Поверхностный интеграл

В математике , особенно многомерном исчислении , поверхностный интеграл - это обобщение множественных интегралов для интегрирования по поверхностям . Его можно рассматривать как двойной интегральный аналог линейного интеграла . Для данной поверхности можно интегрировать скалярное поле (то есть функцию положения, которая возвращает скаляр как значение) по поверхности или векторное поле (то есть функцию, которая возвращает вектор как значение). Если область R не плоская, то она называется поверхностью. как показано на рисунке.

Поверхностные интегралы имеют приложения в физике , особенно в теориях классического электромагнетизма .

Поверхностные интегралы скалярных полей [ править ]

Чтобы найти явную формулу для поверхностного интеграла по поверхности S , нам нужно параметризовать S , задав систему криволинейных координат на S , таких как широта и долгота на сфере . Пусть такой параметризацией будет x ( s , t ) , где ( s , t ) изменяется в некоторой области T на плоскости . Тогда поверхностный интеграл определяется выражением

${\ Displaystyle \ iint _ {S} е \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} f (\ mathbf {x} (s, t)) \ left \ | {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t} \ right \ | \ mathrm {d} s \, \ mathrm {d} t}$

где выражение между решетками на правой стороне представляет собой величина от перекрестного продукта из частных производных от й ( з , т ) , и известно как поверхностный элемент . Поверхностный интеграл также можно выразить в эквивалентной форме

${\ Displaystyle \ iint _ {S} е \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} f (\ mathbf {x} (s, t)) {\ sqrt {g}} \, \ mathrm { d} s \, \ mathrm {d} t}$

где g - определитель первой фундаментальной формы отображения поверхности x ( s , t ) . ^{[1] [2]}

Например, если мы хотим найти площадь поверхности графика некоторой скалярной функции, скажем, z = f ( x , y ) , мы имеем

${\ Displaystyle A = \ iint _ {S} \, \ mathrm {d} S = \ iint _ {T} \ left \ | {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial x} \ times {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial y} \ right \ | \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$

где r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y )) . Так что , и . Так,${\ Displaystyle {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial x} = (1,0, f_ {x} (x, y))}$${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

что является стандартной формулой для площади поверхности, описанной таким образом. Можно распознать вектор во второй последней строке выше как вектор нормали к поверхности.

Обратите внимание, что из-за наличия перекрестного произведения приведенные выше формулы работают только для поверхностей, встроенных в трехмерное пространство.

Это можно рассматривать как интегрирование римановой формы объема на параметризованной поверхности, где метрический тензор задается первой фундаментальной формой поверхности.

Поверхностные интегралы векторных полей [ править ]

Поверхность разделена на небольшие участки с помощью параметризации поверхности${\displaystyle dS=dudv}$

Поток через каждый участок равен нормальной (перпендикулярной) составляющей поля в месте расположения пятна, умноженной на площадь . Нормальная составляющая равна скалярное произведение из с единичным вектором нормали (синие стрелки)${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle dS}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$

Полный поток через поверхность определяется путем суммирования для каждого участка. В пределе, когда пятна становятся бесконечно малыми, это поверхностный интеграл${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$
${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {F\cdot n}}\;dS}$

Рассмотрим векторное поле V на поверхности S , то есть, для каждого х в S , V ( х ) представляет собой вектор.

Поверхностный интеграл может быть определен покомпонентно согласно определению поверхностного интеграла скалярного поля; результат - вектор. Это применимо, например, к выражению электрического поля в некоторой фиксированной точке из-за электрически заряженной поверхности или силы тяжести в некоторой фиксированной точке из-за листа материала.

В качестве альтернативы, если мы интегрируем нормальную составляющую векторного поля по поверхности, результатом будет скаляр, обычно называемый потоком, проходящим через поверхность. Представьте себе, что у нас есть жидкость, текущая через S , так что v ( x ) определяет скорость жидкости в точке x . Поток определяется как количество жидкости , протекающей через S в единицу времени.

Эта иллюстрация подразумевает , что если векторное поле является касательной к S в каждой точке, то поток равен нулю , так как жидкость просто течет в параллель к S , и ни один , ни. Это также означает, что если v не просто течет вдоль S , то есть если v имеет как тангенциальную, так и нормальную составляющие, то только нормальная составляющая вносит вклад в поток. Исходя из этих рассуждений, чтобы найти поток, мы должны взять на себя скалярное произведение на V с единичной нормали к поверхности п к Sв каждой точке, что даст нам скалярное поле, и проинтегрируем полученное поле, как указано выше. Находим формулу

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {S} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} S\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot {\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right) \over \left\|\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\right\|}\right)\left\|\left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Перекрестное произведение в правой части этого выражения представляет собой (не обязательно единичную) нормаль к поверхности, определяемую параметризацией.

Эта формула определяет интеграл слева (обратите внимание на точку и векторные обозначения для элемента поверхности).

Мы также можем интерпретировать это как частный случай интегрирования 2-форм, когда мы отождествляем векторное поле с 1-формой, а затем интегрируем его двойственное по Ходжу по поверхности. Это эквивалентно интегрированию по погруженной поверхности, где - индуцированная форма объема на поверхности, полученная внутренним умножением римановой метрики объемлющего пространства на внешнюю нормаль поверхности.${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \rangle \;\mathrm {d} S}$${\displaystyle \mathrm {d} S}$

Поверхностные интегралы дифференциальных 2-форм [ править ]

Позволять

${\displaystyle f=f_{z}\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+f_{x}\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}$

- дифференциальная 2-форма, определенная на поверхности S , и пусть

${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}$

быть сохраняющей ориентацией параметризации S с в D . Меняя координаты с на , дифференциальные формы преобразуются как${\displaystyle (s,t)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (s,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Таким образом , переходит в , где обозначает определитель из якобиана функции перехода от к . Трансформации других форм аналогичны.${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} t}$${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$${\displaystyle (s,t)}$${\displaystyle (x,y)}$

Тогда поверхностный интеграл f на S определяется выражением

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

куда

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

элемент поверхности нормали к S .

Отметим, что поверхностный интеграл этой 2-формы совпадает с поверхностным интегралом векторного поля, которое имеет в качестве компонентов , и .${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{z}}$

Теоремы о поверхностных интегралах [ править ]

Различные полезные результаты для поверхностных интегралов могут быть получены с использованием дифференциальной геометрии и векторного исчисления , такие как теорема о расходимости и ее обобщение, теорема Стокса .

Зависимость от параметризации [ править ]

Заметим , что мы определили поверхностный интеграл, используя параметризацию поверхности S . Мы знаем, что данная поверхность может иметь несколько параметризаций. Например, если мы переместим положения Северного полюса и Южного полюса на сфере, широта и долгота изменятся для всех точек на сфере. Тогда возникает естественный вопрос, зависит ли определение поверхностного интеграла от выбранной параметризации. Для интегралов от скалярных полей ответ на этот вопрос прост; значение поверхностного интеграла будет одинаковым независимо от того, какую параметризацию использовать.

Для интегралов векторных полей дело обстоит сложнее, потому что задействована нормаль к поверхности. Можно доказать, что при двух параметризациях одной и той же поверхности, нормали к которой направлены в одном направлении, можно получить одно и то же значение интеграла поверхности с обеими параметризациями. Если, однако, нормали для этих параметризаций направлены в противоположные стороны, значение поверхностного интеграла, полученного с использованием одной параметризации, является отрицательным по сравнению с значением, полученным с помощью другой параметризации. Отсюда следует, что для данной поверхности нам не нужно придерживаться какой-либо уникальной параметризации, но при интегрировании векторных полей нам нужно заранее решить, в каком направлении будет указывать нормаль, а затем выбрать любую параметризацию, совместимую с этим направлением.

Другая проблема заключается в том, что иногда поверхности не имеют параметризации, охватывающей всю поверхность. Тогда очевидное решение состоит в том, чтобы разделить эту поверхность на несколько частей, вычислить поверхностный интеграл для каждой части, а затем сложить их все. Это действительно так, но при интегрировании векторных полей нужно снова быть осторожным при выборе вектора, указывающего нормали для каждого фрагмента поверхности, чтобы при объединении частей результаты были согласованными. Для цилиндра это означает, что если мы решим, что для боковой области нормаль будет указывать из тела, то для верхней и нижней круглых частей нормаль также должна указывать за пределы тела.

Наконец, есть поверхности, которые не допускают нормалей к поверхности в каждой точке с согласованными результатами (например, лента Мёбиуса ). Если такая поверхность разделена на части, для каждой части выбрана параметризация и соответствующая нормаль к поверхности, а части снова собраны вместе, мы обнаружим, что векторы нормалей, исходящие от разных частей, невозможно согласовать. Это означает, что на некотором стыке между двумя частями у нас будут векторы нормалей, указывающие в противоположных направлениях. Такая поверхность называется неориентируемой , и на такой поверхности нельзя говорить об интегрировании векторных полей.

См. Также [ править ]

• Теорема расходимости
• Теорема Стокса
• Линейный интеграл
• Элемент объема
• Объемный интеграл
• Декартова система координат
• Элементы объема и площади поверхности в сферических системах координат
• Элементы объема и площади поверхности в цилиндрических системах координат
• Метод голштинской селедки

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Поверхностный интеграл - от MathWorld
• Поверхностный интеграл - теория и упражнения