В математике , дифференциальный относятся к бесконечно малым разностям или в производные функциях. [1] Этот термин используется в различных разделах математики, таких как исчисление , дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия и алгебраическая топология .
Основные понятия [ править ]
- В исчислении , то дифференциальное представляет собой изменение в линеаризации в виде функции .
- Полный дифференциал является его обобщением для функций многих переменных.
- В традиционных подходах к исчислению дифференциалы (например, dx , dy , dt и т. Д.) Интерпретируются как бесконечно малые . Существует несколько методов строгого определения бесконечно малых чисел, но достаточно сказать, что бесконечно малое число меньше по модулю, чем любое положительное действительное число, точно так же, как бесконечно большое число больше любого действительного числа.
- Дифференциала это другое название для матрицы Якоби из частных производных функции из R п к R м (особенно , когда эта матрица рассматривается как линейное отображение ).
- В более общем смысле, дифференциал или прямой ход относится к производной карты между гладкими многообразиями и операциями прямого распространения, которые оно определяет. Дифференциал также используется для определения двойной концепции отката .
- Стохастическое исчисление обеспечивает понятие стохастического дифференциала и связанное с ним исчисление для случайных процессов .
- Интегратор в интеграле Стилтьеса представляется в виде дифференциала функции. Формально дифференциал, появляющийся под интегралом, ведет себя точно так же, как дифференциал: таким образом, формулы интегрирования путем подстановки и интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса соответствуют, соответственно, цепному правилу и правилу произведения для дифференциала.
Дифференциальная геометрия [ править ]
Понятие дифференциала мотивирует несколько концепций дифференциальной геометрии (и дифференциальной топологии ).
- Дифференциал (прямой образ) на карте между многообразий.
- Дифференциальные формы обеспечивают основу для умножения и дифференцирования дифференциалов.
- Внешняя производная является понятием дифференциации дифференциальных форм, обобщающим дифференциал от функции (которая является дифференциальной 1-формой ).
- Откат - это, в частности, геометрическое название цепного правила для составления карты между многообразиями с дифференциальной формой на целевом многообразии.
- Ковариантные производные или дифференциалы обеспечивают общее понятие для дифференцирования векторных полей и тензорных полей на многообразии или, в более общем смысле, сечений векторного расслоения : см. Связь (векторное расслоение) . В конечном итоге это приводит к общему понятию связи .
Алгебраическая геометрия [ править ]
Дифференциалы также важны в алгебраической геометрии , и есть несколько важных понятий.
- Абелевы дифференциалы обычно означают дифференциальные одноформы на алгебраической кривой или римановой поверхности .
- Квадратичные дифференциалы (которые ведут себя как «квадраты» абелевых дифференциалов) также важны в теории римановых поверхностей.
- Кэлеровы дифференциалы дают общее понятие дифференциала в алгебраической геометрии.
Другие значения [ править ]
Термин дифференциал также был принят в гомологической алгебре и алгебраической топологии из-за той роли, которую внешняя производная играет в когомологиях де Рама: в коцепном комплексе отображения (или кограничные операторы ) d i часто называют дифференциалами. Двойственно граничные операторы в цепном комплексе иногда называют кодифференциалами .
Свойства дифференциала также мотивируют алгебраические понятия дифференцирования и дифференциальной алгебры .
Ссылки [ править ]
- ^ «дифференциал - Определение дифференциала в английском языке США по Оксфордским словарям» . Оксфордские словари - английские . Проверено 13 апреля 2018 года .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциалы» . MathWorld .
