Часть цикла статей о |
Исчисление |
---|
В исчислении , теорема Тейлора дает приближение к к -кратного дифференцируемой функции вокруг заданной точки на многочлен степени к , называется к го порядка многочлен Тейлора . Для гладкой функции полином Тейлора является усечением порядка k ряда Тейлора функции. Многочлен Тейлора первого порядка является линейным приближением функции, а многочлен Тейлора второго порядка часто называют квадратичным приближением . [1] Существует несколько версий теоремы Тейлора, некоторые из которых дают явные оценки ошибки приближения функции ее полиномом Тейлора.
Теорема Тейлора названа в честь математика Брука Тейлора , который сформулировал ее версию в 1715 году [2], хотя более ранняя версия результата уже упоминалась в 1671 году Джеймсом Грегори . [3]
Теорема Тейлора преподается на вводных курсах по исчислению и является одним из основных элементарных инструментов математического анализа . Он дает простые арифметические формулы для точного вычисления значений многих трансцендентных функций, таких как экспоненциальная функция и тригонометрические функции . Это отправная точка изучения аналитических функций и фундаментальное значение в различных областях математики, а также в численном анализе и математической физике . Теорема Тейлора также обобщается на многомерные и векторнозначные функции.
Мотивация [ править ]
Если вещественная функция f ( x ) дифференцируема в точке x = a , то она имеет линейное приближение вблизи этой точки. Это означает, что существует функция h 1 ( x ) такая, что
Здесь
является линейной аппроксимацией f ( x ) для x вблизи точки a , график которой y = P 1 ( x ) является касательной к графику y = f ( x ) в x = a . Ошибка аппроксимации:
В х стремится к а, эта ошибка стремится к нулю гораздо быстрее , чем , что делает полезное приближение.
Для лучшего приближения к f ( x ) мы можем подобрать квадратичный многочлен вместо линейной функции:
Вместо того, чтобы просто сопоставлять одну производную f ( x ) при x = a , этот многочлен имеет одни и те же первую и вторую производные, что очевидно при дифференцировании.
Теорема Тейлора гарантирует, что квадратичное приближение в достаточно малой окрестности x = a более точное, чем линейное приближение. Конкретно,
Здесь ошибка приближения равна
который, учитывая предельное поведение , стремится к нулю быстрее, чем когда x стремится к a .
Точно так же мы можем получить еще лучшие приближения к f, если будем использовать полиномы более высокой степени, поскольку тогда мы сможем сопоставить еще больше производных с f в выбранной базовой точке.
В общем случае ошибка аппроксимации функции полиномом степени k будет стремиться к нулю намного быстрее, чем когда x стремится к a . Однако есть функции, даже бесконечно дифференцируемые, для которых увеличение степени аппроксимирующего полинома не увеличивает точность приближения: мы говорим, что такая функция не может быть аналитической при x = a : она не (локально) определяется его производные в этой точке.
Теорема Тейлора имеет асимптотический характер: он только говорит о том , что ошибка R к в приближении по K -го порядка Тейлора многочлена P к стремится к нулю быстрее , чем любой ненулевой к -му степени полинома как х → . Он не говорит нам, насколько велика ошибка в какой-либо конкретной окрестности центра расширения, но для этой цели существуют явные формулы для остаточного члена (приведенные ниже), которые действительны при некоторых дополнительных предположениях регулярности для f . Эти расширенные версии теоремы Тейлора обычно приводят к единообразным оценкамдля ошибки приближения в малой окрестности центра расширения, но оценки не обязательно верны для слишком больших окрестностей, даже если функция f является аналитической . В этой ситуации, возможно, придется выбрать несколько полиномов Тейлора с разными центрами расширения, чтобы получить надежные Тейлоровские приближения исходной функции (см. Анимацию справа).
Остающийся термин можно использовать несколькими способами:
- Оцените ошибку для многочлена P k ( x ) степени k, оценивающего f ( x ) на заданном интервале ( a - r , a + r ). (Учитывая интервал и степень, мы находим ошибку.)
- Найдите наименьшую степень k, для которой многочлен P k ( x ) приближает f ( x ) с точностью до заданного допуска ошибки на заданном интервале ( a - r , a + r ). (Учитывая интервал и допустимую погрешность, мы находим степень.)
- Найдите наибольший интервал ( a - r , a + r ), на котором P k ( x ) аппроксимирует f ( x ) с точностью до заданной погрешности. (Учитывая степень и устойчивость к ошибкам, мы находим интервал.)
Теорема Тейлора в одной действительной переменной [ править ]
Формулировка теоремы [ править ]
Точная формулировка основной версии теоремы Тейлора выглядит следующим образом:
Теорема Тейлора [4] [5] [6] - Пусть K ≥ 1 быть целым числом , и пусть функция F : R → R Be K раз дифференцируемое в точке с ∈ R . Тогда существует функция h k : R → R такая, что
а также
Это называется формой остатка Пеано .
Многочлен, фигурирующий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка
функции f в точке a . Полином Тейлора является единственным полиномом «асимптотического наилучшего соответствия» в том смысле, что если существуют функция h k : R → R и полином k -го порядка p такие, что
тогда p = P k . Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена
что является ошибкой приближения при приближении f с помощью его многочлена Тейлора. Используя краткие обозначения , утверждение теоремы Тейлора читается как
Явные формулы для остатка [ править ]
При более сильных предположениях регулярности f существует несколько точных формул для остаточного члена R k полинома Тейлора, наиболее распространенными из которых являются следующие.
Среднее значение-форма остатка - Пусть F : R → R Be K + 1 раз дифференцируемая на открытом интервале с ф ( к ) непрерывная на отрезке между и х . [7] Тогда
для некоторого действительного числа ξ L между a и x . Это форма Лагранжа [8] остатка.
По аналогии,
для некоторого действительного числа ξ C между a и x . Это форма Коши [9] остатка.
Эти уточнения теоремы Тейлора обычно доказываются с помощью теоремы о среднем значении , откуда и произошло название. Также можно найти другие подобные выражения. Например, если G ( t ) непрерывна на отрезке и дифференцируема с отличной от нуля производной на открытом отрезке между a и x , то
для некоторого числа ξ между a и x . Эта версия охватывает формы Лагранжа и Коши остатка как частные случаи и доказывается ниже с помощью теоремы Коши о среднем значении .
Утверждение для интегральной формы остатка более продвинуто, чем предыдущие, и требует понимания теории интегрирования Лебега для полной общности. Однако это верно также в смысле интеграла Римана при условии, что ( k + 1) -я производная f непрерывна на отрезке [ a , x ].
Интегральная форма остатка [10] - Пусть F ( K ) будет абсолютно непрерывна на замкнутом интервале между и х . потом
Благодаря абсолютной непрерывности в F ( K ) на отрезке между и х , его производная е ( к + 1) существует как L 1 -функция, и результат может быть доказан путем формального расчетом с помощью основной теоремы исчисления и интеграция по частям .
Оценки оставшейся части [ править ]
На практике часто бывает полезно иметь возможность оценить остаточный член, появляющийся в приближении Тейлора, вместо того, чтобы иметь для него точную формулу. Предположим , что F является ( к + 1) раз непрерывно дифференцируемых в интервале I , содержащий . Предположим, что существуют вещественные постоянные q и Q такие, что
на протяжении I . Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству [11]
если x > a , и аналогичная оценка, если x < a . Это простое следствие формы Лагранжа остатка. В частности, если
на интервале I = ( a - r , a + r ) с некоторыми , то
для всех x ∈ ( a - r , a + r ). Второе неравенство называется равномерной оценкой , поскольку оно выполняется равномерно для всех x на интервале ( a - r , a + r ).
Пример [ править ]
Предположим, что мы хотим найти приближенное значение функции f ( x ) = e x на интервале [−1,1] , гарантируя, что ошибка приближения не превышает 10 −5 . В этом примере мы делаем вид, что знаем только следующие свойства экспоненциальной функции:
( ⁎ )
Из этих свойств следует, что f ( k ) ( x ) = e x для всех k и, в частности, f ( k ) (0) = 1 . Следовательно , многочлен Тейлора k -го порядка функции f в 0 и его остаточный член в форме Лагранжа имеют вид
где ξ - некоторое число от 0 до x . Поскольку e x увеличивается на ( ⁎ ), мы можем просто использовать e x ≤ 1 для x ∈ [−1, 0], чтобы оценить остаток на подынтервале [−1, 0]. Чтобы получить верхнюю оценку остатка на [0,1], воспользуемся свойством e ξ < e x для 0 < ξ < x, чтобы оценить
используя разложение Тейлора второго порядка. Затем мы решаем для e x, чтобы вывести, что
просто максимизируя числитель и минимизируя знаменатель . Комбинируя эти оценки для e x, мы видим, что
так что требуемая точность, безусловно, достигается, когда
(См. Факториал или вычислите вручную значения 9! =362 880 и 10! знак равно3 628 800. ) В заключение, теорема Тейлора приводит к приближению
Например, это приближение дает десятичное выражение e ≈ 2,71828 с точностью до пяти десятичных знаков.
Отношение к аналитичности [ править ]
Разложения Тейлора вещественных аналитических функций [ править ]
Пусть I ⊂ R - открытый интервал . По определению функция f : I → R является вещественно-аналитической, если она локально определяется сходящимся степенным рядом . Это означает, что для любого a ∈ I существует r > 0 и последовательность коэффициентов c k ∈ R такие, что ( a - r , a + r ) ⊂ I и
В общем случае радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле Коши – Адамара
Этот результат основан на сравнении с геометрическим рядом , и тот же метод показывает, что если степенной ряд, основанный на a, сходится для некоторого b ∈ R , он должен сходиться равномерно на отрезке [ a - r b , a + r b ] , где r b = | б - а |, Здесь рассматривается только сходимость степенного ряда, и вполне может быть, что ( a - R , a + R )выходит за пределы области I функции f .
Многочлены Тейлора вещественной аналитической функции f в точке a - это просто конечные усечения
его локально определяющего степенного ряда, а соответствующие остаточные члены локально задаются аналитическими функциями
Здесь функции
также являются аналитическими, поскольку их определяющий степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Предполагая, что [ a - r , a + r ] ⊂ I и r < R , все эти ряды сходятся равномерно на ( a - r , a + r ) . Естественно, что в случае аналитических функций можно оценить остаточный член R k ( x ) по хвосту последовательности производных f ′ ( a) в центре расширения, но при использовании комплексного анализа возникает и другая возможность, которая описана ниже .
Теорема Тейлора и сходимость рядов Тейлора [ править ]
Ряд Тейлора f будет сходиться в некотором интервале, в котором все его производные ограничены и не будут расти слишком быстро, когда k стремится к бесконечности. (Однако, даже если ряд Тейлора сходится, он может не сходиться к f , как объясняется ниже; тогда f называется неаналитическим .)
Можно подумать о сериале Тейлора
бесконечно много раз дифференцируемой функции f : R → R как ее «многочлен Тейлора бесконечного порядка» в точке a . Из оценок остатка следует, что если для любого r производные f ограничены над ( a - r , a + r ), то для любого порядка k и любого r > 0 существует постоянная M k, r > 0 такие, что
( ⁎⁎ )
для любого x ∈ ( a - r , a + r ). Иногда константы M k, r могут быть выбраны таким образом, чтобы M k, r было ограничено сверху для фиксированного r и всех k . Тогда ряд Тейлора функции f равномерно сходится к некоторой аналитической функции
(Сходимость также достигается, даже если M k, r не ограничено сверху, пока оно растет достаточно медленно.)
Предельная функция T f по определению всегда аналитическая, но она не обязательно равна исходной функции f , даже если f бесконечно дифференцируема. В этом случае мы говорим, что f - неаналитическая гладкая функция , например плоская функция :
Используя цепное правило неоднократно математической индукции , один показывает , что для любого порядка к ,
для некоторого многочлена p k степени 2 ( k - 1). Функция стремится к нулю быстрее любого полинома при x → 0 , поэтому f бесконечно много раз дифференцируема и f ( k ) (0) = 0 для любого положительного целого числа k . Все вышеперечисленные результаты верны в этом случае:
- Ряд Тейлора функции f равномерно сходится к нулевой функции T f ( x ) = 0, которая является аналитической со всеми коэффициентами, равными нулю.
- Функция f не равна этому ряду Тейлора и, следовательно, не аналитична.
- Для любого порядка k ∈ N и радиуса r > 0 существует M k, r > 0, удовлетворяющее оценке остатка ( ⁎⁎ ) выше.
Однако, когда k увеличивается при фиксированном r , значение M k, r растет быстрее, чем r k , и ошибка не стремится к нулю .
Теорема Тейлора в комплексном анализе [ править ]
Теорема обобщает Тейлор к функции F : C → C , которые являются сложными дифференцируемым в открытом подмножестве U ⊂ C на комплексной плоскости . Однако его полезность затмевается другими общими теоремами комплексного анализа . А именно, более сильные версии связанных результатов могут быть получены для комплексных дифференцируемых функций f : U → C с использованием интегральной формулы Коши следующим образом.
Пусть г > 0 такое , что замкнутый круг В ( г , г ) ∪ S ( г , г ) содержится в U . Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией γ ( t ) = z + re it окружности S ( z , r ) при t ∈ [0, 2 π ] дает
Здесь все подынтегральные выражения непрерывны на окружности S ( z , r ), что оправдывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если е в очередной комплексной дифференцируема на открытом множестве U , то это на самом деле бесконечно много раз комплекс дифференцируема на U . Также получаются оценки Коши [12]
для любого г ∈ U и г > 0 такое , что Б ( г , г ) ∪ S ( с , г ) ⊂ U . Из этих оценок следует, что комплексный ряд Тейлора
функции f равномерно сходится на любом открытом диске B ( c , r ) ⊂ U с S ( c , r ) ⊂ U к некоторой функции T f . Кроме того, используя формулы контурного интеграла для производных f ( k ) ( c ),
поэтому любая комплексная дифференцируемая функция f в открытом множестве U ⊂ C на самом деле комплексно аналитична . Все , что сказано для реальных аналитических функций здесь имеет место и для комплексных аналитических функций с открытым интервалом я заменен на открытом подмножестве U ∈ C и через -centered интервалов ( - г , + г ) заменены на C -centered дисков B ( в , г ). В частности, разложение Тейлора имеет вид
где остаточный член R k является комплексно-аналитическим. Методы комплексного анализа дают некоторые убедительные результаты в отношении разложений Тейлора. Например, используя интегральную формулу Коши для любой положительно ориентированной жордановой кривой γ, которая параметризует границу ∂ W ⊂ U области W ⊂ U , можно получить выражения для производных f ( j ) ( c ), как указано выше, и немного изменив вычисление для T f ( z ) = f ( z ), приходим к точной формуле
Важной особенностью является то, что качество аппроксимации полиномом Тейлора по области W ⊂ U преобладают значения функции F себя на границе ∂ W ⊂ U . Аналогично, применяя оценки Коши к выражению ряда для остатка, получаем равномерные оценки
Пример [ править ]
Функция
является вещественно-аналитическим , то есть локально определяется своим рядом Тейлора. Эта функция была построена выше, чтобы проиллюстрировать тот факт, что некоторые элементарные функции не могут быть аппроксимированы многочленами Тейлора в слишком больших окрестностях центра расширения. Такое поведение легко понять в рамках комплексного анализа. А именно, функция f расширяется до мероморфной функции
на компактифицированной комплексной плоскости. Он имеет простые полюса в точках z = i и z = - i , а в других местах он аналитический. Теперь его ряд Тейлора с центром в точке z 0 сходится на любом диске B ( z 0 , r ) с r <| г - г 0 |, где один и тот же ряд Тейлора сходится при г ∈ C . Следовательно, ряд Тейлора f с центром в 0 сходится на B (0, 1) и не сходится ни для какого z ∈ C с | z| > 1 из-за полюсов в i и - i . По той же причине ряд Тейлора f с центром в 1 сходится на B (1, √2) и не сходится ни для какого z ∈ C с | z - 1 | > √2.
Обобщения теоремы Тейлора [ править ]
Дифференцируемость высшего порядка [ править ]
Функция F : R п → R является дифференцируемой в виде ∈ R п тогда и только тогда , когда существует линейный функционал L : R п → R и функция час : R п → R такое , что
Если это так, то L = df ( a ) является (однозначно определенным) дифференциалом функции f в точке a . Кроме того, то частные производные от ф существует на и дифференциал F на даются
Введем многоиндексную нотацию
для α ∈ N n и x ∈ R n . Если все частные производные k-го порядка функции f : R n → R непрерывны в точке a ∈ R n , то по теореме Клеро можно изменить порядок смешанных производных в точке a , так что обозначение
для частных производных высших порядков оправдано в этой ситуации. То же самое верно, если все частные производные ( k - 1) -го порядка функции f существуют в некоторой окрестности точки a и дифференцируемы в точке a . [13] Тогда мы говорим , что е в K раз дифференцируема в точке а .
Теорема Тейлора для функций многих переменных [ править ]
Многомерная версия теоремы Тейлора [14] - Пусть f : R n → R - k -раз дифференцируемая функция в точке a ∈ R n . Тогда существует h α : R n → R такое, что
Если функция f : R n → R является k + 1 раз непрерывно дифференцируемой в замкнутом шаре для некоторых , то можно вывести точную формулу для остатка через частные производные ( k + 1) -го порядка от f в этом район. [15] А именно,
В этом случае из-за непрерывности частных производных ( k + 1) -го порядка в компакте B сразу получаем равномерные оценки
Пример в двух измерениях [ править ]
Например, многочлен Тейлора третьего порядка гладкой функции f : R 2 → R равен x - a = v ,
Доказательства [ править ]
Доказательство теоремы Тейлора в одной действительной переменной [ править ]
Пусть [16]
где, как в формулировке теоремы Тейлора,
Достаточно показать, что
Доказательство здесь основано на многократном применении правила Л'Опиталя . Следует отметить, что для каждого J = 0,1, ..., к -1 , . Следовательно, каждая из первых k −1 производных числителя в обращается в нуль в точке , и то же самое верно и для знаменателя. Кроме того , поскольку при условии , что функция F быть K раз дифференцируемой в точке требует дифференцируемость до порядка к -1 в окрестности указанной точки (это верно, так как дифференцируемость требует функцию , которая будет определена в целой окрестности точки ) числитель и его k - 2 производные дифференцируемы в окрестностиа . Ясно, что знаменатель также удовлетворяет указанному условию и, кроме того, не обращается в нуль, если x = a , поэтому все условия, необходимые для правила Лопиталя, выполнены, и его использование оправдано. Так
где предпоследнее равенство следует из определения производной при x = a .
Вывод для формы среднего значения остатка [ править ]
Пусть G - любая вещественнозначная функция, непрерывная на отрезке между a и x и дифференцируемая с отличной от нуля производной на открытом интервале между a и x , и определим
Для . Тогда по теореме Коши о среднем значении ,
( ⁎⁎⁎ )
для некоторого ξ на открытом интервале между a и x . Обратите внимание, что здесь числитель F ( x ) - F ( a ) = R k ( x ) - это в точности остаток полинома Тейлора для f ( x ). Вычислить
вставьте его в ( ⁎⁎⁎ ) и переставьте термины, чтобы найти
Это форма остаточного члена, упомянутого после фактического утверждения теоремы Тейлора, с остатком в форме среднего значения. Форма Лагранжа остатка находится путем выбора, а форма Коши - путем выбора .
Замечание. Используя этот метод, можно также восстановить интегральный вид остатка, выбрав
но требования к f, необходимые для использования теоремы о среднем значении, слишком сильны, если кто-то стремится доказать утверждение в случае, когда f ( k ) является только абсолютно непрерывным . Однако, если использовать интеграл Римана вместо интеграла Лебега , предположения не могут быть ослаблены.
Вывод интегральной формы остатка [ править ]
Благодаря абсолютной непрерывность в ф ( к ) на отрезке между и х его производной F ( K + 1) существует как L 1 -функция, и мы можем использовать основную теорему исчисления и интегрирование по частям . Это же доказательство применимо для интеграла Римана при условии , что е ( к ) является непрерывной на отрезке и дифференцируема на открытом интервале междуa и x , и это приводит к тому же результату, что и использование теоремы о среднем значении.
Фундаментальная теорема исчисления утверждает , что
Теперь мы можем интегрировать по частям и снова использовать основную теорему исчисления, чтобы увидеть, что
что в точности является теоремой Тейлора с остатком в интегральной форме в случае k = 1. Общее утверждение доказывается по индукции . Предположим, что
( ⁎⁎⁎⁎ )
Интегрируя остаток по частям, получаем
Подстановка этого в формулу в ( ⁎⁎⁎⁎ ) показывает, что, если это верно для значения k , оно должно также выполняться для значения k + 1. Следовательно, поскольку оно выполняется для k = 1, оно должно выполняться для любого положительного целого числа. k .
Вывод остатка многомерных полиномов Тейлора [ править ]
Мы докажем частный случай, когда f : R n → R имеет непрерывные частные производные до порядка k +1 в некотором замкнутом шаре B с центром a . Стратегия доказательства состоит в применении случая одной переменной теоремы Тейлора к ограничению f на отрезок, примыкающий к x и a . [17] Параметризуйте отрезок прямой между a и x как u ( t ) = a + t ( x - a ).Применим вариант теоремы Тейлора с одной переменной к функции g ( t ) = f ( u ( t )) :
Применение цепного правила для нескольких переменных дает
где - полиномиальный коэффициент . Так как получаем:
См. Также [ править ]
- Серия Laurent
- Аппроксимация Паде
- Серия Ньютон
Сноски [ править ]
- ^ (2013). "Линейно-квадратичное приближение" Проверено 6 декабря 2018 г.
- ^ Тейлор, Брук (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ Прямые и обратные методы увеличения ] (на латыни). Лондон. п. 21–23 (Предложение VII, Теория 3, Кор. 2).Переведено на английский язык в Struik, DJ (1969). Справочник по математике 1200–1800 . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. С. 329–332.
- ^ Клайн 1972 , стр. 442, 464.
- ^ Дженокки, Анджело; Пеано, Джузеппе (1884), Calcolo Differenziale e Principii di Calcolo Integrale , (№ 67, стр. XVII – XIX): Fratelli Bocca ed.CS1 maint: location (link)
- ↑ Spivak, Michael (1994), Calculus (3-е изд.), Хьюстон, Техас: Publish or Perish, p. 383, ISBN 978-0-914098-89-8
- ^ "Формула Тейлора" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Гипотеза ф ( к ) является непрерывной на замкнутом интервале междуи х является не избыточным. Несмотря на то, е быть K + 1 раз дифференцируемой на открытом интервале междуи х действительно подразумеваетчто ф ( К ) является непрерывной на открытом интервале междуи х , оно делает неследует , что п ( K ) является непрерывной на замкнутом интервале между и х , т.е. это не означает , что ф ( К ) является непрерывной в конечных точках этого интервала. Рассмотрим, например, функцию f : [0,1] → R, равную on и with . Это не непрерывно в 0 , но непрерывен на . Более того, можно показать, что эта функция имеет первообразную . Поэтому то, что первообразная является дифференцируема на , ее производной (функция F ) является непрерывной на открытом интервале , но его производная F является не непрерывна на замкнутом интервале . Так что в этом случае теорема неприменима.
- ^ Клайн 1998 , §20.3; Апостол 1967 , §7.7.
- ^ Apostol 1967 , § 7.7.
- ^ Apostol 1967 , §7.5.
- ^ Apostol 1967 , §7.6
- ^ Рудин 1987 , §10.26
- ^ Это следует из повторного применения теоремы о том, что если частные производные функции f существуют в окрестности a и непрерывны в a , то функция дифференцируема в a . См., Например, Апостол 1974 , теорема 12.11.
- ^ Анализ Кенигсбергера 2, стр. 64 сл.
- ^ https://sites.math.washington.edu/~folland/Math425/taylor2.pdf
- ^ Стромберг 1981
- ^ Хермандер 1976 , стр. 12-13
Ссылки [ править ]
- Апостол, Том (1967), Calculus , Wiley, ISBN 0-471-00005-1.
- Апостол, Том (1974), Математический анализ , Addison – Wesley.
- Бартл, Роберт Дж .; Шерберт, Дональд Р. (2011), Введение в реальный анализ (4-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6.
- Хёрмандер, Л. (1976), Линейные дифференциальные операторы с частными производными, том 1 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6.
- Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних времен до наших дней, Том 2 , Oxford University Press.
- Клайн, Моррис (1998), Исчисление: интуитивный и физический подход , Dover, ISBN 0-486-40453-6.
- Педрик, Джордж (1994), Первый курс анализа , Springer, ISBN 0-387-94108-8.
- Стромберг, Карл (1981), Введение в классический реальный анализ , Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2.
- Рудин, Вальтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.
- Тао, Теренс (2014), Анализ, Том I (3-е изд.), Книжное агентство Hindustan, ISBN 978-93-80250-64-9.
Внешние ссылки [ править ]
- Теорема Тейлора в ProofWiki
- Приближение ряда Тейлора к косинусу при разрубании узла
- Интерактивный демонстрационный апплет тригонометрического расширения Тейлора
- Возвращение к серии Тейлора в Институте целостных численных методов