Дифференциальная форма

В математических областях дифференциальной геометрии и тензорное исчисления , дифференциальные формы являются подходом к многофакторному исчислению , что не зависит от координат . Дифференциальные формы обеспечивают единый подход к определению подынтегральных выражений по кривым, поверхностям, телам и многомерным многообразиям . Современное понятие дифференциальных форм было впервые предложено Эли Картаном . Он имеет множество приложений, особенно в геометрии, топологии и физике.

Например, выражение f ( x ) dx из исчисления с одной переменной является примером 1 -формы и может быть интегрировано по ориентированному интервалу [ a , b ] в области определения f :

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

Аналогично, выражение f ( x , y , z ) dx ∧ dy + g ( x , y , z ) dz ∧ dx + h ( x , y , z ) dy ∧ dz представляет собой 2- форму, которая имеет поверхностный интеграл по ориентированная поверхность S :

${\ Displaystyle \ int _ {S} (е (х, у, z) \, dx \ клин dy + g (x, y, z) \, dz \ клин dx + h (x, y, z) \, dy \ wedge dz).}$

Символ ∧ обозначает внешнее произведение , иногда называемое произведением клина , двух дифференциальных форм. Точно так же 3- форма f ( x , y , z ) dx ∧ dy ∧ dz представляет собой элемент объема, который может быть интегрирован по ориентированной области пространства. В общем случае k -форма - это объект, который может быть интегрирован по k -мерному ориентированному многообразию и однороден степени k по координатным дифференциалам.

Алгебра дифференциальных форм организована таким образом , что , естественно , отражает ориентацию в области интегрирования. Существует операция d над дифференциальными формами, известная как внешняя производная, которая при задании k -формы в качестве входных данных создает ( k + 1) -форму в качестве выходных данных. Эта операция расширяет дифференциал функции , а также имеет прямое отношение к дивергенции и ротора векторного поля таким образом , что делает основную теорему исчисления , то теорема дивергенции , теорема Грина, и теорема Стокса - частные случаи того же общего результата, известного в этом контексте также как обобщенная теорема Стокса . В более глубоком смысле эта теорема связывает топологию области интегрирования со структурой самих дифференциальных форм; точная связь известна как теорема де Рама .

Общая обстановка для изучения дифференциальных форм - на дифференцируемом многообразии . Дифференциальные 1 -формы естественно двойственны векторным полям на многообразии, а спаривание векторных полей и 1 -форм расширяется на произвольные дифференциальные формы с помощью внутреннего произведения . Алгебра дифференциальных форм вместе с определенной на ней внешней производной сохраняется обратным образом при гладких функциях между двумя многообразиями. Эта функция позволяет перемещать геометрически неизменную информацию из одного пространства в другое посредством отката при условии, что информация выражена в терминах дифференциальных форм. Например, формула замены переменных для интеграции становится простым утверждением, что интеграл сохраняется при откате.

История [ править ]

Дифференциальные формы являются частью области дифференциальной геометрии, на которую влияет линейная алгебра. Хотя понятие дифференциала довольно старое, первоначальная попытка алгебраической организации дифференциальных форм обычно приписывается Эли Картану со ссылкой на его статью 1899 года. ^[1] Некоторые аспекты внешней алгебры дифференциальных форм появляются в работе Германа Грассмана 1844 г. Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Теория линейного расширения, новый раздел математики) .

Концепция [ править ]

Дифференциальные формы обеспечивают подход к многомерному исчислению , не зависящий от координат .

Интеграция и ориентация [ править ]

Дифференциальную k -форму можно проинтегрировать по ориентированному многообразию размерности k . Дифференциальную 1- форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной длины или одномерной ориентированной плотности. Дифференциальную 2- форму можно рассматривать как измерение бесконечно малой ориентированной площади или двумерной ориентированной плотности. И так далее.

Интегрирование дифференциальных форм корректно определено только на ориентированных многообразиях . Примером одномерного многообразия является интервал [ a , b ] , и интервалы могут иметь ориентацию: они положительно ориентированы, если a < b , и отрицательно ориентированы в противном случае. Если a < b, то интеграл дифференциальной 1-формы f ( x ) dx на отрезке [ a , b ] (с его естественной положительной ориентацией) равен

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

которая является отрицательной величиной интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, когда используется противоположная ориентация. То есть:

${\ displaystyle \ int _ {b} ^ {a} f (x) \, dx = - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

Это дает геометрический контекст соглашениям об одномерных интегралах, согласно которым знак меняется при изменении ориентации интервала на противоположное. Стандартное объяснение этого в теории интегрирования одной переменной состоит в том, что, когда пределы интегрирования имеют обратный порядок ( b < a ), приращение dx отрицательно в направлении интегрирования.

В более общем смысле m -форма - это ориентированная плотность, которая может быть интегрирована по m -мерному ориентированному многообразию. (Например, 1 -форму можно проинтегрировать по ориентированной кривой, 2 -форму можно проинтегрировать по ориентированной поверхности и т. Д.) Если M - ориентированное m -мерное многообразие, а M ′ - такое же многообразие с противоположными ориентации и ω является m -формой, то имеем:

${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$

Эти соглашения соответствуют интерпретации подынтегрального выражения как дифференциальной формы, интегрированной по цепочке . В теории меры , напротив, подынтегральное выражение интерпретируется как функция f относительно меры µ и интегрируется по подмножеству A без какого-либо понятия ориентации; один пишет , чтобы указать , интегрирование по подмножеству A . Это незначительное различие в одном измерении, но становится более тонким на многомерном многообразии; подробности см. ниже .${\displaystyle \textstyle {\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }}$

Уточнение понятия ориентированной плотности и, следовательно, дифференциальной формы требует внешней алгебры . Дифференциалы набора координат dx ¹ , ..., dx ⁿ могут использоваться в качестве основы для всех 1 -форм. Каждый из них представляет собой ковектор в каждой точке коллектора, который можно рассматривать как измерение небольшого смещения в соответствующем координатном направлении. Общая 1 -форма - это линейная комбинация этих дифференциалов в каждой точке многообразия:

${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$

где f _k = f _k ( x ¹ , ..., x ⁿ ) являются функциями всех координат. Дифференциальная 1 -форма интегрируется по ориентированной кривой как линейный интеграл.

Выражения dx ⁱ ∧ dx ^j , где i < j, можно использовать как основу в каждой точке многообразия для всех двух форм. Это можно представить как бесконечно малый ориентированный квадрат, параллельный плоскости x ⁱ - x ^j . Общая двойная форма - это их линейная комбинация в каждой точке многообразия:, и она интегрируется так же, как поверхностный интеграл.${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

Фундаментальной операцией, определенной на дифференциальных формах, является внешнее произведение (символ - клин ∧ ). Это похоже на векторное произведение из векторного исчисления в том, что это переменное произведение. Например,

${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$

поскольку квадрат, первая сторона которого равна dx ^1, а вторая сторона - dx ^2, следует рассматривать как имеющий противоположную ориентацию, как квадрат, первая сторона которого равна dx ^2, а вторая сторона - dx ¹ . Вот почему нам нужно суммировать только выражения dx ⁱ ∧ dx ^j , где i < j ; например: a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a - b) dx ⁱ ∧ dx ^j . Внешний продукт позволяет строить дифференциальные формы более высоких степеней из форм более низких степеней во многом таким же образом, как векторное произведение в векторном исчислении позволяет вычислить вектор площади параллелограмма из векторов, направленных вверх на две стороны. Чередование также означает, что dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 , точно так же, как перекрестное произведение параллельных векторов, величина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы, равно нулю. В более высоких измерениях dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0, если любые два из индексовi ₁ , ..., i _m равны, точно так же, как «объем», заключенный в параллелоэдр , векторы ребер которого линейно зависимы, равен нулю.

Мультииндексная нотация [ править ]

Обычное обозначение для произведения клина элементарных k -форм - это так называемая многоиндексная запись : в n -мерном контексте для мы определяем . ^[2] Еще одно полезное обозначение получается путем определения множества всех строго возрастающих мультииндексов длины к , в пространстве размерности п , обозначаемой . Затем локально (где бы ни применялись координаты) охватывает пространство дифференциальных k -форм в многообразии M размерности n , если рассматривать его как модуль над кольцом C ^∞ ( M ) гладких функций на${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$M . При расчете размеракомбинаторно, модуль к -формы на п - мерном многообразии, а в общем пространстве K -covectors на в п - мерном векторном пространстве, является п  выбрать  K :. Это также демонстрирует, что не существует ненулевых дифференциальных форм степени выше размерности лежащего в основе многообразия.${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$${\displaystyle \textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

Внешняя производная [ править ]

В дополнение к внешнему произведению существует также оператор внешней производной d . Внешняя производная дифференциальной формы является обобщением дифференциала функции в том смысле, что внешняя производная функции f ∈ C ^∞ ( M ) = Ω ⁰ ( M ) является в точности дифференциалом функции f . При обобщении на высшие формы, если ω = f dx ^I является простой k -формой, то ее внешняя производная dω является ( k + 1)-форма определяется как дифференциал функций коэффициентов:

${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

с распространением на общие k -формы через линейность: если , то его внешняя производная равна${\displaystyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$

В R ³ с оператором звезды Ходжа внешняя производная соответствует градиенту , завитку и дивергенции , хотя это соответствие, как и перекрестное произведение, не обобщается на более высокие измерения, и к нему следует относиться с некоторой осторожностью.

Сама внешняя производная применяется в произвольном конечном числе измерений и представляет собой гибкий и мощный инструмент с широким применением в дифференциальной геометрии , дифференциальной топологии и во многих областях физики. Следует отметить, что хотя приведенное выше определение внешней производной было определено относительно локальных координат, оно может быть определено полностью бескординатным способом, как первообраз степени 1 на внешней алгебре дифференциальных форм. Преимущество этого более общего подхода состоит в том, что он позволяет использовать естественный бескординатный подход к интегрированию на многообразиях . Это также позволяет естественным образом обобщить основную теорему исчисления., называемая (обобщенной) теоремой Стокса , которая является центральным результатом теории интегрирования на многообразиях.

Дифференциальное исчисление [ править ]

Пусть U - открытое множество в R ⁿ . Дифференциальная 0 -форма («нулевая форма») определяется как гладкая функция f на U, множество которой обозначается C ^∞ ( U ) . Если v - любой вектор в R ⁿ , то f имеет производную по направлению ∂ _v f , которая является другой функцией на U , значение которой в точке p ∈ U является скоростью изменения (в p ) fв направлении v :

${\displaystyle (\partial _{v}f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+tv)\right|_{t=0}.}$

(Это понятие может быть расширено точечно на случай, когда v является векторным полем на U , вычислив v в точке p в определении.)

В частности, если v = е _J является J - й координатного вектора , то ∂ _v F является частной производной от F по отношению к J - й координатной функции, т.е. ∂ F / ∂ х ^J , где х ¹ , х ² ,. .., х ^п являются функциями координат на U . По самому своему определению частные производные зависят от выбора координат: если новые координаты y ¹ , y² , ..., y ⁿ , то

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$

Первая идея, ведущая к дифференциальным формам, - это наблюдение, что ∂ _v f ( p ) является линейной функцией от v :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{v+w}f)(p)&=(\partial _{v}f)(p)+(\partial _{w}f)(p)\\(\partial _{cv}f)(p)&=c(\partial _{v}f)(p)\end{aligned}}}$

для любых векторов v , w и любого действительного числа c . В каждой точке р , это линейное отображение из R ^п к R обозначается DF _р и называется производной или дифференциала из F на р . Таким образом, df _p ( v ) = ∂ _v f ( p ) . Расширенный по всему набору объект df можно рассматривать как функцию, которая принимает векторное поле на U, и возвращает функцию с действительным знаком, значение которой в каждой точке является производной вдоль векторного поля функции f . Обратите внимание, что для каждого p дифференциал df _p является не действительным числом, а линейным функционалом от касательных векторов и прототипом дифференциальной 1 -формы .

Так как любой вектор v представляет собой линейную комбинацию Σ v ^J е _J из его компонентов , DF однозначно определяется ф.р. _р ( е _J ) для каждого J и каждый р ∈ U , которые являются только частные производные от F на U . Таким образом, df обеспечивает способ кодирования частных производных от f . Его можно расшифровать, заметив, что координаты x ¹ , x ² , ..., xⁿ сами являются функциями наU, поэтому определяют дифференциальные1-формыdx ¹ ,dx ² , ...,dx ⁿ . Пустьf=x ⁱ . Поскольку∂x ⁱ / ∂x ^j =δ _ij ,дельта-функция Кронекера, отсюда следует, что

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

( * )

Смысл этого выражения определяется вычислением обеих сторон в произвольной точке p : в правой части сумма определяется « поточечно », так что

${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$

Применяя обе части к e _j , результат с каждой стороны будет j- й частной производной f в p . Поскольку p и j были произвольными, это доказывает формулу (*) .

В более общем смысле, для любых гладких функций g _i и h _i на U определим дифференциальную 1 -форму α = ∑ _i g _i dh _i поточечно следующим образом:

${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$

для каждого р ∈ U . Таким образом возникает любая дифференциальная 1 -форма, и из (*) следует, что любая дифференциальная 1 -форма α на U может быть выражена в координатах как

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$

для некоторых гладких функций F _I на U .

Вторая идея, ведущая к дифференциальным формам, возникает из следующего вопроса: если дана дифференциальная 1 -форма α на U , когда существует функция f на U такая, что α = df ? Приведенное выше разложение сводит этот вопрос к поиску функции f , частные производные которой ∂ f / ∂ x ⁱ равны n заданным функциям f _i . При n > 1 такая функция не всегда существует: любая гладкая функция f удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$

так что найти такое f, если

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$

для всех i и j .

Кососимметричность левой стороны в I и J предлагает ввести антисимметричную продукт ∧ на дифференциальных 1 -формы, то внешний продукт , так что эти уравнения могут быть объединены в одно условие

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$

где ∧ определяется так, что:

${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$

Это пример дифференциальной 2-формы . Этот 2 -форма называется внешней производной dα из α = Σ^п
_{j = 1} f _j dx ^j . Это дается

${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Подводя итог: dα = 0 является необходимым условием существования функции f с α = df .

Дифференциальные 0 -формы, 1 -формы и 2 -формы являются частными случаями дифференциальных форм. Для каждого k существует пространство дифференциальных k -форм, которые можно выразить через координаты как

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

для набора функций f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k} . Антисимметрия, которая уже присутствовала для 2 -форм, позволяет ограничить сумму теми наборами индексов, для которых i ₁ < i ₂ <... < i _{k −1} < i _k .

Дифференциальные формы могут быть умножены вместе , используя внешний продукт, и для любого дифференциального к -форма α , существует дифференциальный ( к + 1) -форма dα называется внешняя производная альфа .

Дифференциальные формы, внешний продукт и внешняя производная не зависят от выбора координат. Следовательно, они могут быть определены на любом гладком многообразии M . Один из способов сделать это покрытие M с координатой диаграммы и определить дифференциал к -форма на M быть семейство дифференциальных K -формы на каждой диаграмме, согласующихся на наложений. Однако есть более внутренние определения, которые демонстрируют независимость координат.

Внутренние определения [ править ]

Пусть M - гладкое многообразие . Гладкое дифференциальная форма степени к является гладким участком на к - й внешней степени из кокасательного расслоения на М . Множество всех дифференциальных k -форм на многообразии M является векторным пространством , часто обозначаемым Ω ^k ( M ) .

Определение дифференциальной формы можно переформулировать следующим образом. В любой точке р ∈ M , A к -форма β определяет элемент

${\displaystyle \beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$

где T _p M - касательное пространство к M в точке p, а T _p ^* M - его сопряженное пространство . Это пространство естественно изоморфно волокна при р двойственного расслоения к - й внешней степени касательного расслоения на М . То есть β также является линейным функционалом , т.е. двойник k- й внешней степени изоморфен k- й внешней степени двойственности:${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}$

По универсальному свойству внешних степеней это эквивалентно чередующемуся полилинейному отображению :

${\displaystyle \beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .}$

Следовательно, дифференциальный к -формы может быть оценена в отношении любого K -кратного касательных векторов к одной и той же точке р из М . Например, дифференциальный 1 -форма α присваивает каждой точке р Е М линейный функционал α _р на Т _р М . При наличии внутреннего произведения на T _p M (индуцированного римановой метрикой на M ) α _p может быть представленкак внутреннее произведение с касательным вектором X _p . Дифференциальные 1 -формы иногда называют ковариантными векторными полями , ковекторными полями или «дуальными векторными полями», особенно в физике.

Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью отображения чередования. Карта чередования определяется как отображение

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Для тензора в точке р ,

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),}$

где S _k - симметрическая группа на k элементах. Отображение альтернирования постоянно на смежных классах идеала в тензорной алгебре, порожденной симметричными 2-формами, и поэтому спускается до вложения

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Это отображение показывает β как полностью антисимметричное ковариантное тензорное поле ранга k . Дифференциальные формы на M находятся во взаимно однозначном соответствии с такими тензорными полями.

Операции [ править ]

Помимо сложения и умножения с помощью скалярных операций, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных для дифференциальных форм. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы по векторному полю и ковариантная производная дифференциальной формы по векторному полю на многообразии с заданной связностью.

Внешний продукт [ править ]

Внешнее произведение k -формы α и ℓ -формы β , обозначенное α ∧ β , является ( k + ℓ ) -формой. В каждой точке p многообразия M формы α и β являются элементами внешней степени кокасательного пространства в p . Когда внешняя алгебра рассматривается как фактор тензорной алгебры, внешнее произведение соответствует тензорному произведению (по модулю отношения эквивалентности, определяющего внешнюю алгебру).

Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он является альтернированным. Однако, когда внешняя алгебра вложила подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не является альтернированным. Существует явная формула, описывающая внешний вид продукта в этой ситуации. Внешний вид продукта

${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Это описание полезно для явных вычислений. Например, если k = ℓ = 1 , то α ∧ β - это 2- форма, значение которой в точке p является переменной билинейной формой, определяемой формулой

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$

для V , ш ∈ T _р M .

Внешнее произведение билинейно: если α , β и γ - любые дифференциальные формы, и если f - любая гладкая функция, то

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$

Она косо коммутативна (также известна как градуированная коммутативная ), что означает, что она удовлетворяет варианту антикоммутативности , зависящему от степеней форм: если α является k -формой, а β является form- формой, то

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$

Риманово многообразие [ править ]

На римановом многообразии или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии метрика определяет послойный изоморфизм касательного и кокасательного расслоений. Это позволяет преобразовывать векторные поля в ковекторные поля и наоборот. Это также позволяет определять дополнительные операции, такие как оператор звезды Ходжа и кодифференциал , который имеет степень -1 и присоединен к внешнему дифференциалу d .${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$

Структуры векторного поля [ править ]

На псевдоримановом многообразии 1 -формы можно отождествить с векторными полями; векторные поля имеют дополнительные различные алгебраические структуры, которые перечислены здесь для контекста и во избежание путаницы.

Во-первых, каждое (ко) касательное пространство порождает алгебру Клиффорда , где произведение (ко) вектора с самим собой задается значением квадратичной формы - в данном случае естественной формы, индуцированной метрикой . Эта алгебра отличается от внешней алгебры дифференциальных форм, которую можно рассматривать как алгебру Клиффорда, в которой квадратичная форма равна нулю (поскольку внешнее произведение любого вектора на себя равно нулю). Таким образом, алгебры Клиффорда являются неантикоммутативными («квантовыми») деформациями внешней алгебры. Их изучают по геометрической алгебре .

Другая альтернатива - рассматривать векторные поля как производные. (Некоммутативная) алгебра дифференциальных операторов, которые они порождают, является алгеброй Вейля и представляет собой некоммутативную («квантовую») деформацию симметрической алгебры в векторных полях.

Внешний дифференциальный комплекс [ править ]

Одним из важных свойств внешней производной является то, что d ² = 0 . Это означает, что внешняя производная определяет коцепной комплекс :

${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$

Этот комплекс называется комплексом де Рама, и его когомологией является по определению когомологий де Рама из М . По лемме Пуанкаре комплекс де Рама локально точен, за исключением точки Ω ⁰ ( M ) . Ядро в Q , ⁰ ( М ) есть пространство локально постоянных функций на M . Таким образом, комплекс является резольвентой постоянного сноп R , который , в свою очередь , предполагает форму теоремы де Рама: когомологий де Рама вычисляет пучок когомологий из R.

Откат [ править ]

Предположим, что f  : M → N гладкое. Дифференциал F является гладким отображением DF  : ТМ → TN между касательными пучками M и N . Это отображение также обозначается f _∗ и называется pushforward . Для любой точки p ∈ M и любого v ∈ T _p M существует корректно определенный прямой вектор f _∗ ( v ) в T _{f ( p)} Н . Однако этого нельзя сказать о векторном поле. Если е не инъективны, скажемизза кв ∈ N имеет два или более прообразы, то векторное поле может определить два или более различных векторов в Т _д N . Если f не сюръективен, тогда будет точка q ∈ N, в которой f _∗ вообще не определяет никакого касательного вектора. Поскольку векторное поле на N по определению определяет уникальный касательный вектор в каждой точке N , прямое движение векторного поля не всегда существует.

Напротив, всегда можно отказаться от дифференциальной формы. Дифференциальную форму на N можно рассматривать как линейный функционал на каждом касательном пространстве. Precomposing этого функционала с дифференциальным ДФОМ  : ТМ → TN определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве М и , следовательно , в дифференциальной форме на М . Существование откатов - одна из ключевых особенностей теории дифференциальных форм. Это приводит к существованию обратных отображений в других ситуациях, таких как гомоморфизмы обратного вызова в когомологиях де Рама.

Формально, пусть F  : M → N быть гладким, и пусть ω гладкая к -форма на N . Тогда существует дифференциальная форма е ^* ш на М , называется откат от со , который фиксирует поведение со , как видно по отношению к е . Чтобы определить обратный ход, зафиксируйте точку p на M и касательные векторы v ₁ , ..., v _k к M в точке p . Откат ω определяется формулой

${\displaystyle (f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).}$

Есть несколько более абстрактных способов взглянуть на это определение. Если ω является 1 -форма на N , то это может рассматриваться как сечение кокасательного расслоения T ^* N на N . Используя ^* для обозначения двойной карты, двойной дифференциалу F является ( DF ) ^*  : Т ^* N → Т ^* М . Откат ω можно определить как составную

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}$

Это сечение кокасательного расслоения М и , следовательно , дифференциальной 1 -форма на М . В полной общности, пусть обозначает k- ю внешнюю степень двойственного отображения в дифференциал. Тогда обратным образом k -формы ω будет композиция${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}$

Другой абстрактный способ рассмотрения отката заключается в рассмотрении k -формы ω как линейного функционала на касательных пространствах. С этой точки зрения ω является морфизмом векторных расслоений

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,}$

где N × R является тривиальным ранг один пучок на N . Составная карта

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }$

определяет линейный функционал на каждом касательном пространстве М , и , следовательно, через факторы тривиального расслоения М × R . Определенный таким образом морфизм векторного расслоения есть f ^∗ ω .${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

Pullback учитывает все основные операции с формами. Если ω и η - формы, а c - действительное число, то

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}}$

Откат формы также можно записать в координатах. Предположим, что x ¹ , ..., x ^m - координаты на M , y ¹ , ..., y ⁿ - координаты на N , и что эти системы координат связаны формулами y ⁱ = f _i ( x ¹ , ..., x ^m ) для всех i . Локально на N , ω можно записать в виде

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},}$

где для каждого выбора i ₁ , ..., i _k , ω _{i 1 ⋅⋅⋅ i k} - вещественная функция от y ¹ , ..., y ⁿ . Используя линейность отката и его совместимость с внешним продуктом, откат ω имеет формулу

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.}$

Каждую внешнюю производную df _i можно разложить на dx ¹ , ..., dx ^m . Полученную k -форму можно записать с помощью якобиановых матриц:

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.}$

Здесь, обозначает определитель матрицы, элементы которой являются , .${\displaystyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$${\displaystyle 1\leq m,n\leq k}$

Интеграция [ править ]

Дифференциальная k -форма интегрируется по ориентированному k -мерному многообразию. Когда k -форма определена на n -мерном многообразии с n > k , то k -форма интегрируется по ориентированным k -мерным подмногообразиям. Если k = 0 , интегрирование по ориентированным 0-мерным подмногообразиям является просто суммированием подынтегральной функции, вычисленной в точках, с учетом ориентации этих точек. Другие значения k = 1, 2, 3, ...соответствуют линейным интегралам, поверхностным интегралам, объемным интегралам и т. д. Существует несколько эквивалентных способов формального определения интеграла от дифференциальной формы, все из которых зависят от сведения к случаю евклидова пространства.

Интеграция в евклидовом пространстве [ править ]

Пусть U - открытое подмножество R ⁿ . Придайте R ⁿ его стандартную ориентацию и U - ограничение этой ориентации. Каждая гладкая n -форма ω на U имеет вид

${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

для некоторой гладкой функции F  : R ^п → R . Такая функция имеет интеграл в обычном смысле Римана или Лебега. Это позволяет нам определить интеграл от ω как интеграл от f :

${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

Чтобы это было четко определено, необходимо зафиксировать ориентацию. Кососимметрия дифференциальных форм означает, что интеграл, скажем, от dx ¹ ∧ dx ² должен быть отрицательным от интеграла от dx ² ∧ dx ¹ . Интегралы Римана и Лебега не видят этой зависимости от порядка координат, поэтому они оставляют знак интеграла неопределенным. Ориентация разрешает эту двусмысленность.

Интеграция по цепочкам [ править ]

Пусть M быть п -многообразием и ш к п -форма на М . Во-первых, предположим, что существует параметризация M открытым подмножеством евклидова пространства. То есть предположим, что существует диффеоморфизм

${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$

где D ⊆ R ⁿ . Зададим M ориентацию, индуцированную φ . Тогда ( Рудин 1976 ) определяет интеграл со над M быть интегралом ф ^{* &} omega над D . В координатах это имеет следующее выражение. Зафиксируем карту на M с координатами x ¹ , ..., x ⁿ . потом

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Предположим, что φ определяется формулой

${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{n}({\mathbf {u} })).}$

Тогда интеграл в координатах можно записать как

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$

куда

${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$

- определитель якобиана . Якобиан существует потому, что φ дифференцируем.

В общем случае n -многообразие не может быть параметризовано открытым подмножеством R ⁿ . Но такая параметризация всегда возможна локально, поэтому можно определять интегралы по произвольным многообразиям, определяя их как суммы интегралов по совокупностям локальных параметризаций. Более того, также возможно определить параметризации k -мерных подмножеств для k < n , что позволяет определять интегралы k -форм. Чтобы сделать это точным, удобно зафиксировать стандартную область D в R ^k , обычно куб или симплекс. A k - цепьформальная сумма гладких вложений D → M . То есть это набор гладких вложений, каждому из которых присвоена целая кратность. Каждое гладкое вложение определяет к - мерное подмногообразие М . Если цепь

${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$

тогда интеграл k -формы ω по c определяется как сумма интегралов по членам c :

${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$

Такой подход к определению интеграции не присваивает прямой смысл интеграции по всему многообразию М . Тем не менее, все еще возможно придать такой смысл косвенно, потому что каждое гладкое многообразие может быть гладко триангулировано по существу уникальным способом, и интеграл по M может быть определен как интеграл по цепи, определяемой триангуляцией.

Интеграция с использованием разделов единства [ править ]

Существует другой подход, изложен в ( Дьёдонне 1972 ) , который не непосредственно присваивает значение для интегрирования по М , но этот подход требует фиксации ориентации M . Интеграл n -формы ω на n -мерном многообразии определяется работой в картах. Предположим сначала, что ω имеет носитель на одной положительно ориентированной карте. На этой диаграмме его можно вернуть в n -форму на открытом подмножестве R ⁿ harv error: no target: CITEREFDieudonne1972 (help). Здесь форма, как и раньше, имеет хорошо определенный интеграл Римана или Лебега. Формула замены переменных и предположение, что диаграмма положительно ориентирована, вместе гарантируют, что интеграл от ω не зависит от выбранной карты. В общем случае используйте разбиение единицы, чтобы записать ω как сумму n -форм, каждая из которых поддерживается в одной положительно ориентированной карте, и определите интеграл от ω как сумму интегралов каждого члена в разделение единства.

Также возможно интегрировать k -формы на ориентированных k -мерных подмногообразиях, используя этот более внутренний подход. Форма возвращается на подмногообразие, где интеграл, как и раньше, определяется с помощью диаграмм. Например, для данного пути γ ( t ): [0, 1] → R ² интегрирование 1 -формы на пути просто переводит форму обратно в форму f ( t )  dt на [0, 1] , и этот интеграл является интегралом функции f ( t ) на отрезке.

Интеграция по волокнам [ править ]

Теорема Фубини утверждает, что интеграл по множеству, которое является продуктом, может быть вычислен как повторный интеграл по двум факторам в продукте. Это предполагает, что интеграл дифференциальной формы по продукту также должен быть вычислим как повторный интеграл. Геометрическая гибкость дифференциальных форм гарантирует, что это возможно не только для продуктов, но и в более общих ситуациях. При некоторых гипотезах возможно интегрирование вдоль слоев гладкого отображения, и аналог теоремы Фубини - это случай, когда это отображение является проекцией произведения на один из его факторов.

Поскольку интегрирование дифференциальной формы по подмногообразию требует фиксации ориентации, предварительным условием интегрирования вдоль волокон является наличие четко определенной ориентации на этих волокнах. Пусть M и N - два ориентируемых многообразия чистых размерностей m и n соответственно. Предположим, что f  : M → N - сюръективная субмерсия. Это означает , что каждое волокно F ^-1 ( у ) является ( т - п ) -мерным и что, вокруг каждой точки М , есть диаграмма , на которой Fвыглядит как проекция продукта на один из его факторов. Зафиксируем x ∈ M и положим y = f ( x ) . Предположим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$

и что η _y не обращается в нуль. Следуя ( Dieudonne, 1972 ) , существует уникальная harv error: no target: CITEREFDieudonne1972 (help)

${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$

которую можно представить как фибральную часть ω _x относительно η _y . Точнее, определим j  : f ⁻¹ ( y ) → M как включение. Тогда σ _x определяется тем свойством, что

${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$

куда

${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$

- любой ( m - n ) -ковектор, для которого

${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$

Форма σ _x также может быть обозначена как ω _x / η _y .

Кроме того, при фиксированном у , σ _х плавно меняется относительно х . То есть предположим, что

${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$

- гладкий участок карты проекции; мы говорим, что ω - гладкая дифференциальная m -форма на M вдоль f ⁻¹ ( y ) . Тогда существует гладкая дифференциала ( т - п ) -форма σ на F ^-1 ( у ) таким образом , что при каждом х Е ф ^-1 ( у ) ,

${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$

Эта форма обозначается ω / η _y . Та же конструкция работает, если ω является m -формой в окрестности слоя, и используются те же обозначения. Как следствие, каждый слой f ⁻¹ ( y ) ориентируем. В частности, выбор форм ориентации на M и N определяет ориентацию каждого слоя f .

Аналог теоремы Фубини следующий. Как и раньше, M и N - два ориентируемых многообразия чистых размерностей m и n , а f  : M → N - сюръективная субмерсия. Зафиксируем ориентации M и N и придадим каждому слою f индуцированную ориентацию. Пусть θ быть м -форма на М , и пусть ζ быть п -форма на N , что почти всюду положительна по отношению к ориентации N . Затем почти на каждыйy ∈ N , форма θ / ζ _y является корректно определенной интегрируемойформой m - n на f ⁻¹ ( y ) . Более того,на N существует интегрируемая n -форма,определяемая равенством

${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\theta /\zeta _{y}{\bigg )}\,\zeta _{y}.}$

Обозначим эту форму через

${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\theta /\zeta {\bigg )}\,\zeta .}$

Затем ( Dieudonne 1972 ) доказывает обобщенную формулу Фубини harv error: no target: CITEREFDieudonne1972 (help)

${\displaystyle \int _{M}\theta =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\theta /\zeta {\bigg )}\,\zeta .}$

Также возможно объединение форм других степеней вдоль волокон погружения. Предположим , одни и те же гипотезы , как и раньше, и пусть α с компактным носителем ( т - п + K ) -форма на М . Тогда существует k -форма γ на N, которая является результатом интегрирования α по слоям f . Форма α определяется указанием для каждого y ∈ N того , как α сопоставляется с каждым k -вектором v в точке y, А значение этого спаривания представляет собой интеграл по F ^-1 ( у ) , которое зависит только от & alpha ; , V , и ориентаций М и N . Точнее, при каждом y ∈ N существует изоморфизм

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{m-k}T_{y}^{*}N}$

определяется предметом интерьера

${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y}.}$

Если x ∈ f ⁻¹ ( y ) , то k -вектор v в точке y определяет ( m - k ) -ковектор в точке x путем возврата :

${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{m-k}T_{x}^{*}M.}$

Каждый из этих ковекторов имеет внешнее произведение относительно α , поэтому существует ( m - n ) -форма β _v на M вдоль f ⁻¹ ( y ), определяемая формулой

${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$

Эта форма зависит от ориентации N, но не от выбора ζ . Тогда k -форма γ однозначно определяется свойством

${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} }(x),}$

а γ гладкая ( Dieudonne, 1972 ) . Эта форма также обозначается α ^♭ и называется интегралом от α по слоям f . Интегрирование по слоям важно для построения отображений Гизена в когомологиях де Рама. harv error: no target: CITEREFDieudonne1972 (help)

Интегрирование вдоль волокон удовлетворяет формуле проекции ( Dieudonne, 1972 ) . Если λ - любая ℓ- форма на N , то harv error: no target: CITEREFDieudonne1972 (help)

${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$

Теорема Стокса [ править ]

Фундаментальное соотношение между внешней производной и интеграцией даются теоремой Стокса : Если ω является ( п - 1 ) -формы с компактным носителем на М и оМ обозначает границу из M с индуцированной ориентацией , то

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Ключевым следствием этого является то, что «интеграл замкнутой формы по гомологичным цепям равен»: если ω является замкнутой k -формой, а M и N являются k -цепями, которые гомологичны (такие, что M - N является границей a ( k + 1) -цепь W ), то , поскольку разность является интегралом .${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$

Например, если ω = df является производной потенциальной функции на плоскости или R ⁿ , то интеграл ω по пути от a до b не зависит от выбора пути (интеграл равен f ( b ) - f ( a ) ), поскольку разные пути с заданными конечными точками гомотопны , следовательно, гомологичны (более слабое условие). Этот случай называется градиентной теоремой и обобщает основную теорему исчисления . Эта независимость пути очень полезна при интеграции контуров .

Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей.

Связь с мерами [ править ]

На общем дифференцируемом многообразии (без дополнительной структуры) дифференциальные формы не могут быть интегрированы по подмножествам многообразия; это различие является ключом к различию между дифференциальными формами, которые интегрируются по цепочкам или ориентированным подмногообразиям, и мерами, которые интегрируются по подмножествам. Самый простой пример - попытка интегрировать 1 -форму dx на интервале [0, 1] . Предполагая обычное расстояние (и, следовательно, меру) на действительной прямой, этот интеграл равен 1 или -1 , в зависимости от ориентации:, а . Напротив, интеграл от меры | dx${\displaystyle \textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}}$${\displaystyle \textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}}$ | на интервале однозначно равно 1 (т. е. интеграл от постоянной функции 1 по этой мере равен 1 ). Аналогично, при изменении координат дифференциальная n -форма изменяется на определитель Якоби J , а мера изменяется на абсолютное значение определителя Якоби | J | , что еще больше отражает проблему ориентации. Например, при отображении x ↦ - x на прямой дифференциальная форма dx возвращается к - dx ; ориентация изменилась; в то время какМера Лебега , которую мы здесь обозначаем | dx | , откатывается к | dx | ; это не меняется.

При наличии дополнительных данных ориентации можно интегрировать n -формы (формы верхней размерности) по всему многообразию или по компактным подмножествам; интегрирование по всему многообразию соответствует интегрированию формы по фундаментальному классу многообразия [ M ] . Формально при наличии ориентации можно отождествлять n -формы с плотностями на многообразии ; плотности, в свою очередь, определяют меру и, таким образом, могут быть интегрированы ( Folland 1999 , раздел 11.4, стр. 361–362).

На ориентируемом, но не ориентированном многообразии есть два варианта ориентации; любой выбор позволяет интегрировать n -формы по компактным подмножествам, причем эти два варианта отличаются знаком. На неориентируемом многообразии n -формы и плотности не могут быть идентифицированы - примечательно, что любая многомерная форма должна где-то исчезнуть ( на неориентируемых многообразиях нет объемных форм ), но есть нигде не исчезающие плотности - таким образом, пока можно интегрировать плотности по компактным подмножествам, нельзя интегрировать n -формы. Вместо этого можно отождествлять плотности с псевдоформами высшей размерности .

Даже при наличии ориентации, как правило, нет значимого способа интегрировать k -формы по подмножествам для k < n, потому что не существует последовательного способа использования внешней ориентации для ориентации k -мерных подмножеств. Геометрически k -мерное подмножество может быть развернуто на месте, давая такое же подмножество с противоположной ориентацией; например, горизонтальная ось на плоскости может быть повернута на 180 градусов. Сравните определитель Грама набора из k векторов в n -мерном пространстве, который, в отличие от определителя nвекторов всегда положительна и соответствует квадрату числа. Поэтому ориентация k -подмногообразия - это дополнительные данные, которые нельзя получить из объемлющего многообразия.

На римановом многообразии можно определить k -мерную меру Хаусдорфа для любого k (целого или действительного), которую можно проинтегрировать по k -мерным подмножествам многообразия. Затем функция, умноженная на эту меру Хаусдорфа, может быть проинтегрирована по k -мерным подмножествам, что дает теоретико-мерный аналог интегрирования k -форм. П мерная мера Хаусдорфа дает плотность, как указано выше.

Течения [ править ]

Дифференциальный аналог распределения или обобщенной функции называется током . Пространство k -токов на M является пространством, сопряженным с подходящим пространством дифференциальных k -форм. Токи играют роль обобщенных областей интеграции, подобных цепям, но даже более гибких.

Приложения в физике [ править ]

Дифференциальные формы возникают в некоторых важных физических контекстах. Например, в теории Максвелла электромагнетизма , в Фарадей 2-форме , или напряженности электромагнитного поля , является

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,}$

где f _ab формируются из электромагнитных полей и ; например, f ₁₂ = E _z / c , f ₂₃ = - B _z или эквивалентные определения.${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

Эта форма является частным случаем формы кривизны на главном расслоении U (1), на котором могут быть описаны как электромагнетизм, так и общие калибровочные теории . Форма связи для основного расслоения - это векторный потенциал, обычно обозначаемый A , когда он представлен в некоторой калибровке. Тогда есть

${\displaystyle {\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.}$

Тока 3 -форма является

${\displaystyle {\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,}$

где j ^a - четыре составляющих плотности тока. (Здесь принято писать F _ab вместо f _ab , т.е. использовать заглавные буквы, и писать J ^a вместо j ^a . Однако компоненты тензора вектора rsp. И вышеупомянутые формы имеют разные физические Кроме того, по решению международной комиссии Международного союза теоретической и прикладной физики вектор магнитной поляризации уже несколько десятилетий называется , а некоторыми издателями J , т.е. одно и то же название используется для разных величин.)${\displaystyle {\vec {J}}}$

Используя вышеупомянутые определения, уравнения Максвелла могут быть записаны очень компактно в геометрических единицах как

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}}$

где обозначает звездный оператор Ходжа . Подобные соображения описывают геометрию калибровочных теорий в целом.${\displaystyle \star }$

2 -форма , который является двойной форме Фарадея, также называется Максвелл 2-форма .${\displaystyle {\star }\mathbf {F} }$

Электромагнетизм является примером калибровочной теории U (1) . Здесь группа Ли - это U (1) , одномерная унитарная группа , которая, в частности, является абелевой . Существуют калибровочные теории, такие как теория Янга – Миллса , в которых группа Ли не абелева. В этом случае получаются отношения, аналогичные описанным здесь. Аналогом поля F в таких теориях является форма кривизны связности, которая представлена ​​в калибровке однозначной формой A со значениями алгебры Ли . Поле Янга – Миллса F определяется формулой

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

В абелевом случае, таком как электромагнетизм, A ∧ A = 0 , но в общем случае это неверно. Точно так же уравнения поля модифицируются дополнительными членами, включающими внешние произведения A и F , благодаря структурным уравнениям калибровочной группы.

Приложения в геометрической теории меры [ править ]

Многочисленные результаты о минимальности для комплексных аналитических многообразий основаны на неравенстве Виртингера для 2-форм . Краткое доказательство можно найти в классическом тексте Герберта Федерера « Теория геометрической меры» . Неравенство Виртингера также является ключевым элементом неравенства Громова для комплексного проективного пространства в систолической геометрии .

См. Также [ править ]

• Замкнутые и точные дифференциальные формы
• Комплексная дифференциальная форма
• Векторная дифференциальная форма
• Эквивариантная дифференциальная форма
• Исчисление на многообразиях
• Многолинейная форма
• Полиномиальная дифференциальная форма

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бахман, Дэвид (2006), Геометрический подход к дифференциальным формам , Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4499-4
• Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам , arXiv : math / 0306194v1 , Bibcode : 2003math ...... 6194B
• Картан, Анри (2006), Дифференциальные формы , Дувр, ISBN 0-486-45010-4—Перевод Formes différentielles (1967)
• Дьедонне, Жан (1972), Трактат по анализу , 3 , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, Inc., MR  0350769
• Эдвардс, Гарольд М. (1994), Advanced Calculus; Подход дифференциальных форм , Бостон, Базель, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-0-8176-8412-9 , ISBN 978-0-8176-8411-2
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их приложения (второе изд.), ISBN 978-0-471-31716-6, дает краткое обсуждение интегрирования на многообразиях с точки зрения теории меры в последнем разделе.
• Flanders, Harley (1989) [1964], Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
• Флеминг, Венделл Х. (1965), "Глава 6: Внешняя алгебра и дифференциальное исчисление", Функции нескольких переменных , Addison-Wesley, стр. 205–238. Этот учебник по многомерному исчислению знакомит с внешней алгеброй дифференциальных форм на уровне колледжа.
• Морита, Шигеюки (2001), Геометрия дифференциальных форм , AMS, ISBN 0-8218-1045-6
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Менло-Парк, Калифорния: В. А. Бенджамин, ISBN 0-8053-9021-9, стандартный вводный текст
• Ту, Лоринг В. (2008), Введение в многообразия , Universitext, Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-7400-6 , ISBN 978-0-387-48098-5
• Зорич, Владимир А. (2004), Математический анализ II , Springer, ISBN 3-540-40633-6

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальная форма» . MathWorld .
• Sjamaar, Reyer (2006), Конспекты лекций по многообразиям и дифференциальным формам, курс, преподаваемый в Корнельском университете .
• Бахман, Дэвид (2003), Геометрический подход к дифференциальным формам , arXiv : math / 0306194 , Bibcode : 2003math ...... 6194B, бакалавриат текст.
• Джонс, Франк, Интегрирование на многообразиях (PDF)