Вогнутая функция

В математике , A вогнутая функция является отрицательным из функции выпуклой . Вогнутая функция также синонимично называется вогнутой вниз , вогнутой вниз , выпуклой вверх , выпуклой крышкой или верхней выпуклой .

Определение [ править ]

Вещественнозначная функция на интервале (или, более общо, выпуклое множество в векторном пространстве ) называется вогнутой , если для любого и в интервале и для любого , ^[1]${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Функция называется строго вогнутой, если

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

для любого и .${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\displaystyle x\neq y}$

Для функции это второе определение просто утверждает, что для каждого строго между и точка на графике находится над прямой линией, соединяющей точки и .${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (z,f(z))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (y,f(y))}$

Функция является квазивогнутой, если верхние контурные множества функции являются выпуклыми множествами. ^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

Свойства [ править ]

Функции одной переменной [ править ]

1. Дифференцируемая функция f является (строго) вогнутой на интервале тогда и только тогда, когда ее производная функция f ′ (строго) монотонно убывает на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающий (убывающий) наклон . ^{[3] [4]}

2. Точки изменения вогнутости (между вогнутой и выпуклой ) являются точками перегиба . ^[5]

3. Если F является twice- дифференцируема , то F вогнута тогда и только тогда , когда е '' является неположительны (или, неформально, если « ускорение » не является положительным). Если его вторая производная отрицательна, то она строго вогнутая, но обратное неверно, как показано как f ( x ) = - x ⁴ .

4. Если f вогнутая и дифференцируемая, то она ограничена сверху своим приближением Тейлора первого порядка : ^[2]

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$

5. Измеримая по Лебегу функция на интервале C вогнута тогда и только тогда, когда она вогнута в средней точке, то есть для любых x и y в C.

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

6. Если функция F является вогнутой, а F (0) ≥ 0 , то F есть субаддитивный на . Доказательство:${\displaystyle [0,\infty )}$

• Поскольку f вогнутая и 1 ≥ t ≥ 0 , полагая y = 0, имеем${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$
• Для :${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$

${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$

Функции n переменных [ править ]

1. Функция f вогнута над выпуклым множеством тогда и только тогда, когда функция −f является выпуклой функцией над множеством.

2. Сумма двух вогнутых функций сама является вогнутой, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т.е. набор вогнутых функций в данной области образует полуполе .

3. Вблизи локального максимума внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; наоборот, если производная строго вогнутой функции в некоторой точке равна нулю, то эта точка является локальным максимумом.

4. Любой локальный максимум вогнутой функции также является глобальным максимумом . Строго вогнутая функция будет иметь максимум один глобальный максимум.

Примеры [ править ]

• Функции и являются вогнутыми на своих областях определения, как их вторые производные, и всегда отрицательны.${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle f''(x)=-2}$${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• Логарифм функция является вогнутой на своей области , так как его производная является строго убывающей функцией.${\displaystyle f(x)=\log {x}}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• Любая аффинная функция одновременно вогнута и выпукла, но не является ни строго вогнутой, ни строго выпуклой.${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• Функция синуса вогнута на интервале .${\displaystyle [0,\pi ]}$
• Функция , где есть определитель из неотрицательного определенной матрицы B , является вогнутой. ^[6]${\displaystyle f(B)=\log |B|}$${\displaystyle |B|}$

Приложения [ править ]

• Изгиб лучей при вычислении затухания радиоволн в атмосфере имеет вогнутые функции.
• В ожидаемой полезности теории для выбора в условиях неопределенности , кардинальное подсобные функции к риску лиц , принимающих решения являются вогнутыми.
• В микроэкономической теории , производственные функции , как правило , предполагается, что вогнутая над некоторыми или всеми их доменами, в результате чего уменьшается возвращаются к входным факторам. ^[7]

См. Также [ править ]

• Вогнутый многоугольник
• Неравенство Дженсена
• Логарифмически вогнутая функция
• Квазивогнутая функция
• Вогнутость

Ссылки [ править ]

Дальнейшие ссылки [ править ]

• Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. DOI : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5.
• Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика . Джон Вили и сыновья. п. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.