Бутылка Клейна

Двумерное представление бутылки Клейна погружают в трехмерном пространстве

Структура трехмерной бутылки Клейна

В топологии , ветвь математики , то бутылка Клейна ( / к л aɪ п / ) является примером неориентируемом поверхности ; это двумерное многообразие, относительно которого нельзя последовательно определить систему для определения вектора нормали . Неформально, это односторонняя поверхность, по которой, если пройти по ней, можно будет проследить до исходной точки, переворачивая путешественника вверх ногами. Другие связанные неориентируемые объекты включают ленту Мёбиуса и реальную проективную плоскость.. В то время как лента Мебиуса - это поверхность с границей , бутылка Клейна не имеет границы. Для сравнения: сфера - это ориентируемая поверхность без границ.

Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Кляйном .

Строительство [ править ]

Следующий квадрат - это фундаментальный многоугольник бутылки Клейна. Идея состоит в том, чтобы «склеить» соответствующие цветные края со стрелками, как на схемах ниже. Обратите внимание, что это «абстрактное» склеивание в том смысле, что попытка реализовать это в трех измерениях приводит к самопересекающейся бутылке Клейна.

Чтобы построить бутылку Клейна, склейте вместе красные стрелки квадрата (левая и правая стороны), в результате получится цилиндр. Чтобы склеить концы цилиндра вместе так, чтобы стрелки на кругах совпадали, нужно продеть один конец через боковую часть цилиндра. Это создает круг самопересечения - это погружение бутылки Клейна в трех измерениях.

Это погружение полезно для визуализации многих свойств бутылки Клейна. Например, бутылка Клейна не имеет границы , где поверхность резко останавливается, и она неориентируема , что отражается в односторонности погружения.

Обычная физическая модель бутылки Клейна представляет собой аналогичную конструкцию. В Музее науки в Лондоне выставлена ​​коллекция выдувных вручную стеклянных бутылок Клейна, демонстрирующих множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датируются 1995 годом и были изготовлены для музея Аланом Беннеттом . ^[1]

Бутылка Клейна сама по себе не пересекается. Тем не менее, есть способ визуализировать бутылку Клейна как содержащуюся в четырех измерениях. Добавив четвертое измерение к трехмерному пространству, можно устранить самопересечение. Осторожно вытолкните кусок трубы, содержащий пересечение по четвертому измерению, из исходного трехмерного пространства. Полезная аналогия - рассмотреть самопересекающуюся кривую на плоскости; самопересечения можно устранить, приподняв одну прядь с плоскости.

Предположим для пояснения, что мы принимаем время как это четвертое измерение. Рассмотрим, как можно построить фигуру в xyzt -пространстве. Прилагаемая иллюстрация («Временная эволюция ...») показывает одну полезную эволюцию фигуры. При t = 0 стенка прорастает из бутона где-то рядом с точкой «пересечения». После того, как фигура на некоторое время выросла, самая ранняя часть стены начинает отступать, исчезая, как Чеширский кот, но оставляя за собой постоянно расширяющуюся улыбку. К тому времени, когда фронт роста достигает того места, где был зародыш, там уже нечего пересекать, и рост завершается без повреждения существующей структуры. 4-фигура, как определено, не может существовать в 3-м пространстве, но легко понимается в 4-м пространстве.

Более формально бутылка Клейна - это фактор-пространство, описываемое как квадрат [0,1] × [0,1] со сторонами, определяемыми соотношениями (0, y ) ~ (1, y ) для 0 ≤ y ≤ 1 и ( x , 0) ~ (1 - x , 1) для 0 ≤ x ≤ 1 .

Свойства [ править ]

Как и лента Мёбиуса , бутылка Клейна представляет собой двумерное многообразие, которое не ориентируется . В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края. В то время как лента Мебиуса может быть вложена в трехмерное евклидово пространство R ³ , бутылка Клейна - нет. Однако он может быть встроен в R ⁴ .

Бутылку Клейна можно рассматривать как расслоение волокон над окружностью S ¹ со слоем S ¹ следующим образом: квадрат (по модулю ребра, идентифицирующего отношение эквивалентности) сверху берется как E , общее пространство, а базовое пространство B задается единичным интервалом в y по модулю 1 ~ 0 . Тогда проекция π: E → B задается формулой π ([ x , y ]) = [ y ] .

Бутылка Клейна может быть построена (в четырехмерном пространстве, потому что в трехмерном пространстве это невозможно сделать, не позволяя поверхности пересекаться сама с собой), соединяя края двух (зеркальных) полос Мебиуса вместе, как описано в следующем лимерике . Лео Мозер : ^[2]

Математик по имени Кляйн
считал, что лента Мебиуса божественна.
     Сказал он: «Если склеить
     края двух,
получится странная бутылка, как у меня».

Первоначального строительства бутылки Клейна, идентифицируя противоположные края квадрата показывает , что бутылка Клейна может быть дан комплексный CW структуру с одной 0-клеток P , две 1-клетки C ₁ , C ₂ и один 2-клеток D . Следовательно, его эйлерова характеристика равна 1 - 2 + 1 = 0 . Граничный гомоморфизм задается ∂ D = 2 C ₁ и ∂ C ₁ = ∂ C ₁ = 0 , получая группы гомологии бутылки Клейна K , чтобы быть H₀ ( K , Z ) = Z , H ₁ ( K , Z ) = Z × ( Z / 2 Z ) и H _n ( K , Z ) = 0 для n > 1 .

Существует покрывающая карта 2-1 от тора до бутылки Клейна, потому что две копии фундаментальной области бутылки Клейна, одна из которых помещается рядом с зеркальным отображением другой, образуют фундаментальную область тора. Универсальное накрытие оба торы и бутылки Клейна является плоскость R ² .

Фундаментальная группа бутылки Клейна может быть определена как группа скольжений универсальной крышки и имеет представление ⟨ , б | AB = Ь ^-1 ⟩ .

Шести цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на поверхности бутылки Клейна; это единственное исключение из гипотезы Хивуда , обобщение теоремы о четырех цветах , для которого потребовалось бы семь.

Бутылка Клейна гомеоморфна связной сумме двух проективных плоскостей . Он также гомеоморфен сфере плюс две поперечные шапки .

Будучи вложенной в евклидово пространство, бутылка Клейна односторонняя. Однако существуют и другие топологические 3-пространства, и в некоторых из неориентируемых примеров бутылка Клейна может быть встроена так, что она двусторонняя, хотя из-за природы пространства она остается неориентируемой. ^[3]

Рассечение [ править ]

Разделение бутылки Клейна пополам вдоль ее плоскости симметрии приводит к двум полоскам Мёбиуса в зеркальном отражении , то есть одна с левым полувручением, а другая с правым полувращением (одна из них изображена справа) . Помните, что изображенного перекрестка на самом деле нет.

Простые замкнутые кривые [ править ]

Одно описание типов простых замкнутых кривых, которые могут появляться на поверхности бутылки Клейна, дается с использованием первой группы гомологии бутылки Клейна, рассчитанной с целочисленными коэффициентами. Эта группа изоморфна Z × Z ₂. С точностью до смены ориентации единственными классами гомологий, которые содержат простые замкнутые кривые, являются следующие: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Вплоть до изменения ориентации простой замкнутой кривой, если она лежит внутри одной из двух перемычек, составляющих бутылку Клейна, то она находится в классе гомологии (1,0) или (1,1); если он разрезает бутылку Клейна на две ленты Мёбиуса, то она находится в классе гомологии (2,0); если он разрезает бутылку Клейна на кольцо, то он находится в классе гомологии (0,1); и если ограничивает круг, то он находится в классе гомологий (0,0).

Параметризация [ править ]

Погружение в фигуру 8 [ править ]

Чтобы выполнить погружение бутылки Клейна в виде «восьмерки» или «бублика» , можно начать с ленты Мебиуса и скрутить ее, чтобы край приблизился к средней линии; поскольку есть только один край, он встретится там, проходя через среднюю линию. Он имеет особенно простую параметризацию в виде тора в форме восьмерки с полувручением:

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ left (r + \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ sin 2v \ right ) \ cos \ theta \\ y & = \ left (r + \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin \ theta \\ z & = \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ sin 2v \ end {align}}}$

для 0 ≤ θ <2π, 0 ≤ v <2π и r > 2.

В этом погружении круг самопересечения (где sin ( v ) равен нулю) представляет собой геометрический круг в плоскости xy . Положительная постоянная r - это радиус этой окружности. Параметр θ дает угол в плоскости xy, а также поворот фигуры 8, а v указывает положение вокруг 8-образного поперечного сечения. С указанной выше параметризацией поперечное сечение представляет собой кривую Лиссажу 2: 1 .

4-D непересекающиеся [ править ]

Непересекающуюся четырехмерную параметризацию можно смоделировать после плоского тора :

${\displaystyle \ {\begin{aligned}x&=R\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\cos v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\y&=R\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\cos v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\z&=P\cos \theta \left(1+{\epsilon }\sin v\right)\\w&=P\sin \theta \left(1+{\epsilon }\sin v\right)\end{aligned}}}$

где R и P - константы, определяющие соотношение сторон, θ и v аналогичны определенным выше. v определяет положение вокруг восьмерки, а также положение в плоскости xy. θ также определяет угол поворота восьмерки и положение вокруг плоскости zw. ε - любая малая константа, а ε sin v - небольшая зависящая от v выпуклость в пространстве zw, чтобы избежать самопересечения. vвыпуклость заставляет самопересекающуюся 2-мерную / плоскую фигуру-8 распространяться в 3-мерную стилизованную "картофельную фишку" или форму седла в пространстве xyw и xyz, видимом с края. Когда ε = 0, самопересечение представляет собой окружность в плоскости zw <0, 0, cos θ , sin θ >.

3D защемленный тор / 4D трубка Мёбиуса [ править ]

Сжатый тор - это, пожалуй, простейшая параметризация бутылки Клейна как в трех, так и в четырех измерениях. Это тор, который в трех измерениях сплющивается и проходит через себя с одной стороны. К сожалению, в трех измерениях эта параметризация имеет две точки защемления, что делает ее нежелательной для некоторых приложений. В четырех измерениях амплитуда z превращается в амплитуду w, и здесь нет самопересечений или точек защемления.

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\\w(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Можно рассматривать это как трубу или цилиндр, которые обвиваются вокруг, как в торе, но его круглое поперечное сечение переворачивается в четырех измерениях, представляя его «заднюю сторону» при повторном соединении, точно так же, как поперечное сечение ленты Мёбиуса вращается перед повторным соединением. Трехмерная ортогональная проекция этого - сжатый тор, показанный выше. Так же, как лента Мёбиуса является подмножеством полнотория, трубка Мёбиуса является подмножеством тороидально замкнутого сфериндра (solid spheritorus ).

Форма бутылки [ править ]

Параметризация трехмерного погружения самой бутылки намного сложнее.

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}}$

для 0 ≤ u <π и 0 ≤ v <2π.

Гомотопические классы [ править ]

Регулярные трехмерные вложения бутылки Клейна делятся на три обычных гомотопических класса (четыре, если их раскрашивать). ^[4] Эти три представлены:

1. «Традиционная» бутылка Клейна
2. Бутылка Клейна в форме восьмерки для левой руки
3. Бутылка Клейна в форме восьмерки для правой руки

Традиционное вложение бутылок Кляйна ахирально . Вложение в виде восьмерки является киральным (приведенное выше вложение с защемленным тором не является правильным, так как оно имеет точки защемления, поэтому в этом разделе оно не имеет значения). Три приведенных выше вложения не могут быть плавно преобразованы друг в друга в трех измерениях. Если традиционную бутылку Клейна разрезать вдоль, она распадается на две противоположно хиральные полосы Мебиуса.

Если разрезать левую бутылку Клейна в форме восьмерки, она распадается на две левые полоски Мёбиуса, и аналогично для правой бутылки Клейна в форме восьмерки.

Раскрашивание традиционной бутылки Клейна в два цвета вызывает на ней хиральность, создавая четыре гомотопических класса.

Обобщения [ править ]

Обобщение бутылки Клейна на высший род дается в статье о фундаментальном многоугольнике .

В другом порядке идей, построение 3-многообразия , известно , что твердая бутылка Клейна является гомеоморфно к декартову произведению в виде ленты Мёбиуса и отрезке. Твердое вещество бутылка Клейна является неориентируемо версия твердых тора , что эквивалентно${\displaystyle D^{2}\times S^{1}.}$

Поверхность Клейна [ править ]

Клейна поверхность является, как и для риманов поверхностей , поверхность с атласом , позволяющим переход карты будет состоять используя комплексное сопряжение . Можно получить так называемую дианалитическую структуру пространства.

См. Также [ править ]

• Алгебраическая топология
• Вселенная Алисы
• Систолическое неравенство бутылки Клейна Бавара
• Поверхность мальчика

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с бутылкой Клейна .

• Математика визуализации - Бутылка Клейна
• Самая большая бутылка Кляйна в мире
• Анимация «Бутылка Кляйна»: создана для семинара по топологии в Университете Лейбница в Ганновере.
• Анимация «Бутылка Кляйна» 2010 года, включающая поездку на автомобиле через бутылку и оригинальное описание Феликса Кляйна: произведено в Свободном университете Берлина.
• Бутылка Клейна , XScreenSaver «взлом». Заставка для X 11 и OS X с анимированной бутылкой Клейна.