Корневой тест

В математике , то тест корня является критерием сходимости (а тест сходимости ) в качестве бесконечного ряда . Это зависит от количества

${\ displaystyle \ limsup _ {п \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

где - члены ряда, и утверждает, что ряд абсолютно сходится, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно при работе с силовыми рядами .${\ displaystyle a_ {n}}$

Объяснение корневого теста [ править ]

Корневой тест был впервые разработан Огюстен-Луи Коши, который опубликовал его в своем учебнике Cours d'analyse (1821). ^[1] Таким образом, его иногда называют критерием корня Коши или критерием радикальности Коши . Для серии

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

в корневом тесте используется число

${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

где "lim sup" обозначает верхний предел , возможно ∞ +. ^[2] Обратите внимание, что если

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

сходится, тогда он равен C и может использоваться вместо этого в корневом тесте.

Корневой тест утверждает, что:

• если C <1, то ряд абсолютно сходится ,
• если C > 1, то ряд расходится ,
• если C = 1 и предел приближается строго сверху, то ряд расходится,
• в противном случае проверка будет безрезультатной (ряды могут расходиться, сходиться абсолютно или сходиться условно ).

Есть ряды, для которых C = 1 и ряд сходится, например , и есть другие, для которых C = 1 и ряд расходится, например .${\ Displaystyle \ textstyle \ сумма 1 / {п ^ {2}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / n}$

Применение к степенным рядам [ править ]

Этот тест можно использовать с серией мощности

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}$

где коэффициенты c _n и центр p - комплексные числа, а аргумент z - комплексная переменная.

Тогда члены этого ряда будут иметь вид a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Затем к a _n применяется корневой тест, как указано выше. Обратите внимание, что иногда такой ряд называют степенным рядом «вокруг p », потому что радиус сходимости - это радиус R наибольшего интервала или диска с центром в p , так что ряд будет сходиться для всех точек z строго внутри ( сходимость на границе интервала или диска обычно проверяется отдельно). следствиепроверкой корня, применяемой к такому степенному ряду, является теорема Коши – Адамара : радиус сходимости точно учитывает, что мы действительно подразумеваем ∞, если знаменатель равен 0.${\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Доказательство [ править ]

Доказательство сходимости ряда Σ a _n является применением теста сравнения . Если для всех n ≥ N ( N некоторое фиксированное натуральное число ) имеем, то . Поскольку геометрический ряд сходится, то это происходит и при проверке сравнения. Следовательно, Σ a _n абсолютно сходится. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1,}$${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$

Если для бесконечного числа п , то _п не сходится к 0, следовательно , ряд расходится.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$

Доказательство следствия : для степенного ряда Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ мы видим из вышеизложенного, что ряд сходится, если существует N такое, что для всех n ≥ N имеем

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

эквивалентно

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

для всех n ≥ N , откуда следует, что для того, чтобы ряд сходился, мы должны иметь для всех достаточно больших n . Это эквивалентно высказыванию${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

так теперь единственное место , где сходимость можно когда${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(поскольку точки> 1 будут расходиться), и это не изменит радиус сходимости, поскольку это просто точки, лежащие на границе интервала или круга, поэтому

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

Примеры [ править ]

Пример 1:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}$

Применяя корневой тест и используя тот факт, что ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n^{1/n}=1,}$

${\displaystyle C={\sqrt[{n}]{|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}|}}={\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}={\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}$

Поскольку сериал расходится. ^[3]${\displaystyle C=2>1,}$

Пример 2:

${\displaystyle 1+1+0.5+0.5+0.25+0.25+0.125+0.125+...}$

Корневой тест показывает сходимость, потому что

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|.5^{n}|}}=.5<1.}$

Этот пример показывает, насколько тест корня сильнее теста отношения . Тест отношения не дает результатов для этой серии, если она нечетная (хотя и не четная), потому что ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=.5^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {2\cdot .5^{n}}{2\cdot .5^{n}}}\right|=1.}$

См. Также [ править ]

• Соотношение тест
• Сходящийся ряд

Ссылки [ править ]

• Кнопп, Конрад (1956). «§ 3.2». Бесконечные последовательности и серии . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-60153-6.
• Уиттакер, Т. Т. и Уотсон, Г. Н. (1963). «§ 2.35». Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58807-3.

Эта статья включает материал из теста Proof of Cauchy root на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .