Интеграция с дисками

Интеграция диска , также известная в интегральном исчислении как метода диска , является методом расчета объема о наличии тела вращения из твердотельного материала , когда интегрирующие вдоль оси «параллельно» к оси вращения . Этот метод моделирует полученную трехмерную форму в виде стопки из бесконечного числа дисков разного радиуса и бесконечно малой толщины. Также можно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков (« метод шайбы ») для получения полых тел вращения. Это отличается от интеграции оболочки , которая объединяет вдоль оси, перпендикулярной к оси вращения.

Определение [ править ]

Функция x [ править ]

Если функция, которую нужно повернуть, является функцией x , следующий интеграл представляет объем тела вращения:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} R (x) ^ {2} \, dx}$

где R ( x ) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения горизонтальна (пример: y = 3 или некоторая другая константа).

Функция y [ править ]

Если функция, которую нужно повернуть, является функцией y , следующий интеграл будет определять объем тела вращения:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {c} ^ {d} R (y) ^ {2} \, dy}$

где R ( y ) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения вертикальна (пример: x = 4 или некоторая другая константа).

Метод мойки [ править ]

Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), необходимо взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнего тела вращения. Это можно вычислить с помощью одного интеграла аналогично следующему:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left (R _ {\ mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ {\ mathrm {I}} (x) ^ {2} \ вправо) \, dx}$

где R _O ( x ) - функция, наиболее удаленная от оси вращения, а R _I ( x ) - функция, которая находится ближе всего к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение по оси x красного «листа», заключенного между квадратным корнем и квадратичной кривыми:

Объем этого твердого тела:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ left ({\ sqrt {x}} \ right) ^ {2} - \ left (x ^ {2} \ right) ^ {2 } \ right) \, dx \ ,.}$

Следует проявлять осторожность при оценке не квадрата разницы двух функций, а оценки разности квадратов двух функций.

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ {\ mathrm {I}} (x) ^ {2} \ neq \ left (R _ {\ mathrm {O}} (x) -R _ {\ mathrm {I}} (x) \ right) ^ {2}}$

(Эта формула работает только для оборотов вокруг оси x .)

Чтобы повернуть вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите из этой оси каждую формулу. Если h - значение горизонтальной оси, то объем равен

${\ displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ left (h-R _ {\ mathrm {O}} (x) \ right) ^ {2} - \ left (h-R _ {\ mathrm {I}} (x) \ right) ^ {2} \ right) \, dx \ ,.}$

Например, чтобы повернуть область между y = −2 x + x ² и y = x вдоль оси y = 4 , можно выполнить интегрирование следующим образом:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

Границы интегрирования - это нули первого уравнения минус второе. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от x , график функции, наиболее удаленной от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, даже несмотря на то, что график y = x по отношению к оси x находится выше графика y = −2 x + x ² , относительно оси вращения функция y = x - внутренняя функция: ее график ближе к y = 4 или уравнению оси вращения в примере.

Та же идея может быть применена как к оси Y, так и к любой другой вертикальной оси. Просто нужно решить каждое уравнение для x, прежде чем вставлять их в формулу интегрирования.

См. Также [ править ]

• Твердая революция
• Интеграция с оболочкой

Ссылки [ править ]