Правила дифференциации

Это краткое изложение правил дифференцирования , то есть, правила для вычисления производной из функции в исчислении .

Элементарные правила дифференциации [ править ]

Если не указано иное, все функции являются функциями действительных чисел ( R ), которые возвращают действительные значения; хотя в более общем смысле, приведенные ниже формулы применимы везде, где они хорошо определены ^{[1] [2],} включая случай комплексных чисел ( C ) . ^[3]

Дифференциация линейна [ править ]

Для любых функций и и любых действительных чисел и производная функции по равна${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle ч (х) = аф (х) + bg (х)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).}$

В обозначениях Лейбница это записывается как:

${\ displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.}$

Особые случаи включают:

• Правило постоянного множителя

${\ displaystyle (af) '= af'}$

• Правило сумм

${\ displaystyle (f + g) '= f' + g '}$

• Правило вычитания

${\ displaystyle (fg) '= f'-g'.}$

Правило продукта [ править ]

Для функций f и g производная функции h ( x ) = f ( x ) g ( x ) по x равна

${\ Displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).}$

В обозначениях Лейбница это написано

${\ displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.}$

Цепное правило [ править ]

Производная функции равна${\ Displaystyle ч (х) = е (г (х))}$

${\ displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).}$

В обозначениях Лейбница это записывается как:

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),}$

часто сокращается до

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$

Сосредоточившись на понятии карт, а дифференциал - это карта , это записано более кратко:${\displaystyle {\text{D}}}$

${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}$

Правило обратной функции [ править ]

Если функция f имеет обратную функцию g , что означает, что и тогда${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle f(g(y))=y,}$

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

В обозначениях Лейбница это записывается как

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$

Степенные законы, многочлены, частные и обратные [ править ]

Правило полинома или элементарной степени [ править ]

Если для любого действительного числа, то ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\displaystyle r\neq 0,}$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

Когда это становится частным случаем, если тогда${\displaystyle r=1,}$${\displaystyle f(x)=x,}$${\displaystyle f'(x)=1.}$

Комбинирование правила мощности с правилами суммы и множественных постоянных позволяет вычислить производную любого многочлена.

Взаимное правило [ править ]

Производная для любой (отличной от нуля) функции f равна:${\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}$где f не равно нулю.

В обозначениях Лейбница это написано

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$

Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепочки.

Правило частного [ править ]

Если f и g - функции, то:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$где g не равно нулю.

Это можно вывести из правила продукта и правила взаимности.

Обобщенное правило власти [ править ]

Правило элементарной власти значительно обобщает. Наиболее общее правило питания является функциональным правилом питания : для любых функций F и г ,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

везде, где обе стороны четко определены. ^[4]

Особые случаи

• Если , то когда a - любое ненулевое действительное число, а x положительно.${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$
• Взаимное правило может быть получено как частный случай, когда .${\textstyle g(x)=-1\!}$

Производные экспоненциальной и логарифмической функций [ править ]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

приведенное выше уравнение верно для всех c , но производная для дает комплексное число.${\textstyle c<0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

вышеприведенное уравнение также верно для всех c , но дает комплексное число, если .${\textstyle c<0\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}}$

Логарифмические производные [ править ]

Логарифмическая производная является еще одним способом с указанием правила дифференцирования логарифма от функции (используя правило цепи):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$везде, где f положительно.

Логарифмическое дифференцирование - это метод, который использует логарифмы и их правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. Логарифмы могут использоваться для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание - каждое из которых может привести к упрощенному выражению для получения производных.

Производные тригонометрических функций [ править ]

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\sec x)'=\tan x\sec x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\cot x\csc x}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Обычно дополнительно определить обратную функцию тангенса с двумя аргументами , . Его значение лежит в диапазоне и отражает квадрант точки . Для первого и четвертого квадранта (т.е. ) есть . Его частные производные:${\displaystyle \arctan(y,x)\!}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$${\displaystyle (x,y)\!}$${\displaystyle x>0\!}$${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$, и ${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Производные гиперболических функций [ править ]

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Смотрите Гиперболические функции для ограничений на эти производные.

Производные от специальных функций [ править ]

Производные интегралов [ править ]

Предположим, что требуется дифференцировать по x функцию

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

где функции и являются непрерывными в обеих и в некоторой области плоскости, включая , и функции и обе непрерывны и обе имеют непрерывные производные для . Тогда для :${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (t,x)}$${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}$

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбница и может быть получена с помощью основной теоремы исчисления .

Производные до n- го порядка [ править ]

Некоторые правила существуют для вычисления п - -й производной функции, где п представляет собой положительное целое число. К ним относятся:

Формула Фаа ди Бруно [ править ]

Если F и г в п -кратного дифференцируема, то

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$

где и множество состоит из всех неотрицательных целочисленных решений диофантова уравнения .${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$${\displaystyle \{k_{m}\}}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$

Общее правило Лейбница [ править ]

Если F и г в п -кратного дифференцируема, то

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

См. Также [ править ]

• Тождества векторного исчисления
• Дифференцируемая функция
• Дифференциал функции
• Список математических функций
• Тригонометрические функции
• Обратные тригонометрические функции
• Гиперболические функции
• Обратные гиперболические функции
• Матричное исчисление
• Дифференцирование под знаком интеграла

Ссылки [ править ]

Источники и дополнительная литература [ править ]

Эти правила приведены во многих книгах как по элементарному, так и по продвинутому исчислению, по чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (в дополнение к приведенным выше ссылкам), можно найти в:

• Математический справочник формул и таблиц (3-е издание) , С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Обзорная серия Шаума, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 . 
• Кембриджский справочник по физическим формулам , Г. Воан, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Математические методы для физики и инженерии , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
• Справочник NIST по математическим функциям , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Калькулятор производных с упрощением формул