Дифференциальный (бесконечно малый)

Термин дифференциал используется в исчислении для обозначения бесконечно малого (бесконечно малого) изменения некоторой переменной величины . Например, если x - переменная , то изменение значения x часто обозначается как Δ x (произносится как дельта x ). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малого или бесконечно медленного изменения интуитивно чрезвычайно полезна, и есть несколько способов сделать это понятие математически точным.

Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом, используя производные . Если y является функцией от x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой

${\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx,}$

где д / дх обозначает производная от у по й . Эта формула суммирует интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δ y / Δ x, когда Δ x становится бесконечно малым.

Существует несколько подходов к математической точности понятия дифференциалов.

1. Дифференциалы как линейные отображения . Этот подход лежит в основе определения производной и внешней производной в дифференциальной геометрии . ^[1]
2. Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии. ^[2]
3. Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий инфинитезимальный анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топосов используются, чтобы скрыть механизмы, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. ^[3]
4. Дифференциалы как бесконечно малые в гиперреальных системах счисления, которые являются расширениями действительных чисел, которые содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые примененный Абрахамом Робинсоном . ^[4]

Эти подходы сильно отличаются друг от друга, но их объединяет идея быть количественными , то есть говорить не только о том, что разница бесконечно мала, но и о том , насколько она мала.

История и использование [ править ]

Бесконечно малые величины сыграли значительную роль в развитии математического анализа. Архимед использовал их, хотя и не верил в строгость аргументов, касающихся бесконечно малых. ^[5] Исаак Ньютон называл их флюксиями . Однако именно Готфрид Лейбниц ввел термин дифференциалы для бесконечно малых величин и ввел их обозначения, которые используются до сих пор.

В обозначениях Лейбница , если x - переменная величина, то dx обозначает бесконечно малое изменение переменной x . Таким образом, если у является функцией х , то производная от у по отношению к х часто обозначается ду / дх , которые иначе были бы обозначать (в обозначениях Ньютона или Лагранжа ) Y или Y ' . Использование дифференциалов в этой форме вызвало много критики, например, в известной брошюре Аналитик.епископа Беркли. Тем не менее, это обозначение осталось популярным, поскольку оно убедительно демонстрирует идею о том, что производная y в точке x является его мгновенной скоростью изменения ( наклон касательной к графику ), которую можно получить, взяв предел отношения Δ y / Δ x изменения y по сравнению с изменением x , поскольку изменение x становится сколь угодно малым. Дифференциалы также совместимы с анализом размерностей , где дифференциал, такой как dx, имеет те же размеры, что и переменная x.

Дифференциалы также используются в обозначениях интегралов, потому что интеграл можно рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых величин: площадь под графом получается путем разбиения графа на бесконечно тонкие полосы и суммирования их площадей. В таком выражении, как

${\ Displaystyle \ int е (х) \, dx,}$

знак интеграла (который является модифицированным длинным s ) обозначает бесконечную сумму, f ( x ) обозначает «высоту» тонкой полосы, а дифференциал dx обозначает ее бесконечно тонкую ширину.

Дифференциалы как линейные карты [ править ]

Есть простой способ понять дифференциалы, рассматривая их как линейные карты . Для иллюстрации, предположит , что F ( х ) является вещественной функцией на R . Мы можем переинтерпретировать переменную x в f ( x ) как функцию, а не как число, а именно как карту тождества на действительной прямой, которая принимает действительное число p себе: x ( p ) = p . Тогда f ( x ) - это композиция f с x , значение которой в p равное ( х ( р )) = е ( р ) . Дифференциала DF (который, конечнозависит от того, е ) является функцией, значение которой в р (обычно обозначается DF _р ) не является числом, а линейное отображение из R в R . Поскольку линейное отображение из R в R задается матрицей 1 × 1, это, по сути, то же самое, что и число, но изменение точки зрения позволяет нам думать о df _p как о бесконечно малом и сравнивать его сстандартный бесконечно малый dx _p , который снова является тождественным отображением из R в R ( матрица 1 × 1 с элементом 1). Тождественное отображение обладает тем свойством, что если ε очень мало, то dx _p ( ε ) очень мало, что позволяет нам считать его бесконечно малым. Дифференциал df _p имеет то же свойство, потому что он просто кратен dx _p , и это кратное является производной f  ′ ( p ) по определению. Таким образом, получаем, что df _p  = f  ′ ( p ) dx _p , а значит, df  = f  ′  dx . Таким образом, мы восстанавливаем идею о том, что f  ′ - это отношение дифференциалов df и dx .

Это было бы просто уловкой, если бы не факт, что:

1. он отражает идею производной f в точке p как наилучшего линейного приближения к f в точке p ;
2. у него много обобщений.

Например, если F является функцией от R ^п к R , то мы говорим , что F является дифференцируемой ^[6] при р  ∈ R ^п , если существует линейное отображение DF _р из R ^п к R такое , что для любого е > 0 , существует окрестность Н из р такое , что при х  ∈ N ,

${\ displaystyle \ left | f (x) -f (p) -df_ {p} (xp) \ right | <\ varepsilon \ left | xp \ right |.}$

Теперь мы можем использовать тот же трюк, что и в одномерном случае, и думать о выражении f ( x ¹ , x ² ,…, x ⁿ ) как о композиции f со стандартными координатами x ¹ , x ² ,…, x ⁿ на R ⁿ (так что x ^j ( p ) j -я компонента p  ∈ R ⁿ ). Тогда дифференциалы ( dx ¹ ) _p , ( dx ²) _p , ( dx ⁿ ) _p в точке p образуют базис для векторного пространства линейных отображений из R ⁿ в R, и поэтому, если f дифференцируема в p , мы можем записать df _p как линейную комбинацию этих базисных элементов :

${\ displaystyle df_ {p} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} D_ {j} f (p) \, (dx ^ {j}) _ {p}.}$

Коэффициенты Д _J е ( р ) являются (по определению) , что частные производные от F при р относительно х ¹ , х ² , ..., х ^п . Следовательно, если f дифференцируема на всем R ⁿ , мы можем записать более кратко:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}\,dx^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x^{n}}}\,dx^{n}.}$

В одномерном случае это становится

${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$

как прежде.

Эта идея напрямую обобщается на функции от R ⁿ до R ^m . Кроме того, он имеет решающее преимущество перед другими определениями производной в том, что он инвариантен при изменении координат. Это означает , что та же идея может быть использована для определения дифференциала в гладких отображений между гладких многообразий .

Кроме того: обратите внимание, что существование всех частных производных функции f ( x ) в точке x является необходимым условием существования дифференциала в точке x . Однако это не достаточное условие . Контрпримеры см. В разделе « Производная Гато» .

Алгебраическая геометрия [ править ]

В алгебраической геометрии дифференциалы и другие бесконечно малые понятия обрабатываются очень явно, принимая, что координатное кольцо или структурный пучок пространства может содержать нильпотентные элементы . Простейший пример - кольцо двойственных чисел R [ ε ], где ε ² = 0.

Это может быть мотивировано алгебро-геометрической точкой зрения на производную функции f от R до R в точке p . Для этого сначала заметим, что f  - f ( p ) принадлежит идеалу I _p функций на R, обращающихся в нуль в p . Если производная f обращается в нуль в точке p , то f  - f ( p ) принадлежит квадрату I _p ² этого идеала. Следовательно, производная f в точке pможет быть захвачен классом эквивалентности [ ф  - е ( р )] в фактор - пространство I _р / я _р ² , и 1-струи из F (который кодирует его значение и его первую производную) является классом эквивалентности F в пространство всех функций по модулю I _p ² . Алгебраические геометры рассматривать этот класс эквивалентности как ограничение на F к утолщенной версии в точке р , координата которого кольцо не является Р(которое является фактор-пространством функций на R по модулю I _p ), но R [ ε ], которое является фактор-пространством функций на R по модулю I _p ² . Такая утолщенная точка - простой пример схемы . ^[2]

Синтетическая дифференциальная геометрия [ править ]

Третий подход к бесконечно малым - это метод синтетической дифференциальной геометрии ^[7] или гладкий инфинитезимальный анализ . ^[8] Это тесно связано с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что бесконечно малые величины более неявны и интуитивно понятны. Основная идея этого подхода заключается в том, чтобы заменить категорию множеств с другой категорией из плавно меняющихся множеств , которая является топосом . В этой категории можно определять действительные числа, гладкие функции и т. Д., Но действительные числа автоматическисодержат нильпотентные бесконечно малые числа, поэтому их не нужно вводить вручную, как в алгебро-геометрическом подходе. Однако логика в этой новой категории не идентична известной логике категории множеств: в частности, не выполняется закон исключенного третьего. Это означает, что теоретико-множественные математические аргументы распространяются на гладкий инфинитезимальный анализ только в том случае, если они конструктивны (например, не используют доказательство от противного ). Некоторые ^{[ кто? ]} расценивают этот недостаток как положительный момент, поскольку он заставляет искать конструктивные аргументы везде, где они есть.

Нестандартный анализ [ править ]

Последний подход к бесконечно малым снова включает расширение действительных чисел, но менее радикальным способом. В подходе нестандартного анализа нет нильпотентных бесконечно малых чисел , только обратимые, которые можно рассматривать как обратные величины бесконечно больших чисел. ^[4] Такие расширения действительных чисел могут быть построены в явном виде , используя классы эквивалентности последовательностей действительных чисел , так что, например, последовательность (1, 1/2, 1/3, ..., 1 / п ,. ..) представляет собой бесконечно малую величину. Логика первого порядка этого нового набора гипердействительных чисел такой же , как логика для обычных вещественных чисел, но полнота аксиома(который включает логику второго порядка ) не выполняется. Тем не менее, этого достаточно, чтобы разработать элементарный и довольно интуитивный подход к исчислению с использованием бесконечно малых величин, см. Принцип переноса .

См. Также [ править ]

• Исчисление бесконечно малых
• Дифференциальное уравнение
• Дифференциальная форма
• Дифференциал функции

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1967), Исчисление (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Белл , Джон Л. (1998), Приглашение к гладкому анализу бесконечно малых (PDF).
• Бойер, Карл Б. (1991), «Архимед Сиракузский», История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Дарлинг, RWR (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Ловер, FW (1968), Очерк синтетической дифференциальной геометрии (PDF) (опубликовано в 1998 году).
• Moerdijk, I .; Рейес, Г.Е. (1991), Модели для гладкого инфинитезимального анализа , Springer-Verlag.
• Робинсон, Абрахам (1996), нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.