Первообразный

Наклона поле из , показывающего трех из бесконечного множества решений , которые могут быть получены путем изменений произвольных постоянные С .${\ displaystyle F (x) = {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - x + c}$

В исчислении , в первообразной , обратной производной , примитивной функции , примитивного интеграла или неопределенного интеграла ^{[Примечание 1]} из функции F является дифференцируемой функцией F , чья производная равна исходной функции F . Это можно обозначить символически как F ' = f . ^{[1] [2]} Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием), а противоположная ему операция называется дифференцированием , то есть процессом нахождения производной. Первообразная часто обозначаются заглавными латинскими буквами , таких как F и G . ^[3]

Первообразные связаны с определенными интегралами через фундаментальную теорему исчисления : определенный интеграл функции на интервале равен разнице между значениями первообразной, вычисляемой на концах интервала.

В физике первообразные возникают в контексте прямолинейного движения (например, при объяснении взаимосвязи между положением , скоростью и ускорением ). ^[4] дискретный эквивалент понятия первообразного является antidifference .

Примеры [ править ]

Функция является первообразной от , поскольку производная от равна , и поскольку производная от константы равна нулю , будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как и т. Д. Таким образом, все первообразные от могут быть получены путем изменения значения c in , где c - произвольная постоянная, известная как постоянная интегрирования . ^[3] По сути, графики первообразных данной функции представляют собой вертикальные перемещения друг друга, причем вертикальное положение каждого графика зависит от${\ Displaystyle F (х) = {\ tfrac {х ^ {3}} {3}}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {х ^ {3}} {3}}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}$значение c .

В более общем смысле, степенная функция имеет первообразную, если n ≠ −1 и если n = −1 .${\displaystyle f(x)=x^{n}}$${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}$${\displaystyle F(x)=\ln |x|+c}$

В физике интегрирование ускорения дает скорость плюс константу. Константа - это начальный член скорости, который будет потерян при взятии производной скорости, потому что производная постоянного члена равна нулю. Этот же шаблон применяется к дальнейшим интеграциям и производным движения (положение, скорость, ускорение и т. Д.). ^[4]

Использование и свойства [ править ]

Первообразные можно использовать для вычисления определенных интегралов , используя фундаментальную теорему исчисления : если F является первообразной интегрируемой функции f на интервале , то:${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Из-за этого каждую из бесконечного множества первообразных данной функции f иногда называют «общим интегралом» или «неопределенным интегралом» от f и записывают с использованием символа интеграла без границ: ^[3]

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Если F является первообразной F , а функция F определена на некотором интервале, то любая другая первообразная G из F отличается от F на константе: существует такое число гр таких , что для всех х . c называется постоянной интегрирования . Если область определения F представляет собой несвязное объединение двух или более (открытых) интервалов, то для каждого интервала может быть выбрана другая константа интегрирования. Например${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+c_{1}\quad x<0\\-{\frac {1}{x}}+c_{2}\quad x>0\end{cases}}}$

является наиболее общей первообразной в своей естественной области${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}$

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную, и одна первообразная F задается определенным интегралом от f с переменной верхней границей:

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.}$

Изменение нижней границы приводит к появлению других первообразных (но не обязательно всех возможных первообразных). Это еще одна формулировка основной теоремы исчисления .

Есть много функций, чьи первообразные, даже если они существуют, не могут быть выражены в терминах элементарных функций (например, многочлены , экспоненциальные функции , логарифмы , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и их комбинации). Примеры таких

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin x^{2}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.}$

Слева направо, первый четыре являются функция ошибки , то функция Френеля , то тригонометрический интеграл и интегральный логарифм . Для более подробного обсуждения см. Также Дифференциальную теорию Галуа .

Методы интеграции [ править ]

Поиск первообразных элементарных функций часто бывает значительно сложнее, чем поиск их производных (действительно, заранее определенного метода для вычисления неопределенных интегралов не существует). ^[5] Для некоторых элементарных функций невозможно найти первообразную в терминах других элементарных функций. Чтобы узнать больше, см. Элементарные функции и неэлементарный интеграл .

Существует множество свойств и методов для поиска первообразных, в том числе:

• Линейность интеграции (который расщепляет сложные интегралы на более простые)
• Интегрирование заменой , часто в сочетании с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом
  • Метод правила обратной цепочки (частный случай интегрирования подстановкой)
• Интеграция по частям (для интеграции продуктов функций)
• Интегрирование обратной функции (формула, которая выражает первообразную обратного f ⁻¹ обратимой и непрерывной функции f через первообразную f и f ⁻¹ ).
• Метод частичных дробей в интегрировании (который позволяет интегрировать все рациональные функции - доли двух полиномов)
• Алгоритм Риша
• Дополнительные методы многократного интегрирования (см., Например, двойные интегралы , полярные координаты , якобиан и теорему Стокса )
• Численное интегрирование (метод приближения определенного интеграла, когда не существует элементарной первообразной, как в случае exp (- x ² ) )
• Алгебраическая манипуляция подынтегральным выражением (чтобы можно было использовать другие методы интегрирования, такие как интегрирование заменой)
• Формула Коши для повторного интегрирования (для вычисления первообразной функции n раз)

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\dots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\dots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}$

Системы компьютерной алгебры могут использоваться для автоматизации некоторых или всей работы, связанной с вышеописанными символическими методами, что особенно полезно, когда задействованные алгебраические манипуляции очень сложны или длительны. Уже выведенные интегралы можно найти в таблице интегралов .

О прерывных функциях [ править ]

Непрерывные функции могут иметь первообразные. Хотя в этой области все еще есть открытые вопросы, известно, что:

• Некоторые высокопатологические функции с большим набором разрывов могут, тем не менее, иметь первообразные.
• В некоторых случаях первообразные таких патологических функций могут быть найдены интегрированием по Риману , в то время как в других случаях эти функции не интегрируемы по Риману.

Предполагая, что области функций являются открытыми интервалами:

• Необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы функция f имела первообразную, является то, что f имеет свойство промежуточного значения . То есть, если [ a , b ] - подынтервал области определения f, а y - любое действительное число между f ( a ) и f ( b ) , то существует c между a и b, такое что f ( c ) = у . Это следствие теоремы Дарбу..

• Множество разрывов f должно быть скудным . Этот набор также должен быть набором F-сигмы (так как набор разрывов любой функции должен быть этого типа). Более того, для любого скудного набора F-сигм можно построить некоторую функцию f, имеющую первообразную, которая имеет данное множество в качестве набора разрывов.

• Если f имеет первообразную, ограничена на замкнутых конечных подынтервалах области и имеет множество разрывов меры Лебега 0, то первообразную можно найти интегрированием по Лебегу. Фактически, при использовании более мощных интегралов, таких как интеграл Хенстока – Курцвейла , каждая функция, для которой существует первообразная, интегрируема, а ее общий интеграл совпадает со своей первообразной.

• Если f имеет первообразную F на замкнутом интервале , то при любом выборе разбиения, если один выбирает точки выборки, как указано в теореме о среднем значении , тогда соответствующая сумма Римана телескопически приближается к значению .${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle F(b)-F(a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$

Однако, если f не ограничено или если f ограничено, но множество разрывов f имеет положительную меру Лебега, другой выбор точек выборки может дать существенно другое значение для суммы Римана, независимо от того, насколько хорошо разбиение. См. Пример 4 ниже.${\displaystyle x_{i}^{*}}$

Некоторые примеры [ править ]

См. Также [ править ]

• Первообразная (комплексный анализ)
• Интеграл Джексона
• Списки интегралов
• Символическая интеграция
• Площадь

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Карл Р. Стромберг " Введение в классический действительный анализ" ; Wadsworth, 1981 (см. Также )
• Историческое эссе Дэйва Л. Ренфро о непрерывности производных

Внешние ссылки [ править ]

• Wolfram Integrator - бесплатная символьная онлайн-интеграция с Mathematica
• Математический помощник в сети - символьные вычисления онлайн. Позволяет пользователям выполнять интеграцию небольшими шагами (с подсказками для следующего шага (интеграция по частям, замена, частичные дроби, применение формул и др.) На базе Maxima
• Калькулятор функций от WIMS
• Интеграл в HyperPhysics
• Первообразные и неопределенные интегралы в Ханской академии
• Интегральный калькулятор в Symbolab
• Первоначальное в MIT
• Введение в интегралы в SparkNotes
• Антипроизводные в колледже Харви Мадд