Испытание чередующейся серии

В математическом анализе , то тест знакопеременного ряда является методом , используемым , чтобы доказать , что в знакопеременном ряде с точкой зрения, что уменьшение по абсолютной величине является сходящимся рядом . Испытание было использовано Готфрида Лейбница и иногда известен как тест Лейбница , правило Лейбница , или критерий Лейбница .

Формулировка [ править ]

Серия формы

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n} = a_ {0} -a_ {1} + a_ {2} -a_ {3} + \ cdots \!}$

где либо все a _n положительны, либо все a _n отрицательны, называется чередующейся серией .

Тогда проверка переменного ряда говорит: если убывает монотонно ^[1], а затем переменный ряд сходится.${\ displaystyle | a_ {n} |}$${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} а_ {п} = 0}$

Кроме того, пусть L обозначает сумму ряда, тогда частичная сумма

${\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} a_ {n} \!}$

аппроксимирует L с ошибкой, ограниченной следующим пропущенным членом:

${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$

Доказательство [ править ]

Предположим, нам дан ряд вида , где и для всех натуральных чисел n . (Случай следует из отрицания.) ^[1]${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

Доказательство сходимости [ править ]

Докажем , что обе частичные суммы с нечетным числом членов, и с четным числом членов, сходятся к тому же числу L . Таким образом, обычная частичная сумма также сходится к L .${\displaystyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\displaystyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$

Нечетные частичные суммы монотонно убывают:

${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$

а четные частичные суммы монотонно увеличиваются:

${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$

оба потому, что _n монотонно убывает с n .

Кроме того, поскольку в _п являются положительными, . Таким образом, мы можем собрать эти факты, чтобы сформировать следующее предполагаемое неравенство:${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$

${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$

Теперь заметим, что a ₁ - a ₂ является нижней границей монотонно убывающей последовательности S _{2m + 1} , тогда из теоремы о монотонной сходимости следует, что эта последовательность сходится, когда m стремится к бесконечности. Аналогично сходится и последовательность четных частичных сумм.

Наконец, они должны сходиться к одному числу, потому что

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.}$

Назовите предел L , тогда теорема о монотонной сходимости также сообщает нам дополнительную информацию, которая

${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$

для любого м . Это означает, что частичные суммы чередующегося ряда также «чередуются» выше и ниже конечного предела. Точнее, когда есть нечетное (четное) количество членов, то есть последний член является плюсовым (минусовым) членом, тогда частичная сумма выше (ниже) конечного предела.

Это понимание немедленно приводит к ошибке оценки частичных сумм, показанной ниже.

Доказательство ошибки частичной суммы [ править ]

Мы хотели бы показать , разделив на два случая.${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$

Когда k = 2m + 1, т.е. нечетное, то

${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}}$

Когда k = 2m, т.е. четное, то

${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$

по желанию.

Оба случая существенно опираются на последнее неравенство, полученное в предыдущем доказательстве.

Для альтернативного доказательства, использующего тест сходимости Коши , см. Переменный ряд .

Для обобщения см . Тест Дирихле .

Контрпример [ править ]

Чтобы заключение было верным, должны быть выполнены все условия теста, а именно сходимость к нулю и монотонность. Например, возьмем серию

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots }$

Знаки чередуются, а члены стремятся к нулю. Однако монотонности нет, и мы не можем применить тест. На самом деле серия расходится. В самом деле, у нас есть частичная сумма , которая в два раза больше частичной суммы гармонического ряда, который расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.${\displaystyle S_{2n}}$${\displaystyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$

См. Также [ править ]

• Чередование серий
• Тест Дирихле

Примечания [ править ]

^ На практике первые несколько членов могут увеличиваться. Важно то, чточерез какое-то времяэтодля всех. ^[2]${\displaystyle b_{n}\geq b_{n+1}}$${\displaystyle n}$

Ссылки [ править ]

• Конрад Кнопп (1956) Бесконечные последовательности и серии , § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6 
• Конрад Кнопп (1990) Теория и применение бесконечных рядов , § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2 
• ET Whittaker & GN Watson (1963) Курс современного анализа , 4-е издание, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3 

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Лейбница» . MathWorld .