Интегральное правило Лейбница

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Интегральное правило Лейбница»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В исчислении , правило Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, именем Готфрида Лейбница , утверждает , что для интеграла вида

${\ Displaystyle \ int _ {а (х)} ^ {Ь (х)} е (х, т) \, дт,}$

где производная этого интеграла выражается как${\ Displaystyle - \ infty <а (х), Ь (х) <\ infty}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}$

где частная производная указывает, что внутри интеграла при взятии производной учитывается только изменение f ( x , t ) с x . ^[1] Обратите внимание, что если и являются константами, а не функциями от , у нас есть частный случай правила Лейбница:${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$

Кроме того, если и , что также является обычной ситуацией (например, при доказательстве формулы повторного интегрирования Коши), мы имеем: ${\displaystyle a(x)=a}$${\displaystyle b(x)=x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt,}$

Таким образом, при определенных условиях можно поменять местами интегральные и дифференциальные операторы в частных производных . Этот важный результат особенно полезен при дифференцировании интегральных преобразований . Пример такого является производящей функцией момента в вероятностной теории, вариация преобразования Лапласа , который может быть дифференцирована для генерации моменты из более случайной величины . Применимо ли интегральное правило Лейбница, по сути, вопрос о смене пределов .

Общий вид: Дифференциация под знаком интеграла [ править ]

Теорема. Пусть f ( x , t ) - функция такая, что как f ( x , t ), так и ее частная производная f _x ( x , t ) непрерывны по t и x в некоторой области ( x , t ) -плоскости, включая а ( х ) ≤ т ≤ б ( х ) , х ₀ ≤ х ≤ х ₁ . Также предположим, что функцииa ( x ) и b ( x ) оба непрерывны, и оба имеют непрерывные производные при x ₀ ≤ x ≤ x ₁ . Тогда при х ₀ ≤ х ≤ х ₁ ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$

Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбница и может быть получена с помощью основной теоремы исчисления . (Первая) фундаментальная теорема исчисления - это как раз частный случай приведенной выше формулы, где a ( x ) = a , константа, b ( x ) = x и f ( x , t ) = f ( t ).

Если принять за константы и верхний, и нижний пределы, то формула принимает форму операторного уравнения:

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}$

где - частная производная по и - интегральный оператор по фиксированному интервалу . То есть это связано с симметрией вторых производных , но с интегралами, а также с производными. Этот случай также известен как правило интеграла Лейбница.${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}$${\displaystyle t}$

Следующие три основные теоремы об изменении пределов по существу эквивалентны:

• перестановка производной и интеграла (дифференцирование под знаком интеграла, т. е. правило интеграла Лейбница);
• изменение порядка частных производных;
• изменение порядка интегрирования (интегрирование под знаком интеграла; т. е. теорема Фубини ).

Трехмерный, зависящий от времени случай [ править ]

Интегральное правило Лейбница для двумерной поверхности, движущейся в трехмерном пространстве, ^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$

куда:

F ( r , t ) - векторное поле в пространственной позиции r в момент времени t ,

Σ - поверхность, ограниченная замкнутой кривой ∂Σ,

d A - векторный элемент поверхности Σ,

d s - векторный элемент кривой ∂Σ,

v - скорость движения области Σ,

∇⋅ - векторная расходимость ,

× - векторное произведение ,

Двойные интегралы - это поверхностные интегралы по поверхности Σ, а линейный интеграл - по ограничивающей кривой ∂Σ.

Высшие измерения [ править ]

Интегральное правило Лейбница можно распространить на многомерные интегралы. В двух и трех измерениях это правило более известно из области гидродинамики как теорема переноса Рейнольдса :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t){\vec {\textbf {v}}}_{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$

где - скалярная функция, D ( t ) и ∂ D ( t ) обозначают изменяющуюся во времени связную область R ^3, а ее граница, соответственно, - эйлерова скорость границы (см. лагранжевые и эйлеровы координаты ) и d Σ = n dS - единичная нормальная составляющая элемента поверхности .${\displaystyle F({\vec {\textbf {x}}},t)}$${\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}_{b}}$ 

Общее утверждение интегрального правила Лейбница требует понятий из дифференциальной геометрии , в частности дифференциальных форм , внешних производных , произведений клина и внутренних произведений . С этими инструментами интегральное правило Лейбница в n измерениях будет ^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\vec {\textbf {v}}}(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\vec {\textbf {v}}}\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$

где Ω ( t ) - изменяющаяся во времени область интегрирования, ω - p- форма, - векторное поле скорости, обозначает внутреннее произведение с , d _x ω - внешняя производная ω по пространственным переменным только и является производной по времени от ω.${\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}={\frac {\partial {\vec {\textbf {x}}}}{\partial t}}}$${\displaystyle i_{\vec {\textbf {v}}}}$${\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}}$${\displaystyle {\dot {\omega }}}$

Однако все эти тождества можно вывести из самого общего утверждения о производных Ли:

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{{\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega )}\omega =\int _{\Omega }{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}$

Здесь окружающее многообразие, на котором живет дифференциальная форма, включает как пространство, так и время.${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Omega }$является областью интегрирования (подмногообразием) в данный момент времени (не зависит от , поскольку его параметризация как подмногообразия определяет его положение во времени),${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$- производная Ли ,

${\displaystyle \Psi }$- векторное поле пространства-времени, полученное путем добавления унитарного векторного поля в направлении времени к чисто пространственному векторному полю из предыдущих формул (т. е. пространственно-временная скорость ),${\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \psi _{t}}$является диффеоморфизмом из группы одного параметра , генерируемого потока из , и${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega )}$это изображение из под таким диффеоморфизмом.${\displaystyle \Omega }$

Что примечательно в этой форме, так это то, что она может объяснить случай изменения формы и размера со временем, поскольку такие деформации полностью определяются .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Psi }$

Утверждение теории меры [ править ]

Позвольте быть открытым подмножеством , и быть мерой пространства . Предположим, удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f\colon X\times \Omega \rightarrow \mathbf {R} }$

1. ${\displaystyle f(x,\omega )}$является интегрируемой по Лебегу функцией для каждого .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x\in X}$
2. Для почти всех , производная существует для всех .${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle x\in X}$
3. Существует такая интегрируемая функция , что для всех и почти каждого .${\displaystyle \theta \colon \Omega \rightarrow \mathbf {R} }$${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Тогда для всех ,${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}$

Доказательство опирается на теорему о доминируемой сходимости и теорему о среднем значении (подробности ниже).

Доказательства [ править ]

Подтверждение базовой формы [ править ]

Сначала докажем случай постоянных пределов интегрирования a и b .

Мы используем теорему Фубини, чтобы изменить порядок интегрирования. Для любых x и h , таких что h > 0 и x и x + h находятся в пределах [ x ₀ , x ₁ ], мы имеем:

${\displaystyle \int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$

Обратите внимание, что рассматриваемые интегралы определены корректно, поскольку они непрерывны в замкнутом прямоугольнике и, следовательно, также равномерно непрерывны там; таким образом, его интегралы по dt или dx непрерывны по другой переменной, а также интегрируются по ней (в основном это потому, что для равномерно непрерывных функций можно перейти через знак интегрирования, как описано ниже).${\displaystyle f_{x}(x,t)}$${\displaystyle [x_{0},x_{1}]*[a,b]}$

Следовательно:

${\displaystyle {\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}$

Где мы определили:

${\displaystyle F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$

(мы можем заменить x ₀ здесь любой другой точкой между x ₀ и x )

F дифференцируема с производной , поэтому мы можем перейти к пределу, когда h стремится к нулю. Для левой стороны этот предел составляет:${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)}$

Для правой части получаем:

${\displaystyle F'(u)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$

И тем самым доказываем желаемый результат:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)}$

Другое доказательство, использующее теорему об ограниченной сходимости [ править ]

Если рассматриваемые интегралы являются интегралами Лебега , мы можем использовать теорему об ограниченной сходимости (справедливую для этих интегралов, но не для интегралов Римана ), чтобы показать, что предел можно пройти через знак интеграла.

Заметим, что это доказательство слабее в том смысле, что оно показывает только интегрируемость f _x ( x , t ) по Лебегу, но не то, что она интегрируема по Риману. В первом (более сильном) доказательстве, если f ( x , t ) интегрируема по Риману, то также и f _x ( x , t ) (а значит, очевидно, также интегрируема по Лебегу).

Позволять

${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.\qquad (1)}$

По определению производной

${\displaystyle u'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.\qquad (2)}$

Подставьте уравнение (1) в уравнение (2). Разность двух интегралов равна интегралу разности, а 1 / h - постоянная величина, поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$

Покажем теперь, что предел можно перейти через знак интеграла.

Мы утверждаем, что переход к пределу под знаком интеграла справедлив по теореме об ограниченной сходимости (следствие теоремы о мажорируемой сходимости ). Для каждого δ> 0 рассмотрим разностный фактор

${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$

При фиксированном t из теоремы о среднем следует, что существует z в интервале [ x , x + δ] такое, что

${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$

Непрерывность f _x ( x , t ) и компактность области вместе означают, что f _x ( x , t ) ограничена. Таким образом, приведенное выше применение теоремы о среднем дает равномерную (не зависящую от ) оценку . Разностные частные сходятся поточечно к частной производной f _x в предположении, что частная производная существует.${\displaystyle t}$${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$

Приведенное выше рассуждение показывает, что для любой последовательности {δ _n } → 0 последовательность равномерно ограничена и поточечно сходится к f _x . Теорема об ограниченной сходимости утверждает, что если последовательность функций на множестве конечной меры равномерно ограничена и сходится поточечно, то переход предела под интегралом допустим. В частности, можно поменять местами предел и интеграл для каждой последовательности {δ _n } → 0. Следовательно, предел при δ → 0 можно пройти через знак интеграла.${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$

Форма для переменных ограничений [ править ]

Для непрерывной вещественной функции g одной действительной переменной и действительных дифференцируемых функций и одной действительной переменной${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$

Это следует из цепного правила и Первой основной теоремы исчисления . Определять

${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt}$,

и

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt}$. (Нижний предел просто должен быть некоторым числом в домене )${\displaystyle g}$

Тогда, может быть записана в виде композиции : . Тогда цепное правило подразумевает, что${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$

${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x)}$.

К первому основному Лейбницу , . Следовательно, подставив этот результат выше, мы получим искомое уравнение:${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$

${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}}$.

Примечание. Эта форма может быть особенно полезной, если дифференцируемое выражение имеет форму:

${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt}$

Поскольку не зависит от пределов интеграции, он может быть исключен из-под знака интеграла, и указанная выше форма может использоваться с правилом продукта , т. Е.${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)}$

Общая форма с переменными пределами [ править ]

Набор

${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$

где a и b - функции от α, которые показывают приращения Δ a и Δ b , соответственно, при увеличении α на Δα. Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$

Форма по теореме о среднем значении , где <ξ < б , может быть применена к первым и последним интегралам формулы для ДФА выше, в результате чего${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$

${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$

Разделим на Δα и пусть Δα → 0. Заметим, что ξ ₁ → a и ξ ₂ → b . Предел можно пройти через знак интеграла:

${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$

опять же по теореме об ограниченной сходимости. Это дает общую форму интегрального правила Лейбница:

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$

Альтернативное доказательство общей формы с переменными пределами, используя правило цепочки [ править ]

Общая форма интегрального правила Лейбница с переменными пределами может быть получена как следствие основной формы интегрального правила Лейбница, правила многопараметрической цепочки и первой фундаментальной теоремы исчисления . Допустим , определен прямоугольник на плоскости, для и . Кроме того, предположение и частная производная являются непрерывными функциями на этом прямоугольнике. Предположим, что существуют дифференцируемые вещественнозначные функции, определенные на , со значениями в (т.е. для каждого ). Теперь установите${\displaystyle f}$${\displaystyle x-t}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$

${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$,   для и ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$

и

${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt}$,  для ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$

Тогда по свойствам определенных интегралов мы можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)&=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\&=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned}}}$

Поскольку все функции дифференцируемы (см. Замечание в конце доказательства), по правилу цепочки многих переменных следует, что функция дифференцируема, а ее производная задается формулой:${\displaystyle F,a,b}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G'(x)=\left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\left(x,b(x)\right)+{\dfrac {\partial F}{\partial y}}\left(x,b(x)\right)b'(x)\right)-\left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\left(x,a(x)\right)+{\dfrac {\partial F}{\partial y}}\left(x,a(x)\right)a'(x)\right)}$  

Теперь обратите внимание, что для каждого и для каждого мы имеем это , потому что , беря частную производную по от , мы сохраняем фиксированное значение в выражении ; таким образом, применяется основная форма интегрального правила Лейбница с постоянными пределами интегрирования. Далее, согласно Первой фундаментальной теореме исчисления , мы имеем это ; потому что когда берется частная производная по от , первая переменная фиксируется, поэтому основная теорема действительно может быть применена.${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle {\dfrac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dt}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$${\displaystyle {\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$

Подстановка этих результатов в уравнение для выше дает:${\displaystyle G'(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dt+f\left(x,b(x)\right)b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dt+f\left(x,a(x)\right)a'(x)\right)\\&=f\left(x,b(x)\right)b'(x)-f\left(x,a(x)\right)a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dt,\end{aligned}}}$

по желанию.

В приведенном выше доказательстве есть технический момент, который стоит отметить: применение правила цепочки требует, чтобы оно уже было дифференцируемым . Здесь мы используем наши предположения о . Как упоминалось выше, частные производные от даются формулами и . Поскольку он непрерывен, его интеграл также является непрерывной функцией ^[3], а поскольку он также непрерывен, эти два результата показывают, что обе частные производные от непрерывны. Поскольку непрерывность частных производных влечет дифференцируемость функции, ^[4] действительно дифференцируемо.${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\dfrac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dt}$${\displaystyle {\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$${\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Трехмерная, зависящая от времени форма [ править ]

В момент времени t поверхность Σ на рисунке 1 содержит набор точек, расположенных вокруг центра тяжести . Функцию можно записать как${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$

с не зависящей от времени. Переменные перемещаются в новую систему отсчета, прикрепленную к движущейся поверхности, с началом координат в . Для жестко перемещающейся поверхности пределы интегрирования не зависят от времени, поэтому:${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$

где пределы интегрирования, ограничивающие интеграл областью Σ, больше не зависят от времени, поэтому дифференцирование проходит через интегрирование и действует только на подынтегральное выражение:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$

со скоростью движения поверхности, определяемой

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$

Это уравнение выражает материальную производную поля, то есть производную относительно системы координат, прикрепленной к движущейся поверхности. Найдя производную, переменные можно переключить обратно в исходную систему отсчета. Мы замечаем, что (см. Статью о завитке )

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$

и что теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл ротора по Σ к линейному интегралу по ∂Σ:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$

Знак линейного интеграла основывается на правиле выбора направления линейного элемента d s . Чтобы установить этот знак, например, предположим, что поле F направлено в положительном направлении z , а поверхность Σ является частью плоскости xy с периметром ∂Σ. Примем нормаль к Σ, чтобы она находилась в положительном направлении z . Тогда положительный обход ∂Σ осуществляется против часовой стрелки (правило правой руки с большим пальцем вдоль оси z ). Тогда интеграл в левой части определяет положительный поток F через Σ. Предположим, что Σ переводится в положительном направлении x со скоростьюv . Элемент границы Σ, параллельный оси y , скажем, d s , выметает область v t × d s за время t . Если мы проинтегрируем вокруг границы ∂Σ против часовой стрелки, v t × d s будет указывать в отрицательном z- направлении слева от ∂Σ (где d s направлен вниз), а в положительном z- направлении справа сторону ∂Σ (где d sуказывает вверх), что имеет смысл, потому что Σ движется вправо, добавляя область справа и теряя ее слева. Исходя из этого, поток F увеличивается справа от ∂Σ и уменьшается слева. Однако скалярное произведение v × F • d s = - F × v • d s = - F • v × d s . Следовательно, знак линейного интеграла принимается отрицательным.

Если v - константа,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$

что и есть процитированный результат. В этом доказательстве не рассматривается возможность деформации поверхности при движении.

Альтернативное происхождение [ править ]

Лемма. Надо:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$

Доказательство. Из доказательства основной теоремы исчисления ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[6pt]&=f(b),\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$

Предположим, что a и b постоянны, и что f ( x ) включает параметр α, который постоянен при интегрировании, но может изменяться для образования разных интегралов. Предположим, что f ( x , α) является непрерывной функцией x и α в компакте {( x , α): α ₀ ≤ α ≤ α ₁ и a ≤ x ≤ b }, а частная производная f _α ( x , α) существует и непрерывно. Если определить:

${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$

то можно дифференцировать по α, дифференцируя под знаком интеграла, т. е.${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$

По теореме Гейне – Кантора он равномерно непрерывен в этом множестве. Другими словами, для любого ε> 0 существует ∆α такое, что для всех значений x в [ a , b ],

${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$

С другой стороны,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$

Следовательно, φ (α) - непрерывная функция.

Аналогично, если существует и непрерывно, то для любого ε> 0 существует Δα такое, что:${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$

куда

${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$

Теперь ε → 0 при ∆α → 0, поэтому

${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\rightarrow 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$

Это формула, которую мы намеревались доказать.

Теперь предположим

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$

где a и b - функции от α, которые принимают приращения Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δα. Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$

Форма теоремы о среднем значении , где a <ξ < b , может быть применена к первому и последнему интегралам формулы для Δφ выше, в результате чего${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$

${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$

Разделив на Δα, положив Δα → 0, заметив ξ ₁ → a и ξ ₂ → b и используя приведенный выше вывод для

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$

дает

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$

Это общая форма интегрального правила Лейбница.

Примеры [ править ]

Пример 1. Фиксированные ограничения [ править ]

Рассмотрим функцию

${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$

Функция под знаком интеграла не является непрерывной в точке ( x , α) = (0, 0), а функция φ (α) имеет разрыв при α = 0, поскольку φ (α) стремится к ± π / 2 при α → 0 ^± .

Если продифференцировать φ (α) по α под знаком интеграла, получим

${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}{\bigg |}_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$

что, конечно, верно для всех значений α, кроме α = 0. Это можно проинтегрировать (относительно α), чтобы найти

${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$

Пример 2: Пределы переменных [ править ]

Пример с переменными пределами:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\cosh t^{2}\right)dt\\[6pt]&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right)(-\sin x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh \left(\cos ^{2}x\right)\sin x-\cosh \left(\sin ^{2}x\right)\cos x.\end{aligned}}}$

Приложения [ править ]

Вычисление определенных интегралов [ править ]

Формула

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int \limits _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int \limits _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt}$

может быть полезен при вычислении определенных интегралов. В этом контексте правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла также известно как трюк Фейнмана или техника интегрирования.

Пример 3 [ править ]

Учитывать

${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |>1.}$

Сейчас же,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}$

Поскольку варьируется от до , мы имеем${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}}$