная система действительных чисел» (PDF) . maths.tcd.ie . Проверено 3 декабря 2019 .
- ^ а б в Вайсштейн, Эрик В. "Аффинно расширенные действительные числа" . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 .
- ^ Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC. п. 74. ISBN 9781498761147. Проверено 8 декабря 2019 .
- ^ «расширенное действительное число в nLab» . ncatlab.org . Проверено 3 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 .
дальнейшее чтение
- Aliprantis, Charalambos D .; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7, Руководство по ремонту 1669668
- Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа» . MathWorld .