Интеграл от обратных функций

В математике , интегралы от обратных функций могут быть вычислены с помощью формулы, выражающей первообразные обратной о наличии непрерывной и обратимой функции , с точки зрения и первообразная . Эта формула была опубликована в 1905 году Шарлем-Анжем Лезаном . ^[1]${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f}$

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть и два интервалов из . Предположим, что это непрерывная и обратимая функция. Из теоремы о промежуточном значении следует, что она строго монотонна . Следовательно, отображает интервалы в интервалы, так что это открытое отображение и, следовательно, гомеоморфизм. Поскольку и обратная функция непрерывна, они имеют первообразные по основной теореме исчисления .${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f: I_ {1} \ to I_ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}: I_ {2} \ to I_ {1}}$

Лайзант доказал, что если является первообразной , то первообразными являются:${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ int f ^ {- 1} (y) \, dy = yf ^ {- 1} (y) -F \ circ f ^ {- 1} (y) + C,}$

где - произвольное действительное число. Обратите внимание, что это не считается дифференцируемым.${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

В своей статье 1905 года Лайзан приводит три доказательства. Во- первых, при дополнительном условии , что является дифференцируемой , можно дифференцировать выше формулу, которая сразу же завершает доказательство. Его второе доказательство было геометрическим. Если и , теорему можно записать: ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f (а) = с}$${\ Displaystyle f (b) = d}$

${\ displaystyle \ int _ {c} ^ {d} f ^ {- 1} (y) \, dy + \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = bd-ac.}$

Рисунок справа - это доказательство этой формулы без слов . Лейсант не обсуждает гипотезы, необходимые для того, чтобы сделать это доказательство строгим, но это можно доказать, если только предположить, что оно строго монотонно (не обязательно непрерывно, не говоря уже о дифференцируемости). В этом случае, как и в Риману и тождество следует из взаимно однозначного соответствия между нижней / верхними суммами Дарба из и верхних / нижнего Дарбу суммы . ^{[2] [3]} Тогда первообразная версия теоремы следует из основной теоремы исчисления в случае, когда также предполагается непрерывность. Третье доказательство Лейсана использует дополнительную гипотезу, что${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$дифференцируема. Начнем с умножения и объединения обеих сторон. Правая часть вычисляется путем интегрирования по частям , и формула следует.${\ Displaystyle е ^ {- 1} (е (х)) = х}$${\ displaystyle f '(x)}$${\ Displaystyle xf (x) - \ textstyle \ int f (x) \, dx}$

Тем не менее, можно показать, что эта теорема верна, даже если она дифференцируема или недифференцируема: ^{[3] [4]} достаточно, например, использовать интеграл Стилтьеса в предыдущем рассуждении. С другой стороны, хотя общие монотонные функции дифференцируемы почти всюду, доказательство общей формулы не следует, если только она не является абсолютно непрерывной . ^[4]${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Также можно проверить, что для каждого in производная функции равна . ^{[ необходима цитата ]} Другими словами:${\ displaystyle y}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle y \ to yf ^ {- 1} (y) -F (f ^ {- 1} (y))}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$

${\ displaystyle \ forall x \ in I_ {1} \ quad \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) f (x + h) -xf (x) - \ left (F (x + h) -F (x) \ right)} {f (x + h) -f (x)}} = x.}$

Для этого достаточно применить теорему о среднем значении к между и , учитывая, что это монотонно.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x + h}$${\ displaystyle f}$

Примеры [ править ]

1. Предположим, что , следовательно, приведенная выше формула немедленно дает${\ Displaystyle е (х) = \ ехр (х)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y).}$
   ${\displaystyle \quad \int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-y+C.}$
2. Аналогично с и${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\arccos(y),}$
   ${\displaystyle \quad \int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.}$
3. С и${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y),}$
   ${\displaystyle \quad \int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln |\cos(\arctan(y))|+C.}$

История [ править ]

По- видимому, эта теорема интеграции была обнаружена впервые в 1905 году Чарльз Андж Лайзант , ^[1] , который «едва мог поверить , что эта теорема является новым», и выразил надежду на его использование будет отныне распространяться среди студентов и преподавателей. Этот результат был независимо опубликован в 1912 году итальянским инженером Альберто Каприлли в опуске под названием «Nuove formole d'integrazione». ^[5] Он был переоткрыт в 1955 году Паркером ^[6] и рядом математиков, последовавших за ним. ^[7] Тем не менее, все они предполагают , что е или е ^-1 является дифференцируемой . Общий вариант теоремы, Свободный от этого дополнительного предположения, был предложен Майкл Спивак в 1965 году, в качестве упражнения в исчислению , ^[2] и достаточно полное доказательство , следуя той же схеме была опубликована Эриком Ключа в 1994 году ^[3] Это доказательство опирается на само определение интеграла Дарбу и состоит в том, чтобы показать, что верхние суммы Дарбу функции f находятся в соответствии 1-1 с нижними суммами Дарбу функции f ⁻¹ . В 2013 году Майкл Бенсимхаун, оценив, что общая теорема еще недостаточно известна, дал два других доказательства: ^[4] Второе доказательство, основанное на интеграле Стилтьеса.и по его формулам интегрирования по частям и гомеоморфной замены переменных , является наиболее подходящим для установления более сложных формул.

Обобщение на голоморфные функции [ править ]

Приведенная выше теорема очевидным образом обобщается на голоморфные функции: Пусть и - два открытых и односвязных множества , и предположим, что это биголоморфизм . Тогда и имеют первообразные, а если является первообразной , то общей первообразной является${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.}$

Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, доказательство немедленно проводится комплексным дифференцированием.

См. Также [ править ]

• Интеграция по частям
• Превращение Лежандра
• Неравенство Юнга для продуктов

Ссылки [ править ]