Поверхность (топология)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Открытая поверхность с й -, у -, а г -contours показана на рисунок.

В части математики, называемой топологией , поверхность - это двумерное многообразие . Некоторые поверхности возникают как границы трехмерных тел; например, сфера - это граница твердого шара. Остальные поверхности возникают как графики функций двух переменных; см. рисунок справа. Однако поверхности также можно определять абстрактно, без привязки к какому-либо окружающему пространству. Например, бутылка Клейна - это поверхность, которую нельзя вложить в трехмерное евклидово пространство .

Топологические поверхности иногда снабжены дополнительной информацией, такой как риманова метрика или сложная структура, которая связывает их с другими дисциплинами в математике, такими как дифференциальная геометрия и комплексный анализ . Различные математические понятия поверхности могут быть использованы для моделирования поверхностей в физическом мире.

В общем [ править ]

В математике , поверхность представляет собой геометрическая форма , которая напоминает деформированную плоскость . Наиболее известные примеры возникают как границы твердых объектов в обычном трехмерном евклидовом пространстве R ³ , таких как сферы . Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Как правило, в алгебраической геометрии поверхность может пересекаться (и может иметь другие особенности ), а в топологии и дифференциальной геометрии - нет.

Поверхность - это двумерное пространство ; это означает, что движущаяся точка на поверхности может двигаться в двух направлениях (у нее две степени свободы ). Другими словами, почти вокруг каждой точки есть участок координат, на котором определена двумерная система координат . Например, поверхность Земли напоминает (в идеале) двумерную сферу , а широта и долгота обеспечивают на ней двумерные координаты (кроме полюсов и 180-го меридиана ).

Концепция поверхности широко используется в физике , инженерии , компьютерной графике и многих других дисциплинах, в первую очередь для представления поверхностей физических объектов. Например, при анализе аэродинамических свойств самолета центральное место занимает поток воздуха вдоль его поверхности.

Определения и первые примеры [ править ]

(Топологическая) поверхность является топологическим пространством , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную к некоторому открытому подмножеству евклидова плоскости E ² . Такая окрестность вместе с соответствующим гомеоморфизмом называется (координатной) картой . Именно через эту карту окрестность наследует стандартные координаты на евклидовой плоскости. Эти координаты известны как локальные координаты, и эти гомеоморфизмы приводят нас к описанию поверхностей как локально евклидовых .

В большинстве работ по этому вопросу часто предполагается, явно или неявно, что как топологическое пространство поверхность также непуста, имеет счетчик до второго и Хаусдорф . Также часто предполагается, что рассматриваемые поверхности связаны.

В остальной части этой статьи предполагается, если не указано иное, что поверхность непуста, хаусдорфова, имеет счетчик секунд и связна.

В более общем виде (топологическая) поверхность с краем является Хаусдорфово топологическим пространством , в котором каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную к некоторому открытому подмножеству закрытия в верхней полуплоскости H ² в C . Эти гомеоморфизмы также известны как (координатные) карты . Границей верхней полуплоскости является ось x . Точка на поверхности, отображаемая с помощью карты на ось x, называется граничной точкой . Набор таких точек известен как границаповерхности, которая обязательно является одномерным многообразием, т. е. объединением замкнутых кривых. С другой стороны, точка, отображаемая выше оси x, является внутренней точкой . Набор внутренних точек - это внутренность поверхности, которая всегда не пуста . Замкнутый диск - это простой пример поверхности с краем. Граница диска - круг.

Термин поверхность, используемый без уточнения, относится к поверхностям без границ. В частности, поверхность с пустой границей является поверхностью в обычном понимании. Компактная поверхность с пустой границей называется «закрытой» поверхностью. Двумерная сфера, двумерный тор и действительная проективная плоскость являются примерами замкнутых поверхностей.

Полоса Мебиуса - это поверхность, на которой различие между часовой стрелкой и против часовой стрелки может быть определено локально, но не глобально. Вообще говоря, поверхность называется ориентируемой, если она не содержит гомеоморфной копии ленты Мёбиуса; интуитивно он имеет две различные «стороны». Например, сфера и тор ориентируемы, а реальная проективная плоскость - нет (поскольку реальная проективная плоскость с удаленной одной точкой гомеоморфна открытой ленте Мёбиуса).

В дифференциальной и алгебраической геометрии к топологии поверхности добавляется дополнительная структура. Эти дополнительные структуры могут быть структурой гладкости (позволяющей определять дифференцируемые отображения на поверхность и от нее ), римановой метрикой (позволяющей определять длину и углы на поверхности), сложной структурой (позволяющей определять голоморфные отображает на поверхность и с поверхности (в этом случае поверхность называется римановой поверхностью ) или алгебраической структурой (позволяющей обнаруживать особенности , такие как самопересечения и точки возврата, которые не могут быть описаны исключительно в терминах лежащей в основе топологии ).

Внешне определенные поверхности и вложения [ править ]

Исторически поверхности изначально определялись как подпространства евклидовых пространств. Часто эти поверхности были локусом из нулей некоторых функций, обычно полиномиальных функций. Такое определение рассматривало поверхность как часть большего (евклидова) пространства и как таковое было названо внешним .

В предыдущем разделе поверхность определяется как топологическое пространство с определенными свойствами, а именно хаусдорфовы и локально евклидовы. Это топологическое пространство не считается подпространством другого пространства. В этом смысле данное выше определение, которое математики используют в настоящее время, является внутренним .

Поверхность, определенная как внутренняя, не требуется, чтобы удовлетворять дополнительному ограничению подпространства евклидова пространства. Может показаться возможным, что некоторые поверхности, определенные внутренне, не являются поверхностями во внешнем смысле. Однако теорема вложения Уитни утверждает, что каждая поверхность может быть гомеоморфно вложена в евклидово пространство, фактически в E ⁴ : внешний и внутренний подходы оказываются эквивалентными.

Фактически любая компактная поверхность, которая либо ориентируема, либо имеет границу, может быть вложена в E ³ ; с другой стороны, реальная проективная плоскость, компактная, неориентируемая и не имеющая границ, не может быть вложена в E ³ (см. Gramain). Поверхности Штейнера , включая поверхность Боя , римскую поверхность и крестовину , являются моделями реальной проективной плоскости в E ³ , но только поверхность Боя является погруженной поверхностью . Все эти модели сингулярны в точках пересечения.

Александр рогатая сфера является хорошо известным патологическим вложение двумерной сферы в трехмерной сфере.

Выбранное вложение (если оно есть) поверхности в другое пространство рассматривается как внешняя информация; это не важно для самой поверхности. Например, тор может быть встроен в E ³ «стандартным» способом (который выглядит как бублик ) или узловым способом (см. Рисунок). Два вложенных тора гомеоморфны, но не изотопны : они топологически эквивалентны, но их вложения нет.

Изображение непрерывной, инъективной функция из R ² в многомерный R ^п называется быть параметрической поверхностью . Такое изображение является так называемым , потому что х - и у - направления домена R ² являются 2 переменными , которые Параметризуют изображение. Параметрическая поверхность не обязательно должна быть топологической поверхностью. Поверхность вращения можно рассматривать как специальный вид параметрическую поверхности.

Если F является гладкой функцией от R ³ до R , чей градиент нигде не равен нулю, то локус из нулей в F действительно определяет поверхность, известную как неявной поверхности . Если отбросить условие ненулевого градиента, то в нулевом геометрическом месте могут появиться сингулярности.

Строительство из полигонов [ править ]

Каждую замкнутую поверхность можно построить из ориентированного многоугольника с четным числом сторон, называемого фундаментальным многоугольником поверхности, путем попарной идентификации его ребер. Например, в каждом многоугольнике ниже прикрепление сторон соответствующими метками ( A с A , B с B ), так что стрелки указывают в одном направлении, дает указанную поверхность.

• сфера

• реальная проективная плоскость

• тор

• Бутылка Клейна

Любой фундаментальный многоугольник можно условно записать следующим образом. Начните с любой вершины и продолжайте движение по периметру многоугольника в любом направлении, пока не вернетесь в начальную вершину. Во время этого обхода запишите метку на каждом ребре по порядку, с показателем -1, если ребро указывает противоположно направлению обхода. Четыре модели выше, при перемещении по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла, дают

• сфера: ${\ displaystyle ABB ^ {- 1} A ^ {- 1}}$
• реальная проективная плоскость: ${\ displaystyle ABAB}$
• тор: ${\ displaystyle ABA ^ {- 1} B ^ {- 1}}$
• Бутылка Клейна: .${\ displaystyle ABAB ^ {- 1}}$

Обратите внимание, что сфера и проективная плоскость могут быть реализованы как частные 2-угольника, в то время как тор и бутылка Клейна требуют 4-угольника (квадрата).

Таким образом , выражение происходит от фундаментального многоугольника поверхности оказывается единственным отношение в представлении о фундаментальной группе поверхности с полигоном метками ребер как генераторы. Это следствие теоремы Зейферта – ван Кампена .

Склеивание ребер многоугольников - это особый вид процесса факторного пространства . Концепция коэффициента может применяться в более широком смысле для создания новых или альтернативных конструкций поверхностей. Например, реальная проективная плоскость может быть получена как частное от сферы путем идентификации всех пар противоположных точек на сфере. Другой пример частного - связная сумма.

Связанные суммы [ править ]

Связной суммой двух поверхностей M и N , обозначается М # Н , получают путем удалени диска из каждого из них и склеивание их вдоль граничных компонентов , которые являются результатом. Граница диска - круг, поэтому эти граничные компоненты - окружности. Эйлерова характеристика из M # N является суммой характеристик Эйлера слагаемых, минус два:${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ чи (М {\ mathbin {\ #}} N) = \ чи (М) + \ чи (N) -2. \,}$

Сфера S представляет собой единичный элемент для связной суммы, а это означает , что S # M = M . Это связано с тем, что при удалении диска из сферы остается диск, который просто заменяет диск, удаленный из M при склейке.

Подключенное суммирование торы T также описываются как «прикрепление ручки» к другому слагаемому М . Если M ориентируемо, то и T # M ориентируемо . Связная сумма ассоциативна, поэтому связная сумма конечного набора поверхностей определена правильно.

Связной суммой двух действительных проективных плоскостей, Р # Р , является бутылка Клейна К . Связная сумма вещественной проективной плоскости и бутылки Клейна гомеоморфна связной сумме вещественной проективной плоскости с тором; в формуле, Р # К = P # T . Таким образом, связная сумма трех вещественных проективных плоскостей гомеоморфна связной сумме вещественной проективной плоскости с тором. Любая связная сумма, содержащая вещественную проективную плоскость, неориентируема.

Закрытые поверхности [ править ]

Замкнутая поверхность является поверхностью , которая является компактной и без граничным . Примерами являются такие пространства, как сфера , тор и бутылка Клейна . Примеры незамкнутых поверхностей: открытый диск , представляющий собой сферу с проколом; цилиндр , который представляет собой сферу с двумя точками; и ленту Мебиуса . Как и в случае любого замкнутого многообразия , поверхность, вложенная в евклидово пространство, замкнутая относительно унаследованной евклидовой топологии , не обязательно является замкнутой поверхностью; например, диск, встроенный в${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ содержащая его границу, является топологически замкнутой, но не замкнутой поверхностью.

Классификация закрытых поверхностей [ править ]

Теорема классификации замкнутых поверхностей состояний , что любая связная замкнутая поверхность гомеоморфна некоторый член одного из этих трех семейств:

1. сфера
2. связная сумма в г торы для г ≥ 1,
3. связная сумма k вещественных проективных плоскостей при k ≥ 1.

Поверхности первых двух семейств ориентируемы . Эти два семейства удобно объединить, рассматривая сферу как связную сумму 0 торов. Число задействованных торов g называется родом поверхности. Сфера и тор имеют эйлеровы характеристики 2 и 0 соответственно, и в общем случае эйлерова характеристика связной суммы g торов равна 2 - 2 g .

Поверхности третьего семейства неориентируемые. Эйлерова характеристика реальной проективной плоскости равна 1, и в общем случае эйлерова характеристика связной суммы k из них равна 2 - k .

Отсюда следует, что замкнутая поверхность определяется с точностью до гомеоморфизма двумя частями информации: ее эйлеровой характеристикой и ориентируемостью она или нет. Другими словами, эйлерова характеристика и ориентируемость полностью классифицируют замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма.

Замкнутые поверхности с несколькими связными компонентами классифицируются по классу каждого из их связанных компонентов, и поэтому обычно предполагается, что поверхность связана.

Моноидная структура [ править ]

Связав эту классификацию со связными суммами, замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма образуют коммутативный моноид относительно операции связной суммы, как и многообразия любой фиксированной размерности. Тождество - это сфера, в то время как действительная проективная плоскость и тор порождают этот моноид с единственным соотношением P # P # P = P # T , которое также может быть записано P # K = P # T , поскольку K = P # P . Это соотношение иногда называют теоремой Дейка послеВальтер фон Дейк , который доказал это в ( Dyck 1888 ), и поверхность тройного креста P # P # P соответственно называется поверхностью Дика . ^[1]

Геометрически сумма соединения с тором ( # T ) добавляет ручку, оба конца которой прикреплены к одной и той же стороне поверхности, в то время как сумма соединения с бутылкой Клейна ( # K ) добавляет ручку с двумя концами, прикрепленными к противоположным сторонам ориентируемой поверхности; при наличии проективной плоскости ( # P ) поверхность не ориентируема (нет понятия стороны), поэтому нет никакой разницы между прикреплением тора и прикреплением бутылки Клейна, что объясняет соотношение.

Поверхности с границей [ править ]

Компактные поверхности, возможно с границами, представляют собой просто замкнутые поверхности с конечным числом отверстий (открытые диски, которые были удалены). Таким образом, связная компактная поверхность классифицируется по количеству граничных компонент и роду соответствующей замкнутой поверхности, что эквивалентно количеству граничных компонент, ориентируемости и эйлеровой характеристике. Род компактной поверхности определяется как род соответствующей замкнутой поверхности. ^{[ необходима цитата ]}

Эта классификация почти сразу следует из классификации замкнутых поверхностей: удаление открытого диска с замкнутой поверхности дает компактную поверхность с окружностью в качестве компонента границы, а удаление k открытых дисков дает компактную поверхность с k непересекающимися окружностями в качестве компонентов границы. Точное расположение дырок не имеет значения, поскольку группа гомеоморфизмов действует k -транзитивно на любом связном многообразии размерности не менее 2.

Наоборот, граница компактной поверхности является замкнутым 1-многообразием и, следовательно, представляет собой несвязное объединение конечного числа окружностей; заполнение этих кругов дисками (формально конус ) дает замкнутую поверхность.

Единственная компактная ориентируемая поверхность рода g с k граничными компонентами часто обозначается, например, при изучении группы классов отображений .${\ displaystyle \ Sigma _ {g, k},}$

Римановы поверхности [ править ]

Риманова поверхность представляет собой комплекс 1-многообразия. Таким образом, на чисто топологическом уровне риманова поверхность также является ориентируемой поверхностью в смысле этой статьи. Фактически всякая компактная ориентируемая поверхность реализуема как риманова поверхность. Таким образом, компактные римановы поверхности топологически характеризуются своим родом: 0, 1, 2, .... С другой стороны, род не характеризует комплексную структуру. Например, существует несчетное количество неизоморфных компактных римановых поверхностей рода 1 ( эллиптических кривых ).

Некомпактные поверхности [ править ]

Некомпактные поверхности сложнее классифицировать. В качестве простого примера, некомпактная поверхность может быть получена выкалыванием (удалением конечного набора точек) замкнутого многообразия. С другой стороны, любое открытое подмножество компактной поверхности само является некомпактной поверхностью; рассмотрим, например, дополнение множества Кантора на сфере, иначе известное как поверхность дерева Кантора . Однако не всякая некомпактная поверхность является подмножеством компактной поверхности; два канонических контрпримера - это лестница Якоба и монстр Лох-Несс , которые являются некомпактными поверхностями с бесконечным родом.

Некомпактная поверхность M имеет непустое пространство концов E ( M ), которое, неформально говоря, описывает пути, которыми поверхность «уходит в бесконечность». Пространство E ( M ) всегда топологически эквивалентно замкнутому подпространству канторова множества . М может иметь конечное или счетное число N _час ручек, а также конечное или счетное бесконечное число N _р о проективных плоскостей . Если и N _h, и N _pконечны, то эти два числа и топологический тип концевого пространства классифицируют поверхность M с точностью до топологической эквивалентности. Если одно или оба из N _h и N _p бесконечны, то топологический тип M зависит не только от этих двух чисел, но и от того, как бесконечное число (числа) приближается к пространству концов. В общем случае топологический тип M определяется четырьмя подпространствами E ( M ), которые являются предельными точками бесконечного числа ручек и бесконечного числа проективных плоскостей, предельными точками только ручек и ни одной из предельных точек. ^[2]

Поверхности, которые не считаются даже второстепенными [ править ]

Если убрать из определения поверхности предположение о второй счетности, то будут существовать (обязательно некомпактные) топологические поверхности, не имеющие счетной базы для своей топологии. Возможно, самый простой пример - это декартово произведение длинной строки на пространство действительных чисел.

Другой поверхностью, не имеющей счетной базы для своей топологии, но не требующей аксиомы выбора для доказательства своего существования, является многообразие Прюфера , которое можно описать простыми уравнениями, которые показывают, что оно является вещественно-аналитической поверхностью. Множество Прюфера можно рассматривать как верхнюю полуплоскость вместе с одним дополнительным «язычком» T _x, свисающим с нее непосредственно под точкой ( x , 0) для каждого действительного  x .

В 1925 году Тибор Радо доказал, что все римановы поверхности (т. Е. Одномерные комплексные многообразия ) обязательно являются второсчетными (теорема Радо ). Напротив, если заменить действительные числа при построении поверхности Прюфера на комплексные числа, получится двумерное комплексное многообразие (которое обязательно является 4-мерным вещественным многообразием) без счетной базы.

Доказательство [ править ]

Классификация замкнутых поверхностей известна с 1860-х годов ^[1], и сегодня существует ряд доказательств.

Топологические и комбинаторные доказательства в общем случае опираются на трудный результат о том, что каждое компактное 2-многообразие гомеоморфно симплициальному комплексу , который представляет самостоятельный интерес. Наиболее распространенное доказательство классификации ( Сеиферты & Трелфолл 1934 ) , ^[1] , который приносит каждую триангулированную поверхность в стандартную форму. Упрощенное доказательство, которое избегает стандартной формы, было обнаружено Джоном Х. Конвеем около 1992 года, которое он назвал «доказательством нулевой несоответствия» или «доказательством ZIP» и представлено в ( Francis & Weeks, 1999 ).ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSeifertThrelfall1934 ( справка )

Геометрическим доказательством, дающим более сильный геометрический результат, является теорема униформизации . Первоначально это было доказано только для римановых поверхностей в 1880-х и 1900-х годах Феликсом Кляйном , Полем Кебе и Анри Пуанкаре .

Поверхности в геометрии [ править ]

Многогранники , такие как граница куба , являются одними из первых поверхностей, встречающихся в геометрии. Также возможно определить гладкие поверхности , в которых каждая точка имеет окрестность, диффеоморфную некоторому открытому множеству в E ² . Эта разработка позволяет применять исчисление к поверхностям для доказательства многих результатов.

Две гладкие поверхности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они гомеоморфны. (Аналогичный результат не верен для многомерных многообразий.) Таким образом, замкнутые поверхности классифицируются с точностью до диффеоморфизма по их эйлеровой характеристике и ориентируемости.

Гладкие поверхности, снабженные римановой метрикой, имеют фундаментальное значение в дифференциальной геометрии . Риманова метрика наделяет поверхность понятиями геодезических , расстояния , угла и площади. Это также приводит к гауссовой кривизне , которая описывает, насколько изогнута или изогнута поверхность в каждой точке. Кривизна - это жесткое геометрическое свойство, поскольку оно не сохраняется при общих диффеоморфизмах поверхности. Однако знаменитая теорема Гаусса – Бонне для замкнутых поверхностей утверждает, что интеграл гауссовой кривизны K по всей поверхности S определяется эйлеровой характеристикой:

${\displaystyle \int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).}$

Этот результат иллюстрирует глубокую взаимосвязь между геометрией и топологией поверхностей (и, в меньшей степени, многомерных многообразий).

Другой способ возникновения поверхностей в геометрии - переход в комплексную область. Комплексное одномерное многообразие - это гладкая ориентированная поверхность, также называемая римановой поверхностью . Любая комплексная неособая алгебраическая кривая, рассматриваемая как комплексное многообразие, является римановой поверхностью.

Каждая замкнутая ориентируемая поверхность допускает сложную структуру. Комплексные структуры на замкнутой ориентированной поверхности соответствуют классам конформной эквивалентности римановых метрик на поверхности. Одна из версий теоремы униформизации (принадлежащая Пуанкаре ) утверждает, что любая риманова метрика на ориентированной замкнутой поверхности конформно эквивалентна существенно единственной метрике постоянной кривизны . Это обеспечивает отправную точку для одного из подходов к теории Тайхмюллера , который обеспечивает более тонкую классификацию римановых поверхностей, чем топологическая, только по эйлеровой характеристике.

Комплексная поверхность представляет собой комплекс из двух многообразна и , таким образом , настоящих четыре коллектора; это не поверхность в смысле этой статьи. Ни алгебраические кривые не определены над полями, кроме комплексных чисел, ни алгебраические поверхности не определены над полями, отличными от действительных чисел.

См. Также [ править ]

• Граница (топология)
• Форма объема , для объемов поверхностей в E ⁿ
• Метрика Пуанкаре , для метрических свойств римановых поверхностей
• Римская поверхность
• Поверхность мальчика
• Тетрагемигексаэдр
• Скомканная поверхность , недифференцируемая поверхность , полученная путем деформации (смятия) дифференцируемой поверхности.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дайк, Вальтер (1888), "Beiträge zur Analysis situs I", Math. Анна. , 32 : 459-512, DOI : 10.1007 / bf01443580

Симплициальные доказательства классификации с точностью до гомеоморфизма [ править ]

• Зейферт, Герберт; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии , чистой и прикладной математики, 89 , Academic Press, ISBN 0126348502, Английский перевод классического немецкого учебника 1934 г.
• Альфорс, Ларс В .; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press, Глава I
• Маундер, CRF (1996), Алгебраическая топология , Dover Publications, ISBN 0486691314, Кембриджский бакалавриат
• Мэсси, Уильям С. (1991). Базовый курс алгебраической топологии . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X.
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN 3540330658, для замкнутых ориентированных римановых многообразий

Теоретико-морсовские доказательства классификации с точностью до диффеоморфизма [ править ]

• Хирш М. (1994), Дифференциальная топология (2-е изд.), Springer
• Голд, Дэвид Б. (1982), Дифференциальная топология: введение , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 72 , Марсель Деккер, ISBN 0824717090
• Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии , CRC Press, ISBN 9781439831601, тщательное доказательство, предназначенное для студентов
• Грэмэн, Андре (1984). Топология поверхностей . BCS Associates. ISBN 0-914351-01-X. (Оригинальные заметки к курсу Орсе 1969-70 гг. На французском языке для "Topologie des Surfaces")
• А. Чампанеркар; и др., Классификация поверхностей с помощью теории Морса (PDF) , изложение заметок Грамейна

Другие доказательства [ править ]

• Лоусон, Терри (2003), Топология: геометрический подход , Oxford University Press, ISBN 0-19-851597-9, аналогично теоретическому доказательству Морса, использующему скольжение прикрепленных ручек
• Фрэнсис, Джордж К .; Недели, Джеффри Р. (май 1999), "Конвея ZIP Proof" (PDF) , American Mathematical Monthly , 106 (5): 393, DOI : 10,2307 / 2589143 , JSTOR  2589143 , архивируются от оригинала (PDF) на 2010-06 -12, страница обсуждает статью: О почтовом доказательстве Конвея
• Томассен, Карстен (1992), "Теорема Джордана-Шенфлиса и классификация поверхностей", Amer. Математика. Ежемесячно , 99 (2): 116-13, DOI : 10,2307 / 2324180 , JSTOR  2324180, краткое элементарное доказательство с использованием остовных графов
• Прасолов, В. В. (2006), Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии , Аспирантура по математике, 74 , Американское математическое общество, ISBN 0821838091, содержит краткое изложение доказательства Томассена

Внешние ссылки [ править ]

Найдите поверхность в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Классификация компактных поверхностей в проекте Mathifold
• Классификация поверхностей и теорема о кривой Жордана на домашней странице Эндрю Раницки
• Галерея математических поверхностей с 60 ~ поверхностями и Java-апплетом для просмотра вращения в реальном времени
• Анимация математических поверхностей с использованием JavaScript (Canvas HTML) для просмотра вращения десятков поверхностей
• Конспект лекций З. Федоровича «Классификация поверхностей »
• История и искусство поверхностей и их математические модели
• 2-многообразия в Manifold Atlas