Непрерывная функция

В математике , А непрерывная функция является функцией , которая не имеет каких - либо резких изменений значения , известные как разрывами . Точнее, функция является непрерывной, если можно гарантировать сколь угодно малые изменения ее выхода, ограничивая достаточно малыми изменениями ее вход. Если функция не непрерывна, она называется разрывной . Вплоть до XIX века математики в основном полагались на интуитивные представления о непрерывности, в течение которых были предприняты попытки, такие как определение эпсилон-дельта, чтобы формализовать его.

Непрерывность функций - одно из основных понятий топологии , которое в полной мере рассматривается ниже. Вводная часть этой статьи посвящена особому случаю, когда входы и выходы функций являются действительными числами . Более сильная форма непрерывности - это равномерная непрерывность . Кроме того, в этой статье обсуждается определение для более общего случая функций между двумя метрическими пространствами . В теории порядка , особенно в теории предметной области , рассматривается понятие непрерывности, известное как непрерывность Скотта . Существуют и другие формы преемственности, но они не обсуждаются в этой статье.

Например, функция H ( t ), обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t , будет считаться непрерывной. Напротив, функция M ( t ), обозначающая количество денег на банковском счете в момент времени t , будет считаться прерывистой, поскольку она «прыгает» в каждый момент времени, когда деньги вносятся или снимаются.

История [ править ]

Форма эпсилон-дельта-определения непрерывности была впервые дана Бернаром Больцано в 1817 году. Огюстен-Луи Коши определил непрерывность следующим образом: бесконечно малое приращение независимой переменной x всегда приводит к бесконечно малому изменению зависимой переменной y ( см., например, Cours d'Analyse , стр. 34). Коши определил бесконечно малые величины в терминах переменных величин, и его определение непрерывности близко соответствует определению бесконечно малых, используемому сегодня (см. Микропрерывность ). Формальное определение и различие между точечной непрерывностью и равномерной непрерывностью${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle е (х + \ альфа) -f (х)}$были впервые даны Больцано в 1830-х годах, но работа не была опубликована до 1930-х годов. Как Больцано, ^[1] Карл Вейерштрасс ^[2] отрицает непрерывность функции в точке с , если она не была определена в и с обеих сторон с , но Гурса ^[3] позволило функцию , чтобы определить только при и на одной стороне of c , а Камилла Джордана ^[4] допускала это, даже если функция была определена только в c . Все три из этих неэквивалентных определений точечной непрерывности все еще используются. ^[5] Эдуард Гейнепредставил первое опубликованное определение однородной непрерывности в 1872 году, но основал эти идеи на лекциях, прочитанных Петером Густавом Леженом Дирихле в 1854 году ^[6].

Реальные функции [ править ]

Определение [ править ]

Функция непрерывна в области , но не является непрерывной по области, потому что она не определена в${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ smallsetminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x = 0}$

Действительная функция , которая является функцией от действительных чисел до действительных чисел, может быть представлена в виде графика в декартовой плоскости ; такая функция является непрерывной, если, грубо говоря, график представляет собой единую непрерывную кривую , областью определения которой является вся вещественная линия. Ниже дается более математически строгое определение. ^[7]

Строгое определение непрерывности действительных функций обычно дается в первом курсе исчисления в терминах идеи предела . Во-первых, функция f с переменной x называется непрерывной в точке c на вещественной прямой, если предел f ( x ) , когда x приближается к этой точке c , равен значению f (c) ; во-вторых, функция (в целом) называется непрерывной , если она непрерывна в каждой точке. Функция называется разрывной (или имеющей разрыв) в какой-то момент, когда он там не непрерывен. Сами по себе эти точки также рассматриваются как разрывы .

Есть несколько различных определений непрерывности функции. Иногда функцию называют непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения. В этом случае функция f ( x ) = tan ( x ) с областью определения всех действительных x ≠ (2 n +1) π / 2 , n  любого целого числа, является непрерывной. Иногда делается исключение для границ домена. Например, график функции f ( x ) =  √ x с областью определения всех неотрицательных действительных чисел имеет левый конец. В этом случае только предел справатребуется, чтобы равняться значению функции. Согласно этому определению f непрерывна на границе x = 0 и, следовательно, для всех неотрицательных аргументов. Наиболее распространенное и ограничивающее определение состоит в том, что функция является непрерывной, если она непрерывна для всех действительных чисел. В этом случае предыдущие два примера не являются непрерывными, но каждая полиномиальная функция непрерывна, как синус , косинус и экспоненциальные функции . Следует проявлять осторожность при использовании слова « непрерывный» , чтобы из контекста было ясно, какое значение этого слова имеет в виду.

Используя математические обозначения, можно несколькими способами определить непрерывные функции в каждом из трех упомянутых выше смыслов.

Позволять

${\ Displaystyle е \ двоеточие D \ rightarrow \ mathbf {R} \ quad}$быть функцией, определенной на подмножестве множества действительных чисел.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

Это подмножество является областью определения f . Некоторые возможные варианты включают ${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle D = \ mathbf {R} \ quad}$( представляет собой весь набор действительных чисел), или, для действительных чисел a и b ,${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle D = [a, b] = \ {x \ in \ mathbf {R} \, | \, a \ leq x \ leq b \} \ quad}$( это закрытый интервал ), или${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle D = (a, b) = \ {x \ in \ mathbf {R} \, | \, a <x <b \} \ quad}$( это открытый интервал ).${\ displaystyle D}$

В случае, если домен определяется как открытый интервал и не принадлежит , значения и не имеют значения для непрерывности .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle f (а)}$${\ displaystyle f (b)}$${\ displaystyle D}$

Определение в терминах пределов функций [ править ]

Функция F является непрерывным в некоторой точке с его областью , если предел из F ( х ), так как х приближается к C через область F , существует и равен F ( гр ). ^[8] В математической записи это записывается как

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {f (x)} = f (c).}$

Подробно это означает три условия: во-первых, f должен быть определен в c (гарантируется требованием, чтобы c находился в области определения f ). Во-вторых, должен существовать предел в левой части этого уравнения. В-третьих, значение этого предела должно равняться f ( c ).

Формальное определение предела подразумевает, что каждая функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.

Определение с точки зрения районов [ править ]

Окрестность некоторой точки с представляет собой набор , который содержит, по крайней мере, все точки в пределах некоторого фиксированного расстояния с . Интуитивно функция является непрерывной в точке c, если диапазон f в окрестности c сжимается до единственной точки f ( c ) по мере того, как ширина окрестности вокруг c уменьшается до нуля. Более точно, функция f непрерывна в точке c своей области определения, если для любой окрестности существует такая окрестность в ее области определения, что всякий раз , когда${\ Displaystyle N_ {1} (е (с))}$${\ Displaystyle N_ {2} (с)}$${\ Displaystyle е (х) \ в N_ {1} (е (с))}$${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

Это определение требует только, чтобы область и область значений были топологическими пространствами и, таким образом, является наиболее общим определением. Из этого определения следует, что функция f автоматически непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения. В качестве конкретного примера, каждая действительная функция на множестве целых чисел является непрерывной.

Определение в терминах пределов последовательностей [ править ]

Вместо этого можно потребовать, чтобы для любой последовательности точек в области, которая сходится к c , соответствующая последовательность сходилась к f ( c ). В математической записи${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$

Определения Вейерштрасса и Джордана (эпсилон – дельта) непрерывных функций [ править ]

Явно включая определение предела функции, мы получаем автономное определение: для данной функции f  :  D  →  R, как указано выше, и элемента x ₀ области D , f называется непрерывной в точке x ₀ когда выполняется следующее: для любого числа ε  > 0, каким бы малым оно ни было, существует такое число δ  > 0, что для всех x в области определения f с x ₀  -  δ  <  x  <  x ₀  +  δ, значение f ( x ) удовлетворяет

${\displaystyle f(x_{0})-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$

Иначе говоря, непрерывность f  :  D  →  R в x ₀  ∈  D означает, что для любого  ε  > 0 существует такое δ  > 0, что для всех x  ∈  D  :

${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Более интуитивно, мы можем сказать , что если мы хотим получить все е ( х ) значения для пребывания в некоторых малых окрестностях вокруг F ( х ₀ ), нам просто нужно выбрать достаточно малую окрестность для й значений вокруг й ₀ . Если мы можем сделать это, независимо от того, насколько мала окрестность f ( x ), тогда f будет непрерывным в  точке x ₀ .

Говоря современным языком, это обобщается определением непрерывности функции относительно базиса топологии , в данном случае метрической топологии .

Вейерштрасс требовал, чтобы интервал x ₀  -  δ  <  x  <  x ₀  +  δ полностью находился в области D , но Джордан снял это ограничение.

Определение с точки зрения контроля над остатком [ править ]

В доказательствах и численном анализе нам часто нужно знать, насколько быстро сходятся пределы, или, другими словами, контролировать остаток. Мы можем формализовать это до определения непрерывности. Функция называется управляющей функцией, если${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• C не убывает
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

Функция f  :  D  →  R является C- непрерывной в точке x _0, если

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C(|x-x_{0}|)}$ для всех ${\displaystyle x\in D}$

Функция непрерывна в х ₀ , если оно С -непрерывной для некоторой функции управления C .

Такой подход естественным образом приводит к уточнению понятия непрерывности за счет ограничения набора допустимых управляющих функций. Для данного набора управляющих функций функция является -непрерывной, если она является -непрерывной для некоторых . Например, непрерывные по Липшицу и Гёльдеру функции показателя α ниже определяются набором управляющих функций ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$

соответственно

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=}$${\displaystyle \{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}$.

Определение с использованием осцилляции [ править ]

Непрерывность также можно определить в терминах колебания : функция f непрерывна в точке x ₀ тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю; ^[9] в символах . Преимущество этого определения состоит в том, что оно дает количественную оценку прерывности: колебание показывает, насколько функция является прерывистой в точке.${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Это определение полезно в описательной теории множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек - непрерывные точки являются пересечением множеств, где колебание меньше ε (следовательно, множество G δ ) - и дает очень быстрое доказательство одного. направление условия интегрируемости Лебега . ^[10]

Колебание эквивалентно определению ε - δ путем простой перестановки и использования предела ( lim sup , lim inf ) для определения колебания: если (в данной точке) для данного ε ₀ не существует δ , удовлетворяет определению ε - δ , то колебание не меньше ε ₀ , и наоборот, если для каждого ε существует желаемое δ, колебание равно 0. Определение колебания может быть естественным образом обобщено на отображение топологического пространства в метрическое пространство. .

Определение с использованием гиперреалов [ править ]

Коши определил непрерывность функции в следующих интуитивных терминах: бесконечно малое изменение независимой переменной соответствует бесконечно малому изменению зависимой переменной (см. Cours d'analyse , стр. 34). Нестандартный анализ - это способ сделать это математически строгим. Реальная линия дополняется добавлением бесконечных и бесконечно малых чисел, чтобы сформировать гиперреальные числа . В нестандартном анализе непрерывность можно определить следующим образом.

Вещественнозначная функция f непрерывна в точке x, если ее естественное расширение на гиперреалы обладает тем свойством, что для всех бесконечно малых dx , f ( x + dx ) - f ( x ) бесконечно мал ^[11]

(см. микронепрерывность ). Другими словами, бесконечно малое приращение независимой переменной всегда приводит к бесконечно малому изменению зависимой переменной, давая современное выражение определению непрерывности, данному Огюстеном-Луи Коши .

Построение непрерывных функций [ править ]

Проверку непрерывности данной функции можно упростить, проверив одно из указанных выше определяющих свойств для строительных блоков данной функции. Несложно показать, что сумма двух функций, непрерывных в некоторой области, также непрерывна в этой области. Данный

${\displaystyle f,g\colon D\rightarrow \mathbf {R} }$,

то сумма непрерывных функций

${\displaystyle s=f+g}$

(определяется для всех ) непрерывно в .${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D}$

То же верно и для произведения непрерывных функций:

${\displaystyle p=f\cdot g}$

(определяется для всех ) непрерывно в .${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle D}$

Комбинируя указанные выше сохранения непрерывности и непрерывности постоянных функций и тождественной функции на , приходим к непрерывности всех полиномиальных функций на , таких как${\displaystyle I(x)=x}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

е ( х ) = х ³ + х ² - 5 х + 3

(на фото справа).

Таким же образом можно показать, что обратная непрерывная функция

${\displaystyle r=1/f}$

(определяется для всех таких, что ) непрерывно в .${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle D\smallsetminus \{x:f(x)=0\}}$

Отсюда следует, что, исключая корни , фактор непрерывных функций${\displaystyle g}$

${\displaystyle q=f/g}$

(определяется для всех , таких что ) также непрерывно на .${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle g(x)\neq 0}$${\displaystyle D\smallsetminus \{x:g(x)=0\}}$

Например, функция (на фото)

${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$

определено для всех действительных чисел x ≠ −2 и непрерывно в каждой такой точке. Таким образом, это непрерывная функция. Вопрос о непрерывности при x = −2 не возникает, поскольку x = −2 не входит в область определения y . Не существует непрерывной функции F : R → R , согласованной с y ( x ) для всех x ≠ −2 .

Поскольку функция sine непрерывна на всех вещественных числах, функция sinc G ( x )  =  sin ( x ) / x определена и непрерывна для всех вещественных x ≠ 0. Однако, в отличие от предыдущего примера, G может быть расширена до непрерывной функция на всех действительных числах, определяя значение G (0) равным 1, что является пределом G ( x ), когда x приближается к 0, т. е.

${\displaystyle G(0)=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$

Таким образом, установив

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}$

sinc-функция становится непрерывной функцией для всех действительных чисел. Термин устранимая особенность используется в тех случаях, когда (повторное) определение значений функции для совпадения с соответствующими пределами делает функцию непрерывной в определенных точках.

Более сложная конструкция непрерывных функций - это композиция функций . Учитывая две непрерывные функции

${\displaystyle \quad g\colon D_{g}\subseteq \mathbf {R} \rightarrow R_{g}\subseteq \mathbf {R} \quad {\text{and}}\quad f\colon D_{f}\subseteq \mathbf {R} \rightarrow R_{f}\subseteq D_{g},}$

их состав, обозначаемый как , и определяемый как, непрерывен.${\displaystyle c=g\circ f\colon D_{f}\rightarrow \mathbf {R} }$${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

Эта конструкция позволяет утверждать, например, что

${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$ непрерывно для всех ${\displaystyle x>0.}$

Примеры прерывных функций [ править ]

График сигнум-функции. Это показывает . Таким образом, сигнум-функция разрывается в 0 (см. Раздел 2.1.3 ).${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

Примером разрывной функции является ступенчатая функция Хевисайда , определяемая формулой${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

Взять, например . Тогда нет -окрестностью вокруг , то есть не открытый интервал с , что заставит все значения , чтобы быть в -окрестности из , то есть в пределах . Интуитивно мы можем думать об этом типе разрыва как о внезапном скачке значений функций.${\displaystyle \varepsilon =1/2}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle H(0)}$${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

Аналогичным образом , знаковая функция или знак

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

прерывается в точке, но непрерывно везде. Еще один пример: функция${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$

непрерывно везде, кроме .${\displaystyle x=0}$

Помимо правдоподобных непрерывностей и разрывов, подобных описанным выше, существуют также функции с поведением, часто выдуманным патологическим , например, функция Тома ,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$

непрерывна при всех иррациональных числах и разрывна при всех рациональных числах. Аналогичным образом функция Дирихле , индикаторная функция для множества рациональных чисел,

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$

нигде не сплошной.

Свойства [ править ]

Полезная лемма [ править ]

Пусть - функция, непрерывная в точке, и такое значение. Тогда в некоторой окрестности ^[12]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})\neq y_{0}.}$${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$${\displaystyle x_{0}.}$

Доказательство: по определению непрерывности возьмем , тогда существует такое, что ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<{\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}\quad {\text{whenever}}\quad |x-x_{0}|<\delta }$

Предположим, что в окрестности есть точка, для которой имеем противоречие${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle f(x)=y_{0};}$

${\displaystyle |f(x_{0})-y_{0}|<{\frac {|f(x_{0})-y_{0}|}{2}}.}$

Теорема о промежуточном значении [ править ]

Теорема о промежуточном значении - это теорема существования , основанная на вещественном числовом свойстве полноты , и гласит:

Если вещественнозначная функция f непрерывна на отрезке [ a ,  b ] и k - некоторое число между f ( a ) и f ( b ), то в [ a , b ] существует некоторое число c ,  такое что f ( в ) =  k .

Например, если ребенок вырастает от 1 м до 1,5 м в возрасте от двух до шести лет, то в какое-то время между двумя и шестью годами рост ребенка должен составлять 1,25 м.

Как следствие, если f непрерывна на [ a ,  b ] и f ( a ) и f ( b ) различаются знаком , то в некоторой точке c в [ a ,  b ], f ( c ) должно быть равно нулю .

Теорема об экстремальном значении [ править ]

Теорема об экстремальном значении утверждает, что если функция f определена на отрезке [ a , b ] (или любом замкнутом и ограниченном множестве) и непрерывна там, то функция достигает своего максимума, т. Е. Существует c  ∈ [ a , b ] с f ( c ) ≥ f ( x ) для всех x  ∈ [ a , b ]. То же самое и с минимумом f . Эти утверждения, как правило, неверны, если функция определена на открытом интервале ( a , b) (или любое другое множество, которое не является одновременно замкнутым и ограниченным), поскольку, например, непрерывная функция f ( x ) = 1 / x , определенная на открытом интервале (0,1), не достигает максимума, будучи неограниченной над.

Отношение к дифференцируемости и интегрируемости [ править ]

Каждая дифференцируемая функция

${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbf {R} }$

непрерывна, как можно показать. Обратное не имеет места: например, абсолютное значение функции

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

всюду непрерывно. Однако он не дифференцируем при x = 0 (но так везде). Функция Вейерштрасса также всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема.

Производная F ' ( х ) дифференцируемая функция F ( х ) не обязательно должна быть непрерывной. Если f ′ ( x ) непрерывна, f ( x ) называется непрерывно дифференцируемой. Множество таких функций обозначим C ¹ ( ( a ,  b ) ). В более общем плане набор функций

${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbf {R} }$

(из открытого интервала (или открытого подмножества из R ) Q к переАльсу) таким образом, что F является п раз дифференцируемый и таким , что п его производной F непрерывен обозначаются C ^п (Q). См. Класс дифференцируемости . В области компьютерной графики свойства, связанные (но не идентичные) с C ⁰ , C ¹ , C ² , иногда называют G ⁰ (непрерывность положения), G ¹ (непрерывность касания) и G ^2.(непрерывность кривизны); см. Гладкость кривых и поверхностей .

Каждая непрерывная функция

${\displaystyle f\colon [a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$

является интегрируемой (например , в смысле интеграла Римана ). Обратное неверно, как показывает (интегрируемая, но разрывная) знаковая функция .

Точечные и равномерные ограничения [ править ]

Учитывая последовательность

${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc \colon I\rightarrow \mathbf {R} }$

таких функций, что предел

${\displaystyle f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$

существует для всех х в D , полученная функция F ( х ) называются как поточечный предел последовательности функций ( ф _п ) _{п ∈ N} . Функция поточечного ограничения не обязательно должна быть непрерывной, даже если все функции f _n непрерывны, как показано на анимации справа. Однако, е непрерывно , если все функции F _п непрерывны и последовательность сходится равномерно , по теореме равномерной сходимости . Эта теорема может быть использована, чтобы показать, что экспоненциальные функции, логарифмы , функция извлечения квадратного корня и тригонометрические функции непрерывны.

Направленность и полунепрерывность [ править ]

Прерывистые функции могут быть прерывными ограниченным образом, что дает начало концепции непрерывности по направлению (или непрерывных функций справа и слева) и полунепрерывности . Грубо говоря, функция непрерывна вправо, если при приближении к предельной точке справа скачка не происходит. Формально f называется непрерывной справа в точке c, если выполняется следующее: для любого числа ε  > 0, сколь угодно малого, существует такое число δ  > 0, что для всех x в области с c < x < c + δ значение f ( x) удовлетворит

${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon .}$

Это то же самое условие, что и для непрерывных функций, за исключением того, что требуется, чтобы оно выполнялось только для x, строго превышающего c . Требование его вместо этого для всех x с c - δ < x < c приводит к понятию непрерывных слева функций. Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева.

Функция f является полунепрерывной снизу, если, грубо говоря, любые возможные скачки идут только вниз, но не вверх. То есть для любого ε  > 0 существует такое число δ  > 0, что для всех x в области с | х - с | < δ значение f ( x ) удовлетворяет

${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$

Обратное условие - полунепрерывность сверху .

Непрерывные функции между метрическими пространствами [ править ]

Понятие непрерывных действительных функций может быть обобщено на функции между метрическими пространствами . Метрика пространство есть множество X оборудован функцией (называемой метрикой ) д _Х , которые могут рассматриваться в качестве измерения расстояния любых двух элементов в X . Формально метрика - это функция

${\displaystyle d_{X}\colon X\times X\rightarrow \mathbf {R} }$

который удовлетворяет ряду требований, в частности неравенству треугольника . Даны два метрических пространства ( X , d _X ) и ( Y , d _Y ) и функция

${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

то f непрерывен в точке c в X (относительно данной метрики), если для любого положительного действительного числа ε существует положительное действительное число δ такое, что все x в X, удовлетворяющие d _X ( x , c ) <δ, будут также удовлетворяет условию d _Y ( f ( x ), f ( c )) <ε. Как и в случае с действительными функциями выше, это эквивалентно условию, что для любой последовательности ( x _n ) в X с пределом lim x _n = c , мы имеем limf ( x _n ) = f ( c ). Последнее условие можно ослабить следующим образом: f непрерывна в точке c тогда и только тогда, когда для каждой сходящейся последовательности ( x _n ) в X с пределом c последовательность ( f ( x _n )) является последовательностью Коши , а c находится в области определения f .

Множество точек, в которых функция между метрическими пространствами непрерывна, является множеством G δ  - это следует из определения непрерывности ε-δ.

Это понятие непрерывности применяется, например, в функциональном анализе . Ключевое утверждение в этой области гласит, что линейный оператор

${\displaystyle T\colon V\rightarrow W}$

между нормированными векторными пространствами V и W (которые являются векторными пространствами, снабженными согласованной нормой , обозначаемой || x ||) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено , то есть существует константа K такая, что

${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$

для всех х в V .

Равномерность, непрерывность Гёльдера и Липшица [ править ]

Концепция непрерывности функций между метрическими пространствами может быть усилена различными способами, ограничив способ, которым δ зависит от ε и c в приведенном выше определении. Интуитивно, функция f, как указано выше, равномерно непрерывна, если δ не зависит от точки c . Точнее, требуется , чтобы для каждого вещественного числа ε  > 0 существует δ  > 0 такое , что для любого с ,  Ь  ∈  Х с д _Х ( Ь ,  гр ) <  δ , мы имеем , что d _Y ( F (б ),  f ( c )) <  ε . Таким образом, любая равномерно непрерывная функция непрерывна. Обратное не имеет места, но имеет место , когда область пространства X является компактным . Равномерно непрерывные отображения могут быть определены в более общей ситуации равномерных пространств . ^[13]

Функция является непрерывной по Гёльдеру с показателем α (действительным числом), если существует константа K такая, что для всех b и c в X выполняется неравенство

${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$

держит. Любая непрерывная функция Гёльдера равномерно непрерывна. Частный случай α = 1 называется липшицевой непрерывностью . То есть функция липшицева, если существует константа K такая, что неравенство

${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$

имеет место для любого Ь , с в X . ^[14] Условие Липшица встречается, например, в теореме Пикара – Линделёфа о решениях обыкновенных дифференциальных уравнений .

Непрерывные функции между топологическими пространствами [ править ]

Другое, более абстрактное понятие непрерывности - это непрерывность функций между топологическими пространствами, в которых, как правило, нет формального понятия расстояния, как в случае метрических пространств . Топологическое пространство множество X вместе с топологией на X , который представляет собой набор подмножеств из X , удовлетворяющих несколько требований в отношении их объединений и пересечений, обобщающих свойства открытых шаров в метрических пространствах, все еще позволяя говорить о в окрестности данной точки. Элементы топологии называются открытые подмножества из X (по топологии).

Функция

${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$

между двумя топологическими пространствами Х и Y является непрерывным , если для каждого открытого множества V ⊆ Y , тем прообраз

${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$

это открытое подмножество X . То есть, е является функцией между множествами X и Y (не на элементах топологии Т _X ), но непрерывность F зависит от топологии , используемой на X и Y .

Это эквивалентно условию , что прообразы этих замкнутых множеств (которые являются комплементами открытых подмножеств) в Y замкнуты в X .

Крайний пример: если множеству X задана дискретная топология (в которой каждое подмножество открыто), все функции

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

к любому топологическому пространству T непрерывны. С другой стороны, если X снабжен недискретной топологией (в которой единственными открытыми подмножествами являются пустое множество и X ) и пространство T set не меньше T 0 , то единственными непрерывными функциями являются постоянные функции. И наоборот, любая функция, диапазон значений которой не дискретен, является непрерывной.

Непрерывность в точке [ править ]

Перевод на язык окрестностей (ε, δ) -определения непрерывности приводит к следующему определению непрерывности в точке:

Функция непрерывна в точке , если и только если для любых окрестностей V из в Y , существует окрестность U от х , такого , что F ( U ) ⊆ V .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)}$

Это определение эквивалентно тому же утверждению с соседями, ограниченными открытыми окрестностями, и может быть переформулировано несколькими способами с использованием прообразов, а не изображений.

Кроме того, поскольку каждое множество, содержащее окрестность, также является окрестностью и является наибольшим подмножеством U в X, таким что f ( U ) ⊆ V , это определение можно упростить до:${\displaystyle f^{-1}(V)}$

Функция непрерывна в точке , тогда и только тогда , когда есть окрестность х для любых окрестностей V из в Y .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle f(x)}$

Поскольку открытое множество - это множество, которое является окрестностью всех своих точек, функция непрерывна в каждой точке X тогда и только тогда, когда она является непрерывной функцией.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

Если X и Y метрические пространства, то это эквивалентно рассмотреть систему окрестностей в открытых шаров с центром в х и ф ( х ) вместо всех окрестностей. Это возвращает приведенное выше определение непрерывности δ-ε в контексте метрических пространств. В общих топологических пространствах нет понятий близости или расстояния. Если, однако, целевое пространство является пространством Хаусдорфа , по-прежнему верно, что f непрерывно в a тогда и только тогда, когда предел f при приближении x к a равен f ( a). В изолированной точке каждая функция непрерывна.

Данная карта является непрерывной в том и только в том случае, если всякий раз, когда есть фильтр, который сходится к, в котором выражается записью then обязательно в Если обозначает фильтр окрестности в then непрерывен в том и только в том случае, если в ^[15] Более того, это происходит, если и только если предварительный фильтр является базой фильтра для фильтра окрестности в ^[15]${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$

Альтернативные определения [ править ]

Существует несколько эквивалентных определений топологической структуры, и поэтому существует несколько эквивалентных способов определения непрерывной функции.

Последовательности и сети [ редактировать ]

В некоторых случаях топологию пространства удобно задавать в терминах предельных точек . Во многих случаях это достигается путем указания , когда точка является пределом последовательности , но для некоторых пространств, которые слишком велики , в некотором смысле, один указывает также , когда точка является пределом более общих множеств точек , индексированных по направлены набор , известный как сети . Функция является (по Гейне) непрерывной, только если она принимает пределы последовательностей до пределов последовательностей. В первом случае также достаточно сохранения пределов; в последнем случае функция может сохранять все пределы последовательностей, но все же не быть непрерывной, и сохранение сетей является необходимым и достаточным условием.

Более подробно, функция f : X → Y является последовательно непрерывной, если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) в X сходится к пределу x , последовательность ( f ( x _n )) сходится к f ( x ). Таким образом, последовательно непрерывные функции «сохраняют последовательные пределы». Каждая непрерывная функция последовательно непрерывна. Если X - пространство с первым счетом и имеет место счетный выбор , то верно и обратное: любая функция, сохраняющая последовательные пределы, является непрерывной. В частности, еслиX - метрическое пространство, последовательная непрерывность и непрерывность эквивалентны. Для пространств, не подсчитываемых первым, последовательная непрерывность может быть строго слабее, чем непрерывность. (Пространства, для которых два свойства эквивалентны, называются последовательными пространствами .) Это мотивирует рассмотрение сетей вместо последовательностей в общих топологических пространствах. Непрерывные функции сохраняют пределы сетей, и фактически это свойство характеризует непрерывные функции.

Например, рассмотрим случай действительных функций одной действительной переменной: ^[16]

Операторы замыкания и определения внутренних операторов [ править ]

В терминах внутреннего оператора функция между топологическими пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого подмножества${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq Y,}$

${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\supseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$

С точки зрения оператора замыкания , непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X,}$

${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$

То есть, учитывая любой элемент , который принадлежит к закрытию подмножества обязательно принадлежит к закрытию в случае , если мы заявляем , что точка находится близко к подмножеству , если тогда эта терминология позволяет для простого английского описания непрерывности: непрерывно , если и только если для каждого подмножества отображаются точки, которые близки к точкам, которые близки к Аналогично, непрерывна в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда всякий раз, когда она близка к подмножеству, то близко${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

Вместо указания топологических пространств их открытых подмножеств , любая топология банкой альтернативно определяется с помощью оператора замыкания или с помощью внутреннего оператора . В частности, карта , которая отправляет подмножество топологического пространства к его топологическому замыканию удовлетворяет закрывающие аксиомы Куратовских и , наоборот, для любого оператора замыкания существует единственное топологию на ( в частности, ) такое , что для любого подмножества равна топологическое закрытие из в Если наборы и${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$связаны с операторами замыкания (оба обозначаются ), то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} A\right)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$${\displaystyle A\subseteq X.}$

Аналогичным образом , карта , которая отправляет подмножество из его топологического интерьера определяет внутренний оператор и , наоборот, любой интерьер оператор индуцирует уникальную топологию на ( в частности, ) таким образом, что для каждого равна топологических внутренней части в том случае , если наборов и каждые связанных с внутренними операторами (оба обозначаются ), то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} B\right)\supseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$${\displaystyle B\subseteq Y.}$

Фильтры и предварительные фильтры [ править ]

Непрерывность также можно охарактеризовать с помощью фильтров . Функция непрерывна тогда и только тогда , когда каждый раз , когда фильтр на сходится в к точке тогда предварительный фильтр сходится в к этой характеристике остается верным , если слово «фильтр» заменяются на «предфильтре.» ^[15]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(x).}$

Свойства [ править ]

Если F : X → Y и г : Y → Z непрерывны, то и композиция г ∘ F : X → Z . Если f : X → Y непрерывно и

• Х является компактным , то F ( X ) компактно.
• Х является подключен , то F ( X ) подключен.
• Х является линейно связным , то F ( X ) является линейно связным.
• Х является Линделёфом , то F ( X ) линделёфово.
• Х является разъемным , то F ( X ) отделимо.

Возможные топологии на фиксированное множество X являются частично упорядоченными : топология т ₁ называются грубее , чем другая топология т ₂ (обозначений: т ₁ ⊆ τ ₂ ) , если каждое открытое подмножество по т ₁ также открыто по отношению к τ ₂ . Тогда тождественная карта

id _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ )

непрерывна тогда и только тогда, когда τ ₁ ⊆ τ ₂ (см. также сравнение топологий ). В более общем смысле, непрерывная функция

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

остается непрерывной, если топология τ _Y заменяется более грубой топологией и / или τ _X заменяется более тонкой топологией .

Гомеоморфизмы [ править ]

Симметричной концепции непрерывной карты является открытая карта , для которой открыты изображения открытых множеств. Фактически, если открытое отображение f имеет обратную функцию , эта обратная функция непрерывна, а если непрерывное отображение g имеет обратную функцию , эта обратная функция открыта. Учитывая биективную функцию f между двумя топологическими пространствами, обратная функция f ⁻¹ не обязательно должна быть непрерывной. Биективная непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

Если непрерывная биекция имеет свою область в компактное пространство и его кообласть является Хаусдорфом , то есть гомеоморфизм.

Определение топологий с помощью непрерывных функций [ править ]

Учитывая функцию

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,}$

где X - топологическое пространство, а S - множество (без указанной топологии), окончательная топология на S определяется тем, что открытыми множествами S являются те подмножества A в S, для которых f ⁻¹ ( A ) открыто в X . Если S имеет существующую топологию, F непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда , когда существующая топология грубее , чем конечная топология на S . Таким образом, окончательную топологию можно охарактеризовать как лучшую топологию на S, которая делаетf непрерывный. Если е является сюръективны , эта топология канонически отождествляется с топологией фактор по отношению эквивалентности , определяемой е .

Двойственно, для функции F из множества S в топологическом пространстве X , то исходная топология на S определяется путем назначения в качестве открытого множества каждое подмножество A из S таким образом, что в течение некоторого открытого подмножества U из X . Если S имеет существующую топологию, F непрерывна относительно этой топологии тогда и только тогда , когда существующая топология тоньше , чем исходная топология на S . Таким образом, исходную топологию можно охарактеризовать как грубейшую топологию на S, которая делает f непрерывным. Если f${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$инъективна, эта топология канонически отождествить с топологией подпространства из S , рассматриваемой как подмножество X .

Топология на множество S однозначно определяется классом всех непрерывных функций на все топологические пространствах X . Двойственно , подобная идея может быть применена к картам${\displaystyle S\rightarrow X}$${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Связанные понятия [ править ]

Различные другие области математики используют понятие непрерывности в разных, но связанных значениях. Например, в теории порядка , сохраняющее порядок функции F : X → Y между отдельными типами частично упорядоченными множествами Х и Y является непрерывным , если для каждого направленного подмножества A из X , мы имеем ир ( е ( )) = F ( sup ( A )). Здесь sup - супремум по порядкам в X и Y, соответственно. Это понятие непрерывности аналогично топологической непрерывности, когда частично упорядоченные множества заданы топологией Скотта . ^{[17] [18]}

В теории категорий , функтор

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

между двумя категориями называется непрерывным , если он коммутирует с небольшими пределами . То есть,

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$

для любого малого (т.е. индексируются множества I , в отличие от класса ) диаграммы из объектов в .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Пространство непрерывности является обобщением метрических пространств и ч.у.м., ^{[19] [20]} , который использует концепцию quantales , и который может быть использован , чтобы объединить понятия метрических пространств и областей . ^[21]

См. Также [ править ]

• Функция, сохраняющая направление - аналог непрерывной функции в дискретных пространствах.

Ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме непрерывности (функций) .

Библиография [ править ]

• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• "Непрерывная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]