Радиус схождения

В математике , то радиус сходимости в виде степенного ряда является радиус наибольшего диска , в котором серия сходится . Это либо неотрицательное действительное число, либо . Когда она положительна, то степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на компактах внутри открытого круга с радиусом , равным радиусу сходимости, и это ряд Тейлора в аналитической функции , к которой он сходится.${\ displaystyle \ infty}$

Определение [ править ]

Для степенного ряда ƒ, определяемого как:

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n},}$

куда,

a - комплексная постоянная, центр круга сходимости,

c _n - n- ^й комплексный коэффициент, а

z - комплексная переменная.

Радиус сходимости r - неотрицательное действительное число или такое, что ряд сходится, если${\ displaystyle \ infty}$

${\ Displaystyle | za | <г \,}$

и расходится, если

${\ displaystyle | za |> r. \,}$

Некоторые могут предпочесть альтернативное определение, поскольку существование очевидно:

${\displaystyle r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}}$

На границе, то есть где | г  -  а | = r , поведение степенного ряда может быть сложным, и ряд может сходиться для одних значений z и расходиться для других. Радиус сходимости бесконечен, если ряд сходится для всех комплексных чисел z . ^[1]

Определение радиуса сходимости [ править ]

Возникают два случая. Первый случай является теоретическим: когда вы знаете все коэффициенты, вы берете определенные пределы и находите точный радиус сходимости. Второй случай практичен: когда вы строите решение сложной задачи в виде степенного ряда, вы, как правило, будете знать только конечное число членов в степенном ряду, от пары до ста членов. Во втором случае экстраполяция графика позволяет оценить радиус сходимости.${\displaystyle c_{n}}$

Теоретический радиус [ править ]

Радиус сходимости можно найти, применив критерий корня к членам ряда. Корневой тест использует число

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|z-a|}$

«lim sup» обозначает верхний предел . Корневой тест утверждает, что ряд сходится, если C  <1, и расходится, если  C  > 1. Отсюда следует, что степенной ряд сходится, если расстояние от z до центра a меньше, чем

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

и расходится, если расстояние превышает это число; это утверждение является теоремой Коши – Адамара . Обратите внимание, что r  = 1/0 интерпретируется как бесконечный радиус, что означает, что ƒ - целая функция .

Предел, используемый в тесте отношения, обычно легче вычислить, и когда этот предел существует, он показывает, что радиус сходимости конечен.

${\displaystyle r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Это показано следующим образом. Тест отношения говорит, что ряд сходится, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1.}$

Это эквивалентно

${\displaystyle |z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Практическая оценка радиуса в случае реальных коэффициентов [ править ]

Графики функции Сплошная зеленая линия - это прямолинейная асимптота на графике Домба – Сайкса, ^[2] график (b), который пересекает вертикальную ось в точке −2 и имеет наклон +1. Таким образом, имеется особенность в точке, и поэтому радиус сходимости равен${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}$
${\displaystyle \varepsilon =-1/2}$${\displaystyle r=1/2.}$

Обычно в научных приложениях известно лишь конечное число коэффициентов . Обычно ^{[ неопределенные ] по} мере увеличения эти коэффициенты принимают регулярное поведение, определяемое ближайшей сингулярностью, ограничивающей радиус. В этом случае были разработаны два основных метода, основанных на том факте, что коэффициенты ряда Тейлора примерно экспоненциальны с отношением, где r - радиус сходимости.${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/r}$

• Базовый случай - это когда коэффициенты в конечном итоге имеют общий знак или чередуются по знаку. Как указывалось ранее в статье, во многих случаях предел существует, и в этом случае отрицательный означает, что сингулярность, ограничивающая сходимость, находится на отрицательной оси. Оцените этот предел, построив график зависимости и графически экстраполируйте (эффективно ) с помощью линейной аппроксимации. Отрезок с оценками обратной величины радиуса сходимости . Этот сюжет называется сюжетом Домба – Сайкса .${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{c_{n}}/{c_{n-1}}}}$${\displaystyle {1}/{r}=\lim _{n\to \infty }{{c_{n}}/{c_{n-1}}}.}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle n=\infty }$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle 1/r}$
• Более сложный случай, когда знаки коэффициентов имеют более сложный узор. Мерсер и Робертс предложили следующую процедуру. ^[3] Определите связанную последовательность

${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$

Постройте график сравнения конечного числа известных и графически экстраполируйте их с помощью линейной аппроксимации. Отрезок с оценками обратной величины радиуса сходимости .${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle 1/n=0}$${\displaystyle 1/r}$

Эта процедура также оценивает две другие характеристики особенности, предельной сходимости. Предположим, что ближайшая сингулярность имеет градус и угол к действительной оси. Тогда наклон приведенной выше линейной аппроксимации равен . Кроме того, сюжет в сравнении , то линейная подгонка экстраполировать имеет перехватывать в .${\displaystyle p}$${\displaystyle \pm \theta }$${\displaystyle -(p+1)/r}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$${\displaystyle 1/n^{2}}$${\displaystyle 1/n^{2}=0}$${\displaystyle \cos \theta }$

Радиус сходимости в комплексном анализе [ править ]

Степенный ряд с положительным радиусом сходимости может быть преобразован в голоморфную функцию, если принять его аргумент как комплексную переменную. Радиус сходимости можно охарактеризовать следующей теоремой:

Радиус сходимости степенного ряда ƒ с центром в точке a равен расстоянию от a до ближайшей точки, где ƒ нельзя определить таким образом, чтобы он был голоморфным.

Множество всех точек, расстояние до строго меньше радиуса сходимости называется диском сходимости .

Ближайшая точка означает ближайшую точку на комплексной плоскости , не обязательно на действительной прямой, даже если центр и все коэффициенты действительны. Например, функция

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

не имеет особенностей на действительной прямой, так как не имеет реальных корней. Его ряд Тейлора около 0 определяется выражением${\displaystyle 1+z^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

Корневой тест показывает, что ее радиус сходимости равен 1. В соответствии с этим функция ƒ ( z ) имеет особенности в ± i , которые находятся на расстоянии 1 от 0.

Для доказательства этой теоремы см аналитичность голоморфных функций .

Простой пример [ править ]

Функция арктангенса тригонометрии может быть расширена в степенной ряд:

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

В этом случае легко применить корневой тест, чтобы найти, что радиус сходимости равен 1.

Более сложный пример [ править ]

Рассмотрим этот степенной ряд:

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

где рациональные числа B _n - числа Бернулли . Может оказаться обременительным попытаться применить тест отношения, чтобы найти радиус сходимости этого ряда. Но сформулированная выше теорема комплексного анализа быстро решает проблему. При z = 0 особенность фактически отсутствует, поскольку особенность устранима . Таким образом, единственные неустранимые особенности находятся в других точках, где знаменатель равен нулю. Мы решаем

${\displaystyle e^{z}-1=0\,}$

напоминая, что если z = x  +  iy и e ^iy  = cos ( y ) +  i  sin ( y ), то 

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,}$

а затем возьмем x и y за реальные. Поскольку y является действительным, абсолютное значение cos ( y ) +  i  sin ( y ) обязательно равно 1. Следовательно, абсолютное значение e ^z может быть 1, только если e ^x равно 1; поскольку x является действительным, это происходит, только если x = 0. Следовательно, z является чисто мнимым и cos ( y ) +  i  sin ( y ) = 1. Поскольку y является действительным, это происходит, только если cos ( y ) = 1 и sin ( y ) = 0, так что y  является целым числом, кратным 2 π . Следовательно, особые точки этой функции находятся в точках

z = ненулевое целое число, кратное 2 π i .

Ближайшие к 0 особенности, являющиеся центром разложения по степеням, находятся в точках ± 2 π i . Расстояние от центра до любой из этих точек составляет 2 π , поэтому радиус сходимости равен 2 π .

Схождение на границе [ править ]

Если степенной ряд разложен вокруг точки a и радиус сходимости равен r , то множество всех точек z таких, что | г - а | = r - окружность, называемая границей диска сходимости. Степенный ряд может расходиться в каждой точке на границе, или расходиться в некоторых точках и сходиться в других точках, или сходиться во всех точках на границе. Более того, даже если ряд сходится всюду на границе (даже равномерно), он не обязательно сходится абсолютно.

Пример 1: степенной ряд для функции ƒ ( z ) = 1 / (1 - z ) , разложенный вокруг z = 0 , что просто

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

имеет радиус сходимости 1 и расходится в каждой точке границы.

Пример 2: степенной ряд для g ( z ) = −ln (1 - z ) , разложенный вокруг z = 0 , который равен

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

имеет радиус сходимости 1 и расходится при z = 1, но сходится для всех остальных точек на границе. Функция ƒ ( z ) из примера 1 является производной от g ( z ) .

Пример 3: степенной ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

имеет радиус сходимости 1 и абсолютно сходится всюду на границе. Если h - функция, представленная этим рядом на единичном круге, то производная h ( z ) равна g ( z ) / z с g из примера 2. Оказывается, h ( z ) - функция дилогарифма .

Пример 4: степенной ряд

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

имеет радиус сходимости 1 и сходится равномерно на всей границе | z | = 1 , но не сходится абсолютно на границе. ^[4]

Скорость конвергенции [ править ]

Если мы расширим функцию

${\displaystyle f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x}$

вокруг точки x = 0, мы обнаруживаем, что радиус сходимости этого ряда означает, что этот ряд сходится для всех комплексных чисел. Однако в приложениях часто интересует точность числового ответа . И количество членов, и значение, при котором должна оцениваться серия, влияют на точность ответа. Например, если мы хотим вычислить f (0,1) = sin (0,1) с точностью до пяти десятичных знаков, нам нужны только первые два члена ряда. Однако, если нам нужна такая же точность для x = 1, мы должны оценить и просуммировать первые пять членов ряда. Для f (10)${\displaystyle \scriptstyle \infty }$, требуются первые 18 членов ряда, а для f (100) нам нужно вычислить первые 141 член.

Таким образом, для этих конкретных значений самая быстрая сходимость разложения степенного ряда находится в центре, и по мере удаления от центра сходимости скорость сходимости замедляется до тех пор, пока вы не достигнете границы (если она существует) и не перейдете, в этом случае серии разойдутся.

Абсцисса сходимости ряда Дирихле [ править ]

Аналогичное понятие - абсцисса сходимости ряда Дирихле

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}.}$

Такой ряд сходится, если действительная часть s больше определенного числа, зависящего от коэффициентов a _n : абсцисс сходимости.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Браун, Джеймс; Черчилль, Руэль (1989), Комплексные переменные и приложения , Нью-Йорк: Макгроу-Хилл , ISBN 978-0-07-010905-6
• Штейн, Элиас ; Шакарчи, Рами (2003), Комплексный анализ , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

См. Также [ править ]

• Тесты сходимости
• Корневой тест

Внешние ссылки [ править ]

• Что такое радиус конвергенции?