Односторонний предел

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Односторонний лимит»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Функция f ( x ) = x ² + sign ( x ) имеет левый предел -1, правый предел +1 и значение функции 0 в точке x = 0.

В исчислении , А односторонний предел либо из двух пределов одного функции F ( х ) от вещественной переменной х как х приближается к указанной точке либо с левой или с правой стороны .

Предел, когда x уменьшается в значении, приближаясь к a ( x приближается к a «справа» или «сверху»), можно обозначить:

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к ^ {+}} е (х) \}$или или или${\ Displaystyle \ lim _ {х \, \ вниз \, а} \, е (х)}$${\ Displaystyle \ lim _ {х \ шерроу а} \, е (х)}$${\ Displaystyle \ lim _ {х {\ underset {>} {\ to}} а} е (х)}$

Предел, когда x увеличивается в значении, приближающемся к a ( x приближается к a «слева» или «снизу»), можно обозначить:

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к ^ {-}} е (х) \}$или или или${\displaystyle \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\to }}a}f(x)}$

В теории вероятностей принято использовать краткие обозначения:

${\displaystyle f(x-)}$для левого предела и для правого предела.${\displaystyle f(x+)}$

Два односторонних предела существуют и равны, если существует предел f ( x ), когда x приближается к a . В некоторых случаях, когда лимит

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

не существует, тем не менее, существуют два односторонних ограничения. Следовательно, предел, когда x приближается к a , иногда называют «двусторонним пределом».

В некоторых случаях один из двух односторонних ограничений существует, а другой нет, а в некоторых случаях ни того, ни другого не существует.

Правосторонний предел можно строго определить как

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

а левосторонний предел можно строго определить как

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

где I представляет некоторый интервал, который находится в области определения f .

Примеры [ править ]

График функции ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x})}$

Один из примеров функции с разными односторонними ограничениями следующий (см. Рисунок):

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

в то время как

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Отношение к топологическому определению предела [ править ]

Односторонний предел для точки p соответствует общему определению предела , при этом область определения функции ограничена одной стороной, либо путем допуска, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо путем рассмотрения одностороннего подпространство, включая p . В качестве альтернативы можно рассматривать домен с топологией полуоткрытого интервала .

Теорема Абеля [ править ]

Примечательной теоремой об односторонних пределах некоторых степенных рядов на границах их интервалов сходимости является теорема Абеля .

См. Также [ править ]

• Проективно расширенная действительная линия
• Полудифференцируемость
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее

Внешние ссылки [ править ]

• «Односторонний предел» . PlanetMath .