Правило власти

В исчислении , то правило питания используется для дифференциации функций вида , когда вещественное число. Поскольку дифференцирование - это линейная операция на пространстве дифференцируемых функций, многочлены также можно дифференцировать с помощью этого правила. Правило питания лежит в ряд Тейлора , как он относится к степенному ряду с функцией в производных .${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$${\ displaystyle r}$

Утверждение правила власти [ править ]

Если - функция такая, что и дифференцируема в точке , то ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle F '(х) = rx ^ {r-1}}$

Правило власти для интеграции , которое гласит, что

${\ displaystyle \ int \! x ^ {r} \, dx = {\ frac {x ^ {r + 1}} {r + 1}} + C}$

для любого действительного числа может быть получено путем обращения правила степени для дифференцирования.${\ displaystyle r \ neq -1}$

Доказательства [ править ]

Доказательство для реальных показателей [ править ]

Для начала следует выбрать рабочее определение значения , где - любое действительное число. Хотя возможно определить значение как предел последовательности рациональных способностей, которые приближаются к иррациональной мощности всякий раз, когда мы сталкиваемся с такой мощностью, или как наименьшую верхнюю границу набора рациональных способностей, меньших данной мощности, этот тип определение не поддается дифференцированию. Поэтому предпочтительно использовать функциональное определение, которое обычно принимается для всех значений , где - естественная экспоненциальная функция, а - число Эйлера . ^{[1] [2]} Во-первых, мы можем показать, что производная от is .${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$${\ displaystyle r}$${\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)=e^{r\ln x}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle e}$${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$

Если , то , где - функция натурального логарифма, функция, обратная экспоненциальной функции, как продемонстрировал Эйлер. ^[3] Так как последние две функции равны для всех значений , их производные также равны, всякий раз , когда либо производная существует, поэтому мы имеем, по правилу цепи , ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle \ln(f(x))=x}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}$

или , как требовалось. Следовательно, применяя цепное правило к , мы видим, что ${\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}$

что упрощает до .${\displaystyle rx^{r-1}}$

Когда , мы можем использовать то же определение с , где сейчас . Это обязательно приводит к такому же результату. Обратите внимание, что поскольку не имеет общепринятого определения, когда не является рациональным числом, иррациональные степенные функции не определены для отрицательных оснований. Кроме того, поскольку рациональные степени -1 с четными знаменателями (в младших членах) не являются действительными числами, эти выражения имеют действительное значение только для рациональных степеней с нечетными знаменателями (в самых низких членах).${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}$${\displaystyle -x>0}$${\displaystyle (-1)^{r}}$${\displaystyle r}$

Наконец, если функция дифференцируема в точке , определяющий предел для производной равен:${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}$

что дает 0 только в том случае , если рациональное число с нечетным знаменателем (в наименьшем значении) , и 1, когда r = 1. Для всех других значений r выражение не определено должным образом , как было рассмотрено выше, или не является действительное число, поэтому предел не существует как действительная производная. Для двух случаев, которые действительно существуют, значения согласуются со значением существующего правила мощности в 0, поэтому не нужно делать никаких исключений.${\displaystyle r}$${\displaystyle r>1}$${\displaystyle h^{r}}$${\displaystyle h<0}$

Исключение выражения 0 0 {\displaystyle 0^{0}} (случай x = 0) из нашей схемы возведения в степень связано с тем, что функция не имеет предела в (0,0), поскольку приближается к 1, когда x приближается к 0, а приближается к 0, когда y приближается к 0 Таким образом, было бы проблематично приписать ему какое-либо конкретное значение, поскольку значение противоречило бы одному из двух случаев, зависящих от приложения. Его традиционно оставляют неопределенным.${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle 0^{y}}$

Доказательства для ненулевых целочисленных показателей [ править ]

Доказательство по индукции (положительные целые числа) [ править ]

Пусть n - натуральное число. Требуется доказать, что${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

Когда , Следовательно, базовый случай имеет место.${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k , т. Е.${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

Когда ,${\displaystyle n=k+1}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$

По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел n .

Доказательство биномиальной теоремой (положительные целые числа) [ править ]

Пусть , где${\displaystyle y=x^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

потом ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}}$${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+...+{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+...+{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]}$

${\displaystyle =nx^{n-1}}$

Обобщение на отрицательные целые показатели [ править ]

Для отрицательного целого числа n , пусть так, что m является положительным целым числом. Используя правило взаимности ,${\displaystyle n=-m}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$

В заключение, для любого ненулевого целого числа ,${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

Обобщение на рациональные показатели [ править ]

После доказательства того, что правило мощности выполняется для целых показателей, правило может быть расширено на рациональные показатели.

Индивидуальное обобщение [ править ]

1. Пусть , где${\displaystyle y=x^{\frac {1}{n}}=x^{m}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

потом ${\displaystyle y^{n}=x}$

По цепному правилу получаем${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$

Таким образом, ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=mx^{m-1}}$

2. Пусть , где , чтобы${\displaystyle y=x^{\frac {n}{m}}=x^{p}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} ^{+}}$

По правилу цепи ,${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n}=n\left(x^{\frac {1}{m}}\right)^{n-1}\cdot {\frac {1}{m}}x^{{\frac {1}{m}}-1}={\frac {n}{m}}x^{{\frac {n}{m}}-1}=px^{p-1}}$

3. Пусть , где и${\displaystyle y=x^{q}}$${\displaystyle q=-p}$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} ^{+}}$

Используя цепное правило и взаимное правило , мы имеем${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{p}=p\left({\frac {1}{x}}\right)^{p-1}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-px^{-p-1}=qx^{q-1}}$

Из приведенных выше результатов мы можем заключить, что когда r - рациональное число ,${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

Доказательство неявным дифференцированием [ править ]

Более прямое обобщение правила мощности на рациональные показатели использует неявное дифференцирование.

Пусть , где так то .${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$

Потом,

${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$

${\displaystyle qy^{q-1}{\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$

Решая ,${\displaystyle dy/dx}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}$

Поскольку ,${\displaystyle y=x^{p/q}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}$

Применяя законы экспонентов,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$

Таким образом, позволив , мы можем сделать вывод, что когда - рациональное число.${\displaystyle r=p/q}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$${\displaystyle r}$

История [ править ]

Правило степени для интегралов было впервые продемонстрировано в геометрической форме итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в начале 17 века для всех положительных целочисленных значений , а в середине 17 века для всех рациональных степеней математиками Пьером де Ферма , Евангелистой Торричелли , Жилем. де Роберваль , Джон Уоллис и Блез Паскаль , каждый из которых работал независимо. В то время это были трактаты об определении площади между графиком рациональной степенной функции и горизонтальной осью. Однако, оглядываясь назад, она считается первой открытой общей теоремой исчисления. ^[4]${\displaystyle {\displaystyle n}}$Правило степени для дифференцирования было выведено Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем , каждый независимо, для рациональных степенных функций в середине 17 века, которые затем использовали его для вывода правила степени для интегралов как обратной операции. Это отражает традиционный способ представления связанных теорем в современных учебниках по основам математического анализа, где правила дифференцирования обычно предшествуют правилам интегрирования. ^[5]

Хотя оба мужчины заявили, что их правила, продемонстрированные только для рациональных величин, работают для всех реальных степеней, ни один из них не искал доказательства такового, поскольку в то время приложения теории не были связаны с такими экзотическими степенными функциями и вопросами сходимости бесконечные серии оставались неоднозначными.

Уникальный случай был разрешен фламандским иезуитом и математиком Грегуаром де Сен-Винсентом и его учеником Альфонсом Антонио де Сараса в середине 17 века, которые продемонстрировали, что связанный с ним определенный интеграл,${\displaystyle r=-1}$

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}$

представляющая область между прямоугольной гиперболой и осью x, была логарифмической функцией, основание которой в конечном итоге было обнаружено как трансцендентное число e . Современное обозначение значения этого определенного интеграла - натуральный логарифм.${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle \ln(x)}$

Обобщения [ править ]

Сложные силовые функции [ править ]

Если мы рассмотрим функции вида где - любое комплексное число и комплексное число в комплексной плоскости с разрезом, исключающей точку ветвления 0 и любой связанный с ней разрез ветвления, и воспользуемся обычным многозначным определением , то это просто показывают , что в каждой ветви комплексного логарифма, тот же самый аргумент , используемый выше , дает такой же результат: . ^[6]${\displaystyle f(z)=z^{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}$${\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}$

Вдобавок, если является положительным целым числом, то нет необходимости в разрезании ветвей: можно определить или определить положительные целые комплексные степени посредством комплексного умножения и показать, что для всех сложных , из определения производной и биномиальной теоремы .${\displaystyle c}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}$${\displaystyle z}$

Однако из-за многозначного характера сложных степенных функций для нецелочисленных показателей необходимо соблюдать осторожность при указании ветви используемого комплексного логарифма. Кроме того, независимо от того, какая ветвь используется, если не является положительным целым числом, функция не дифференцируема в 0.${\displaystyle c}$

Ссылки [ править ]

• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П .; и Эдвардс, Брюс Х. (2003). Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (3-е издание). Компания Houghton Mifflin. ISBN 0-618-22307-X .