Связанные ставки

Эта статья написана как руководство или путеводитель . Пожалуйста, помогите переписать эту статью с описательной, нейтральной точки зрения и удалить совет или инструкцию. ( Октябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В дифференциальном исчислении , связанные ставки проблемы включают нахождение скорости , при которой величина изменяется на величину , относящиеся , что количество других величин, скорости изменения известны. Скорость изменения обычно зависит от времени . Поскольку наука и техника часто связывают количества друг с другом, методы связанных скоростей имеют широкое применение в этих областях. Дифференцирование по времени или один из других переменных требует применения правила цепи , ^[1] , так как большинство проблем связаны несколько переменных.

По сути, если функция определена так, что , тогда производная функции может быть взята по другой переменной. Мы предполагаем , является функцией , то есть . Тогда так ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F = е (х)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle х = г (т)}$${\ Displaystyle F = е (г (т))}$

${\ Displaystyle F '= F' (г (т)) \ cdot g '(т)}$

В нотации Лейбница это:

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}$

Таким образом, если известно, как изменяется по отношению к , то мы можем определить, как изменяется по отношению к и наоборот. Мы можем расширить это применение цепного правила с помощью правил исчисления суммы, разности, произведения и частного и т. Д.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$

Например, если тогда${\displaystyle F(x)=G(y)+H(z)}$

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {dG}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dt}}.}$

Процедура [ править ]

Наиболее распространенный способ решения проблем связанных ставок следующий: ^[2]

1. Определите известные переменные , в том числе скорость изменения и скорость изменения, которую необходимо найти. (Нарисовать картинку или изобразить проблему может помочь навести порядок)
2. Постройте уравнение, связывающее величины, скорость изменения которых известна, с величиной, скорость изменения которой необходимо найти.
3. Продифференцируйте обе части уравнения относительно времени (или другой скорости изменения). Часто на этом этапе применяется цепное правило .
4. Подставьте известные скорости изменения и известные величины в уравнение.
5. Найдите желаемую скорость изменения.

Ошибки в этой процедуре часто вызваны подстановкой известных значений переменных до (а не после) нахождения производной по времени. Это приведет к неверному результату, поскольку, если эти значения подставить вместо переменных перед дифференцированием, эти переменные станут константами; и когда уравнение дифференцируется, нули появляются в местах всех переменных, для которых были вставлены значения.

Примеры [ править ]

Пример наклонной лестницы [ править ]

К стене здания прислонена 10-метровая лестница, а основание лестницы отодвигается от здания со скоростью 3 метра в секунду. Как быстро верхняя часть лестницы скользит по стене, когда ее основание находится на расстоянии 6 метров от стены?

Расстояние между основанием лестницы и стеной x и высота лестницы на стене y представляют стороны прямоугольного треугольника с лестницей в качестве гипотенузы h . Цель состоит в том, чтобы найти dy / dt , скорость изменения y по времени, t , когда известны h , x и dx / dt , скорость изменения x .

Шаг 1:

${\displaystyle x=6}$

${\displaystyle h=10}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\text{?}}}$

Шаг 2: Из теоремы Пифагора уравнение

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2},\,}$

описывает отношения между x , y и h для прямоугольного треугольника. Дифференцируя обе части этого уравнения по времени t , получаем

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})={\frac {d}{dt}}(h^{2})}$

Шаг 3: После решения о желаемой скорости изменения dy / dt дает нам

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})={\frac {d}{dt}}(h^{2})}$

${\displaystyle (2x){\frac {dx}{dt}}+(2y){\frac {dy}{dt}}=(2h){\frac {dh}{dt}}}$

${\displaystyle x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.}$

Шаг 4 и 5: Использование переменных из шага 1 дает нам:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {10\times 0-6\times 3}{y}}=-{\frac {18}{y}}.}$

Решение относительно y с использованием теоремы Пифагора дает:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2}}$

${\displaystyle 6^{2}+y^{2}=10^{2}}$

${\displaystyle y=8}$

Подключаем 8 для уравнения:

${\displaystyle -{\frac {18}{y}}=-{\frac {18}{8}}=-{\frac {9}{4}}}$

Обычно предполагается, что отрицательные значения представляют направление вниз. При этом , например, верхней части лестницы скользят вниз по стене со скоростью ⁹ / ₄ метров в секунду.

Примеры физики [ править ]

Поскольку одна физическая величина часто зависит от другой, которая, в свою очередь, зависит от других, таких как время, методы связанных скоростей имеют широкое применение в физике. В этом разделе представлен пример взаимосвязи кинематики скорости и электромагнитной индукции .

Физический пример I: относительная кинематика двух транспортных средств [ править ]

Например, можно рассмотреть проблему кинематики, когда одно транспортное средство движется на запад к перекрестку со скоростью 80 миль в час, а другое движется на север от перекрестка со скоростью 60 миль в час. Можно спросить, сближаются ли транспортные средства или дальше друг от друга и с какой скоростью в тот момент, когда транспортное средство, направляющееся на север, находится в 3 милях к северу от перекрестка, а транспортное средство, направляющееся на запад, находится в 4 милях к востоку от перекрестка.

Большая идея: использовать цепное правило для вычисления скорости изменения расстояния между двумя транспортными средствами.

Строить планы:

1. Выбрать систему координат
2. Определить переменные
3. Нарисуйте картинку
4. Большая идея: использовать цепное правило для вычисления скорости изменения расстояния между двумя транспортными средствами
5. Выразите c через x и y по теореме Пифагора
6. Выразите dc / dt с помощью цепного правила через dx / d t и dy / dt
7. Подставить в x , y , dx / dt , dy / dt
8. Упрощать.

Выберите систему координат: пусть ось y указывает на север, а ось x - на восток.

Идентификация переменных: Определите y ( t ) как расстояние от транспортного средства, идущего на север от исходной точки, и x ( t ) как расстояние от транспортного средства, направляющегося на запад от исходной точки.

Выразите c через x и y с помощью теоремы Пифагора:

${\displaystyle c=(x^{2}+y^{2})^{1/2}}$

Выразите dc / dt, используя правило цепочки в терминах dx / dt и dy / dt:

${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})^{1/2}}$	Применить оператор производной ко всей функции
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}{\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})}$	Квадратный корень вне функции; Сумма квадратов находится внутри функции
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]}$	Оператор дифференцирования распределения
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\left[2x{\frac {dx}{dt}}+2y{\frac {dy}{dt}}\right]}$	Применить цепное правило к x ( t ) и y ( t )}
${\displaystyle ={\frac {x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$	Упрощать.

Подставим вместо x = 4 mi, y = 3 mi, dx / dt = −80 mi / hr, dy / dt = 60 mi / hr и упростим

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dc}{dt}}&={\frac {4{\text{ mi}}\cdot (-80{\text{ mi}}/{\text{hr}})+3{\text{ mi}}\cdot (60){\text{mi}}/{\text{hr}}}{\sqrt {(4{\text{ mi}})^{2}+(3{\text{ mi}})^{2}}}}\\&={\frac {-320{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}+180{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&={\frac {-140{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&=-28{\text{ mi}}/{\text{hr}}\end{aligned}}}$

Следовательно, два автомобиля сближаются со скоростью 28 миль в час.

Физический пример II: Электромагнитная индукция проводящей петли, вращающейся в магнитном поле [ править ]

Магнитный поток через петлю из области А с нормалью под углом & thetas к магнитному полю напряженности B является

${\displaystyle \Phi _{B}=BA\cos(\theta ),}$

Закон электромагнитной индукции Фарадея гласит, что индуцированная электродвижущая сила - это отрицательная скорость изменения магнитного потока через проводящую петлю.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \Phi _{B}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},}$

Если площадь контура A и магнитное поле B остаются постоянными, но контур поворачивается так, что угол θ является известной функцией времени, скорость изменения θ может быть связана со скоростью изменения (и, следовательно, электродвижущей силой сила), взяв производную по времени от магнитного потока${\displaystyle \Phi _{B}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=BA\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}}}$

Если, например, петля вращается с постоянной угловой скоростью ω , так что θ  =  ωt , то

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\omega BA\sin \omega t}$

Ссылки [ править ]