Часть цикла статей о |
Исчисление |
---|
В математике , интегральное преобразование отображает функцию от своей первоначальной функции пространства в другую функцию пространства с помощью интеграции , где некоторые из свойств исходной функции могут быть более легко и характеризуется манипулируют , чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованная функция обычно может быть отображена обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования .
Общая форма [ править ]
Интегральное преобразование - это любое преобразование T следующего вида:
Входом этого преобразования является функция f , а выходом - другая функция Tf . Интегральное преобразование - это особый вид математического оператора .
Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждый определяется выбором функции K двух переменных , функции ядра , интегрального ядра или ядра преобразования.
Некоторым ядрам соответствует обратное ядро K −1 ( u, t ), которое (грубо говоря) дает обратное преобразование:
Симметричное ядро является тот , который не изменяется , когда две переменные переставляются; это ядерная функция K такая, что K ( t , u ) = K ( u , t ).
Мотивация использования [ править ]
Помимо математических обозначений, мотивацию интегральных преобразований легко понять. Есть много классов задач, которые трудно решить - или, по крайней мере, довольно громоздко с алгебраической точки зрения - в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область. Управлять уравнением и решать его в целевой области может быть намного проще, чем манипулировать и решать в исходной области. Затем решение отображается обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.
Есть много приложений вероятности, которые полагаются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования , или сглаживание данных, восстановленных из надежной статистики; см. ядро (статистика) .
История [ править ]
Предшественником преобразований был ряд Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позже преобразование Фурье было разработано для устранения требования конечных интервалов.
Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени (например, напряжение на выводах электронного устройства ) можно представить как сумму синусов и косинусов , каждый из которых соответствующим образом масштабирован (умножен на постоянный коэффициент), сдвинут (расширенный или с запаздыванием во времени) и «сжатым» или «растянутым» (увеличение или уменьшение частоты). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса .
Пример использования [ править ]
В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа . Это метод, который преобразует дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения во «временной» области в полиномиальные уравнения в так называемой «комплексной частотной» области . (Комплексная частота похожа на реальную физическую частоту, но является более общей. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = -σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно скорости, с которой синусоида циклически повторяется , а действительная составляющая σкомплексной частоты соответствует степени "затухания", то есть экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, составленное в терминах комплексной частоты, легко решается в комплексной частотной области (корни полиномиальных уравнений в комплексной частотной области соответствуют для собственных значений во временной области), что приводит к «решению» формулируется в частотной области. Используя обратное преобразование , т.е., обратная процедура исходного преобразования Лапласа, можно получить решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, в то время как осевые сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию за счет убывания экспонент во временной области.
Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и, в частности, в электротехнике, где характеристические уравнения , описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых по времени затухающих синусоид во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.
Другой пример использования - ядро в интеграле по пути :
Это означает, что общая амплитуда, которая должна быть достигнута [то есть ], является суммой или интегралом по всем возможным значениям полной амплитуды, которая должна прийти в точку [то есть ], умноженная на амплитуду, идущую от x ' к x [то есть . [1] Его часто называют пропагатором данной системы. Это (физическое) ядро является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро. [2]
Таблица преобразований [ править ]
Преобразовать | Символ | K | f ( t ) | т 1 | т 2 | К −1 | u 1 | u 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Преобразование Абеля | ты | т | ||||||
преобразование Фурье | ||||||||
Преобразование синуса Фурье | на , с реальной стоимостью | |||||||
Косинусное преобразование Фурье | на , с реальной стоимостью | 0 | 0 | |||||
Преобразование Ганкеля | 0 | 0 | ||||||
Преобразование Хартли | ||||||||
Преобразование Эрмита | ||||||||
Преобразование Гильберта | ||||||||
Преобразование Якоби | ||||||||
Преобразование Лагерра | ||||||||
Преобразование Лапласа | e −ut | 0 | ||||||
Преобразование Лежандра | ||||||||
Преобразование Меллина | t u −1 | 0 | ||||||
Двустороннее преобразование Лапласа | e −ut | |||||||
Ядро Пуассона | 0 | 2π | ||||||
Преобразование радона | Rƒ | |||||||
Преобразование Вейерштрасса |
В пределах интегрирования для обратного преобразования c является константой, которая зависит от природы функции преобразования. Например, для одно- и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше, чем наибольшая действительная часть нулей функции преобразования.
Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.
Различные домены [ править ]
Здесь интегральные преобразования определены для функций на действительных числах, но они могут быть определены в более общем плане для функций на группе.
- Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), ядра интегрирования будут бипериодическими функциями; свертка по функциям на окружности дает круговую свертку .
- Если использовать функции на циклической группе порядка n ( C n или Z / n Z ), можно получить матрицы размера n × n в качестве ядер интегрирования; свертка соответствует циркулянтным матрицам .
Общая теория [ править ]
Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором , поскольку интеграл является линейным оператором, и фактически, если ядру разрешено быть обобщенной функцией, тогда все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированная версия этого утверждения - это оператор Шварца. теорема о ядре ).
Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма . В этой теории под ядром понимается компактный оператор, действующий в банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации ядро затем по-разному называют оператором Фредгольма , ядерным оператором или ядром Фредгольма .
См. Также [ править ]
- Преобразование Бейтмана
- Ядро свертки
- Круговая свертка
- Циркулянтная матрица
- Дифференциальные уравнения
- Метод ядра
- Список преобразований
- Список операторов
- Список преобразований, связанных с Фурье
- Теорема Нахбина
- Нелокальный оператор
- Воспроизведение ядра
- Символическая интеграция
Ссылки [ править ]
- ^ Уравнение 3.42 в книге Фейнмана и Хиббса, Квантовая механика и интегралы по траекториям, исправленное издание:
- ^ Математически, что такое ядро в интеграле по путям?
- Полянин А.Д. и Манжиров А.В., Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
- RKM Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers , McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
- "Интегральное преобразование" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.