Списки интегралов

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Интегрирование - основная операция в интегральном исчислении . В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых компонентных функций, интегрирование этого не делает, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. На этой странице перечислены некоторые из наиболее распространенных первообразных .

Историческое развитие интегралов [ править ]

Сборник списка интегралов (Integraltafeln) и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком Мейером Хиршем  [ де ] (он же Мейер Хирш  [ де ] ) в 1810 году. Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Давидом Биренсом де Хааном для его определений Tables d'intégrales , дополненных дополнением aux tables d'intégrales définies в ок. 1864. Новое издание было опубликовано в 1867 году под названием Nouvelles tables d'intégrales définies.. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем их заменили более обширные таблицы Градштейна и Рыжика . У Градштейна и Рыжика интегралы из книги Биренса де Хаана обозначены как BI.

Не все выражения в замкнутой форме имеют первообразные в замкнутой форме; это исследование составляет предмет дифференциальной теории Галуа , которая была первоначально разработана Жозефом Лиувиллем в 1830-х и 1840-х годах, что привело к теореме Лиувилля, которая классифицирует выражения с первообразными в замкнутой форме. Простым примером функции без первообразной замкнутой формы является e ^{- x 2} , первообразная которой является (с точностью до констант) функцией ошибок .

С 1968 года существует алгоритм Риша для определения неопределенных интегралов, которые могут быть выражены через элементарные функции , обычно с использованием системы компьютерной алгебры . Интегралами, которые не могут быть выражены с помощью элементарных функций, можно манипулировать символически, используя общие функции, такие как G-функция Мейера .

Списки интегралов [ править ]

Более подробную информацию можно найти на следующих страницах со списками интегралов :

• Список интегралов рациональных функций
• Список интегралов от иррациональных функций
• Список интегралов от тригонометрических функций
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список интегралов от гиперболических функций
• Список интегралов обратных гиперболических функций
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Список интегралов логарифмических функций
• Список интегралов от функций Гаусса

Градштейн , Рыжик , Геронимус , Цейтлин , Джеффри, Цвиллинджер, Молл (GR) Таблица интегралов, рядов и произведений содержит большой набор результатов. Еще больше, многотомная таблица является Интегралы и ряды от Прудникова , Брычков и Маричев (с тома 1-3 листинга интегралы и ряды элементарных и специальных функций , объем 4-5 являются таблицы преобразований Лапласа ). Более компактные коллекции можно найти, например, в таблицах неопределенных интегралов Брычкова, Маричева, Прудникова.Или как главы в Zwillinger в CRC стандартных математических таблиц и формул или Бронштейн и Semendyayev 's Guide Book по математике , Справочник по математике или Пользователями Руководство по математике , и других математических справочниках.

Другие полезные ресурсы включают Abramowitz and Stegun и Bateman Manuscript Project . Обе работы содержат много идентичностей, касающихся конкретных интегралов, которые организованы по наиболее актуальной теме, а не собраны в отдельную таблицу. Два тома рукописи Бейтмана относятся к интегральным преобразованиям.

Есть несколько веб-сайтов, на которых есть таблицы интегралов и интегралов по запросу. Wolfram Alpha может отображать результаты, а для некоторых более простых выражений также промежуточные этапы интеграции. Wolfram Research также управляет другим онлайн-сервисом - Wolfram Mathematica Online Integrator .

Интегралы простых функций [ править ]

C используется для произвольной постоянной интегрирования, которая может быть определена, только если что-то известно о значении интеграла в некоторой точке. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразных .

Эти формулы лишь в другой форме выражают утверждения в таблице производных .

Интегралы с особенностью [ править ]

Когда есть особенность в функции интегрированы таким образом, что первообразная становится неопределенным или в какой - то момент (особенность), то C не должен быть одинаковым с обеих сторон сингулярности. Приведенные ниже формы обычно принимают главное значение Коши около сингулярности в значении C, но это, как правило, не обязательно. Например, в

${\ Displaystyle \ int {1 \ над x} \, dx = \ ln \ left | x \ right | + C}$

в 0 есть особенность, и первообразная там становится бесконечной. Если бы вышеприведенный интеграл использовался для вычисления определенного интеграла между -1 и 1, можно было бы получить неправильный ответ 0. Это, однако, главное значение интеграла Коши вокруг сингулярности. Если интегрирование выполняется в комплексной плоскости, результат зависит от пути вокруг начала координат, в этом случае сингулярность дает - i π при использовании пути выше начала координат и i π для пути ниже начала координат. Функция на реальной линии может использовать совершенно другое значение C по обе стороны от начала координат, как в:

${\ displaystyle \ int {1 \ over x} \, dx = \ ln | x | + {\ begin {cases} A & {\ text {if}} x> 0; \\ B & {\ text {if}} x <0. \ end {case}}}$

Рациональные функции [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от рациональных функций

${\displaystyle \int a\,dx=ax+C}$

Следующая функция имеет неинтегрируемую особенность в 0 при a ≤ −1 :

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$( Квадратурная формула Кавальери )

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$

В более общем плане ^[1]

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

${\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

Экспоненциальные функции [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от экспоненциальных функций

${\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}$

${\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$

Логарифмы [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от логарифмических функций

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}+C}$

Тригонометрические функции [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от тригонометрических функций

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

(См. Интеграл от секущей функции . Этот результат был хорошо известной гипотезой 17 века.)

${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C}$

(См. Интеграл секущей в кубе .)

${\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

Обратные тригонометрические функции [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от обратных тригонометрических функций

${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1}$

${\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1}$

${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$

Гиперболические функции [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от гиперболических функций

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$

Обратные гиперболические функции [ править ]

Другие интегралы: Список интегралов от обратных гиперболических функций

${\displaystyle \int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1}$

${\displaystyle \int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0}$

Произведения функций, пропорциональные их вторым производным [ править ]

${\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}$

Функции абсолютного значения [ править ]

Пусть f - функция, имеющая не более одного корня на каждом интервале, на котором она определена, а g - первообразная от f , равная нулю в каждом корне f (такая первообразная существует тогда и только тогда, когда выполняется условие на f ) , тогда

${\displaystyle \int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,}$

где sgn ( x ) - знаковая функция , которая принимает значения −1, 0, 1, когда x соответственно отрицательный, нулевой или положительный. Это дает следующие формулы (где a 0 ):

${\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C\quad [\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]\,.}$

${\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C}$

когда для некоторого целого n .${\displaystyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}$

когда для некоторого целого n .${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$

${\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}$

когда для некоторого целого n .${\displaystyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C}$

когда для некоторого целого n .${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$

Если функция f не имеет какой-либо непрерывной первообразной, которая принимает нулевое значение в нулях функции f (это имеет место для функций синуса и косинуса), то sgn ( f ( x )) ∫ f ( x ) dx является первообразная f на каждом интервале, на котором f не равна нулю, но может быть разрывной в точках, где f ( x ) = 0 . Таким образом, чтобы иметь непрерывную первообразную, нужно добавить хорошо подобранную ступенчатую функцию. Если также использовать тот факт, что абсолютные значения синуса и косинуса периодичны с периодом π , то получим:

${\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C}$^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C}$^{[ необходима цитата ]}

Специальные функции [ править ]

Ci, Si: тригонометрические интегралы , Ei: экспоненциальный интеграл , li: логарифмическая интегральная функция , erf: функция ошибок

${\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}$

${\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}$

${\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}$

${\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}$

${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}$

${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}$

Определенные интегралы без первообразных замкнутой формы [ править ]

Есть некоторые функции, первообразные которых не могут быть выражены в замкнутой форме . Однако значения определенных интегралов некоторых из этих функций на некоторых общих интервалах могут быть вычислены. Ниже приведены несколько полезных интегралов.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (см. также Гамма-функцию )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$ при a > 0 ( гауссов интеграл )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}}$для a > 0

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}$для в > 0 , п является положительным целым числом , и !! - двойной факториал .

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$когда а > 0

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$для a > 0 , n = 0, 1, 2, ....

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (см. также число Бернулли )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$(см. функцию sinc и интеграл Дирихле )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$(если n - натуральное число, а !! - двойной факториал ).

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$(для целых чисел α , β , m , n, β ≠ 0 и m , n ≥ 0 , см. также биномиальный коэффициент )

${\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$(для α , β действительное число, n - неотрицательное целое число и m - нечетное положительное целое число; поскольку подынтегральное выражение нечетное )

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$(для целых чисел α , β , m , n, β ≠ 0 и m , n ≥ 0 , см. также биномиальный коэффициент )

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$(для целых чисел α , β , m , n, β ≠ 0 и m , n ≥ 0 , см. также биномиальный коэффициент )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$ (где exp [ u ] - экспоненциальная функция e ^u , а a > 0 )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$ (где - гамма-функция )${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$(для Re ( α )> 0 и Re ( β )> 0 см. Бета-функцию )

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (где I ₀ ( x ) - модифицированная функция Бесселя первого рода)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}$(для v , > 0 , это связано с функцией плотности вероятности в Стьюдента т -распределения )

Если функция f имеет ограниченную вариацию на интервале [ a , b ] , то метод исчерпания дает формулу для интеграла:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$

" Мечта второкурсника ":

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}$

приписывается Иоганну Бернулли .

Другие особые случаи [ править ]

${\displaystyle \int _{-a}^{a}{\frac {e(x)}{1+t^{o(x)}}}\,dx=\int _{0}^{a}e(x)\,dx}$(где e (x) четно, а o (x) нечетно ) Видео YouTube

См. Также [ править ]

• Неполная гамма-функция
• Неопределенная сумма
• Список лимитов
• Список математических рядов
• Символическая интеграция

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Бронштейн, Илья Николаевич; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik (на немецком языке). 1 . Перевод Виктор Зиглер. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун и Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch (и BG Teubner Verlagsgesellschaft , Лейпциг). ISBN 3-87144-492-8.
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 . (Также несколько предыдущих выпусков.)
• Прудников Анатолий Платонович (Прудников, Анатолий Платонович) ; Брычков, Юрий А. (Брычков, Ю. А.); Маричев, Олег Игоревич (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981–1986 (рус.)]. Интегралы и ряды . 1–5 . Перевод Queen, NM (1-е изд.). ( Наука ) Издательство Gordon & Breach Science / CRC Press . ISBN 2-88124-097-6.. Издание второе исправленное (рус.), Том 1–3, Физико-математическая литература, 2003.
• Юрий А. Брычков (Ю. А. Брычков), Справочник по специальным функциям: производные, интегралы, ряды и другие формулы . Русское издание, Физико-математическая литература, 2006. Английское издание, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564. 
• Даниэль Цвиллинджер. Стандартные математические таблицы и формулы CRC , 31-е издание. Chapman & Hall / CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3 . (Также во многих более ранних изданиях.) 
• Мейер Хирш  [ де ] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Мейер Хирш  [ де ] , Интегральные таблицы или собрание интегральных формул (Бейнс и сын, Лондон, 1823 г.) [английский перевод Integraltafeln ]
• Давид Биренс де Хаан , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Энгельс, Лейден, 1862 г.)
• Бенджамин О. Пирс . Краткая таблица интегралов - переработанное издание (Ginn & co., Бостон, 1899 г.)

Внешние ссылки [ править ]

Единственная самая мощная техника интеграции в мире. Видео YouTube от Flammable Maths [1]

Таблицы интегралов [ править ]

• Онлайн-математические заметки Пола
• А. Дикман, Таблица интегралов (эллиптические функции, квадратные корни, обратные касательные и другие экзотические функции): неопределенные интегралы, определенные интегралы
• Математика: таблица интегралов
• О'Брайен, Фрэнсис Дж. Мл. «500 интегралов» . Выведенные интегралы от экспоненциальных, логарифмических и специальных функций.
• Интеграция на основе правил Точно определенные неопределенные правила интеграции, охватывающие широкий класс интегрантов
• Матар, Ричард Дж. (2012). «Еще одна таблица интегралов». arXiv : 1207,5845 .

Производные [ править ]

• Виктор Гюго Молль, Интегралы в Градштейне и Рыжике

Онлайн-сервис [ править ]

• Примеры интеграции для Wolfram Alpha

Программы с открытым исходным кодом [ править ]

• wxmaxima gui для символьного и числового решения многих математических задач