В математике , более конкретно исчислении , правило Лопиталя или правило Лопиталя ( французский: [lopital] , английский: / ˌ л oʊ р я тɑː л / , лох-pee- Таллой ) обеспечивает методику для оценки пределов по неопределенные формы . Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое можно легко вычислить с помощью подстановки. Правило названо в честь французского математика 17 века.Гийом де л'Опиталь . Хотя правило часто приписывают Л'Опиталу, теорема была впервые представлена ему в 1694 году швейцарским математиком Иоганном Бернулли .
Пример применения правила Лопиталя к f ( x ) = sin ( x ) и g ( x ) = −0,5 x : функция h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) не определена при x = 0 , но может быть дополнена до непрерывной функции на всем R , определяя h (0) = f ′ (0) / g ′ (0) = −2 .
Правило Лопиталя гласит, что для функций f и g , дифференцируемых на открытом интервале I, за исключением, возможно, точки c, содержащейся в I , если а также для всех x в I с x ≠ c , и существует, то
Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно вычислить напрямую.
Общая форма правила Л'Опиталя охватывает многие случаи. Пусть c и L - расширенные действительные числа (т. Е. Действительные числа, положительная бесконечность или отрицательная бесконечность). Пусть I - открытый интервал, содержащий c (для двустороннего предела) или открытый интервал с конечной точкой c (для одностороннего предела , или предел на бесконечности, если c бесконечно). В действительных функций F и G предполагаются дифференцируема на Я , за исключением , возможно , на C , и дополнительнона I, кроме, возможно, в c . Также предполагается, чтоТаким образом, правило применяется к ситуациям, в которых отношение производных имеет конечный или бесконечный предел, но не к ситуациям, в которых это отношение постоянно колеблется по мере приближения x к c .
Если либо
или же
тогда
Хотя мы писали х → C в течение, пределы могут быть также односторонние пределы ( х → с + или х → C - ), когда с является конечным концом I .
Во втором случае гипотеза о том, что f расходится на бесконечность, в доказательстве не используется (см. Примечание в конце раздела доказательства); таким образом, хотя условия правила обычно формулируются так, как указано выше, второе достаточное условие для того, чтобы процедура правила была действительной, можно более кратко сформулировать как
Гипотеза о том, что чаще всего встречается в литературе, но некоторые авторы обходят эту гипотезу, добавляя другие гипотезы в другом месте. Один из методов [5] - определить предел функции с дополнительным требованием, чтобы предельная функция определялась всюду на соответствующем интервале I, кроме, возможно, точки c . [c] Другой метод [6] состоит в том, чтобы потребовать, чтобы и f, и g были дифференцируемы всюду на интервале, содержащем c .
Требование наличия лимита
Требование, чтобы предел
существует существенно. Без этого условия или же могут проявлять незатухающие колебания как подходы , в этом случае правило L'Hôpital не применяется. Например, если, а также , тогда
это выражение не приближается к пределу, поскольку идет в , поскольку функция косинуса колеблется между 1 и -1 . Но работая с оригинальными функциями, можно показать, что существует:
В таком случае все, что можно сделать, это то, что
так что если предел f / g существует, то он должен лежать между нижним и верхним пределами f / g . (В приведенном выше примере это верно, поскольку 1 действительно находится между 0 и 2.)
Примеры
Вот базовый пример с экспоненциальной функцией, которая включает неопределенную форму 0/0при x = 0 :
Это более сложный пример, включающий 0/0. Однократное применение правила L'Hôpital все еще приводит к неопределенной форме. В этом случае лимит можно оценить, применив правило трижды:
Вот пример с участием ∞/∞:
Неоднократно применяйте правило Л'Опиталя до тех пор, пока показатель степени не станет нулевым (если n - целое число) или отрицательным (если n дробное), чтобы сделать вывод, что предел равен нулю.
Вот пример с неопределенной формой 0 · ∞ (см. Ниже), которая переписывается как форма ∞/∞:
Вот пример, включающий формулу погашения ипотеки и 0/0. Пусть P - основная сумма кредита (сумма кредита), r - процентная ставка за период и n - количество периодов. Когда r равно нулю, сумма погашения за период равна(поскольку выплачивается только основная сумма); это соответствует формуле для ненулевых процентных ставок:
Можно также использовать правило Лопиталя для доказательства следующей теоремы. Если f дважды дифференцируема в окрестности точки x и ее вторая производная непрерывна в этой окрестности, то
Иногда правило Л'Опиталя применяется хитрым способом: предположим, что f ( x ) + f ′ ( x ) сходится при x → ∞ и чтосходится к положительной или отрицательной бесконечности. Потом:
и другие, существует и
Результат остается верным без дополнительной гипотезы о том, что сходится к положительной или отрицательной бесконечности, но в этом случае обоснование неполное.
Осложнения
Иногда правило L'Hôpital не приводит к ответу за конечное число шагов, если не применяются какие-то дополнительные шаги. Примеры включают следующее:
Два приложения могут привести к возврату к исходному выражению, которое должно было быть вычислено:
С этой ситуацией можно справиться, подставив и отмечая, что y стремится к бесконечности, как x стремится к бесконечности; с такой заменой эта проблема может быть решена одним применением правила:
В качестве альтернативы числитель и знаменатель могут быть умножены на в этот момент правило L'Hôpital может быть немедленно успешно применено: [7]
Произвольно большое количество заявок никогда не может привести к ответу даже без повторения:
С этой ситуацией тоже можно справиться преобразованием переменных, в данном случае :
Опять же, альтернативный подход - умножить числитель и знаменатель на перед применением правила L'Hôpital:
Распространенная ошибка заключается в использовании правила Л'Опиталя с некоторыми круговыми рассуждениями для вычисления производной через разностное отношение . Например, рассмотрим задачу доказательства формулы производной для степеней x :
Применение правила Л'Опиталя и нахождение производных по h числителя и знаменателя дает nx n −1, как и ожидалось. Однако дифференцирование числителя потребовало использования самого доказываемого факта. Это пример напрашивания вопроса , поскольку нельзя предполагать, что факт будет доказан в ходе доказательства.
Контрпримеры, когда производная знаменателя равна нулю
Необходимость условия, что возле можно увидеть на следующем контрпримере Отто Штольца . [8] Пусть а также Тогда нет предела для в виде Тем не мение,
Другие неопределенные формы, такие как 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 , 0 · ∞ и ∞ - ∞ , иногда могут быть вычислены с использованием правила Л'Опиталя. Например, чтобы оценить предел, включающий ∞ - ∞ , преобразуйте разность двух функций в частное:
где правило Л'Опиталя применяется при переходе от (1) к (2) и снова при переходе от (3) к (4).
Правило L'Hôpital можно использовать в неопределенных формах, включающих показатели степени, с помощью логарифмов для «опускания показателя степени вниз». Вот пример с неопределенной формой 0 0 :
Допустимо переместить предел внутрь экспоненциальной функции, потому что экспоненциальная функция является непрерывной . Теперь показатель степенибыл «перемещен вниз». Лимитимеет неопределенную форму 0 · ∞ , но, как показано в примере выше, правило Л'Опиталя может быть использовано для определения того, что
Таким образом
Теорема Штольца – Чезаро
Теорема Штольца – Чезаро является аналогичным результатом, касающимся пределов последовательностей, но в ней используются операторы конечных разностей, а не производные .
Геометрическая интерпретация
Рассмотрим кривую на плоскости, координата x которой задается как g ( t ), а координата y - как f ( t ) , причем обе функции непрерывны, т. Е. Геометрическое место точек вида [ g ( t ), f ( t )] . Предположим, что f ( c ) = g ( c ) = 0 . Предел соотношенияf ( t )/г ( т )при t → c - наклон касательной к кривой в точке [ g ( c ), f ( c )] = [0,0] . Касательная к кривой в точке [ g ( t ), f ( t )] задается формулами [ g ′ ( t ), f ′ ( t )] . Затем правило Лопиталя гласит, что наклон кривой при t = c является пределом наклона касательной к кривой, когда кривая приближается к началу координат, при условии, что это определено.
Доказательство правила L'Hôpital
Особый случай
Доказательство правила Лопиталя просто в том случае , когда е и г является непрерывно дифференцируемы в точке с и где конечным предел найден после первого раунда дифференциации. Это не доказательство общего правила Л'Опиталя, потому что оно более строгое по своему определению, требуя как дифференцируемости, так и того, чтобы c было действительным числом. Поскольку многие общие функции имеют непрерывные производные (например, многочлены , синус и косинус , экспоненциальные функции ), это особый случай, заслуживающий внимания.
Предположим, что f и g непрерывно дифференцируемы в действительном числе c , что, и это . потом
Это следует из определения производной через фактор-разность. Последнее равенство следует из непрерывности производных в точке c . Предел в заключении не является неопределенным, потому что.
Доказательство более общей версии правила Л'Опиталя приводится ниже.
Общее доказательство
Следующее доказательство принадлежит Тейлору (1952) , где единое доказательство 0/0 а также ± ∞/± ∞даны неопределенные формы. Тейлор отмечает, что разные доказательства можно найти у Леттенмейера (1936) и Важевски (1949) .
Пусть f и g - функции, удовлетворяющие условиям раздела общего вида . Позволять- открытый интервал в гипотезе с конечной точкой c . Учитывая, чтона этом интервале и g непрерывна,можно выбрать меньшим, чтобы g не равнялось нулю на. [d]
Для каждого x в интервале определите а также в виде колеблется по всем значениям от x до c . (Символы inf и sup обозначают нижнюю и супремум .)
Из дифференцируемости f и g на, Теорема Коши о среднем значении гарантирует, что для любых двух различных точек x и y в существует между x и y такими, что. Вследствие этого,для всех вариантов выбора различных x и y в интервале. Значение g ( x ) - g ( y ) всегда отличное от нуля для различных x и y в интервале, поскольку, если бы это было не так, теорема о среднем значении подразумевала бы существование p между x и y, такое что g ' ( p ) = 0.
Определение m ( x ) и M ( x ) приведет к расширенному действительному числу, и поэтому они могут принимать значения ± ∞. В следующих двух случаях m ( x ) и M ( x ) устанавливают границы отношения ж/грамм.
Дело 1:
Для любого x в интервале, и точка y между x и c ,
и поэтому, когда y приближается к c , а также стать нулевым, и так
Случай 2:
Для каждого x в интервале, определять . Для каждой точки y между x и c ,
Когда y приближается к c , оба а также стать нулевым, и, следовательно,
Предел выше и нижний предел необходим , так как существование предела ж/грамм еще не установлено.
Также верно, что
[e] и
а также
В случае 1 теорема о сжатии устанавливает, чтосуществует и равна L . В случае 2 теорема о сжатии снова утверждает, что, так что предел существует и равна L . Это результат, который нужно было доказать.
В случае 2 предположение, что f ( x ) расходится на бесконечность, в доказательстве не использовалось. Это означает, что если | g ( x ) | расходится до бесконечности, когда x приближается к c, а f и g удовлетворяют гипотезам правила Л'Опиталя, тогда не требуется дополнительных предположений о пределе f ( x ): может быть даже так, что предел f ( x ) не существует. В этом случае теорема Лопиталя на самом деле является следствием Чезаро – Штольца. [10]
В случае, когда | g ( x ) | расходится к бесконечности, когда x приближается к c, а f ( x ) сходится к конечному пределу в c , тогда правило Л'Опиталя будет применимо, но не абсолютно необходимо, поскольку базовое предельное исчисление покажет, что предел f ( x ) / g ( x ) по мере приближения x к c должно быть равно нулю.
Следствие
Простое, но очень полезное следствие правила Лопиталя - это хорошо известный критерий дифференцируемости. Он утверждает следующее: предположим, что f непрерывна в a , и чтосуществует для всех x в некотором открытом интервале, содержащем a , за исключением, возможно,. Предположим, кроме того, чтосуществуют. потом также существует и
В частности, f ' также непрерывна в a .
Доказательство
Рассмотрим функции а также . Непрерывность f в a говорит нам, что. Более того,поскольку полиномиальная функция всегда всюду непрерывна. Применение правила L'Hopital показывает, что.
Смотрите также
Противоречие L'Hôpital
Заметки
↑ В XVII и XVIII веках это имя обычно произносилось как «Госпиталь», и он сам писал свое имя таким образом. Однако французское написание было изменено : безмолвная 's' была удалена и заменена на предшествующую гласнуюс циркумфлексом . Прежнее написание все еще используется в английском языке, где нет циркумфлекса.
^ "Предложение I. Problême. Soit une ligne Courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [см. Рис. 130]) telle que la valeur de l'appliquée y soit exprimée par une дробь, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c'est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l'appliquée BD. [Решение:] ... si l'on prend la difference du numérateur, & qu'on la divise par la difference du denominateur, apres escapeir fait x = a = Ab ou AB, l'on aura la valeur cherchée de l'appliquée bd ou BD ". Перевод : «Пусть есть кривая AMD (где AP = X, PM = y, AB = a) такая, что значение ординаты y выражается дробью, числитель и знаменатель которой становятся равными нулю, когда x = a; то есть , когда точка P попадает в данную точку B. Спрашивается, каким должно быть значение ординаты BD. [Решение:] ... если взять дифференциал числителя и разделить его на дифференциал числа знаменатель, после установки x = a = Ab или AB, будет получено искомое [искомое] значение ординаты bd или BD ". [2]
^ Определение предела функции функциональным анализом не требует существования такого интервала.
^ Так как g ' отлична от нуля и g непрерывна на интервале, g не может быть нулем более одного раза на интервале. Если бы у него было два нуля, теорема о среднем значении утверждала бы существование точки p в интервале между нулями, такой что g ' ( p ) = 0. Таким образом, либо g уже не равно нулю на интервале, либо интервал может быть уменьшен в размере, чтобы не содержать единственного нуля g .
^ Пределы а также оба существуют, поскольку имеют неубывающую и невозрастающую функции от x соответственно. Рассмотрим последовательность. потом, поскольку неравенство выполняется для каждого i ; это дает неравенства Следующий шаг - показать . Зафиксируйте последовательность чисел такой, что , и последовательность . Для каждого i выберите такой, что , по определению . Таким образомпо желанию. Аргумент, что похож.
Рекомендации
^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. "Биография Де Л'Опиталь" . Архив истории математики MacTutor . Шотландия: Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс . Проверено 21 декабря 2008 года .
^L'Hospital. «Анализируйте des infiniment petits» : 145–146. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
^Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (2011). История математики (3-е иллюстрированное изд.). Джон Вили и сыновья. п. 321. ISBN. 978-0-470-63056-3. Отрывок страницы 321
^Вайсштейн, Эрик В. "Правило госпиталя" . MathWorld .
^ ( Чаттерджи 2005 , стр. 291)
^ ( Кранц 2004 , стр.79)
^ Умножение на вместо этого дает решение для предела без необходимости правила Лопиталя.
^Штольц, Отто (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [О пределах частных]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 15 (3–4): 556–559. DOI : 10.1007 / bf02086277 . S2CID 122473933 .
^Боас-младший, Ральф П. (1986). «Контрпримеры к правилу Л'Опиталя». Американский математический ежемесячник . 93 (8): 644–645. DOI : 10.1080 / 00029890.1986.11971912 . JSTOR 2322330 .
Чаттерджи, Дипак (2005), Реальный анализ , PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
Кранц, Стивен Г. (2004), Справочник по действительным переменным. С приложениями к дифференциальным уравнениям и анализу Фурье , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. Xiv + 201, DOI : 10.1007 / 978-0-8176-8128-9 , ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
Lettenmeyer, F. (1936), "Über умереть sogenannte Hospitalsche Регель", Journal für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 1936 (174): 246-247, DOI : 10,1515 / crll.1936.174.246 , S2CID 199546754
Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (на французском языке), 47 : 117–128, MR 0034430