Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Бутылка Клейна , погружают в 3-пространстве.
Для закрытого погружения в алгебраическую геометрию см. Закрытое погружение .

В математике , погружение является дифференцируемой функцией от дифференцируемых многообразий которых производная всюду инъективно . [1] В явном виде f  : M → N является погружением, если

инъективный функции в каждой точке р из М (где Т р Х обозначает касательное пространство многообразия X в точке р в X ). Эквивалентно, f является погружением, если его производная имеет постоянный ранг, равный размерности M : [2]

Сама функция f не обязательно должна быть инъективной, должна быть только ее производная.

Связанное понятие - это вложение . Гладкое вложение инъективная погружения F  : M → N , который также является топологическим вложением , так что М является диффеоморфен его образ в N . Погружения именно локальное вложение - то есть, для любой точки х ∈ М существует окрестность , U ⊆ М , из х , таких , что F  : U → N является вложением, и , наоборот , локальное вложение является погружением. [3]Для бесконечномерных многообразий это иногда принимают за определение погружения. [4]

Инъективно погруженное подмногообразие , не являющееся вложением.

Если M является компактным , инъективной погружение является вложением, но если М не компактно , то инъективные погружения не должны быть вложениями; сравните с непрерывными биекциями против гомеоморфизмов .

Регулярная гомотопия [ править ]

Регулярная гомотопия между двумя погружениями F и г из в многообразии М к многообразию N определяется как дифференцируемая функция Н  : М × [0,1] → N такое , что для всех т в [0, 1] функции Н т  : M → N, определенное формулой H t ( x ) = H ( x , t ) для всех x ∈ M, является погружением, причем H0 = f , H 1 = g . Таким образом, регулярная гомотопия - это гомотопия через погружения.

Классификация [ править ]

Хаслер Уитни инициировал систематическое исследование погружений и регулярных гомотопий в 1940 - х годах, доказывает , что за 2 м < п +- каждое отображение ф  : М м → N п из м - мерного многообразия к п - мерному многообразию гомотопное до погружения , и фактически к вложению при 2 m < n ; они являются теорема погружения Уитни и Уитни теоремы вложения .

Стивен Смейл выразил регулярные гомотопические классы погружений f  : M m → R n как гомотопические группы некоторого многообразия Штифеля . Сфера выворот был особенно ярким следствием.

Моррис Хирш обобщил выражение Смейла до описания гомотопической теории регулярных гомотопических классов погружений любого m -мерного многообразия M m в любое n -мерное многообразие N n .

Классификация погружений Хирша-Смейла была обобщена Михаилом Громовым .

Существование [ править ]

Мёбиус не погружать в коразмерности 0 , так как его касательное расслоение нетривиально.

Первичное препятствие к существованию погружения я  : М м → R п является стабильным нормальным расслоением на М , как детектировано с помощью своих характеристических классов , в частности ее классами Штифеля-Уитне . То есть, поскольку R п является параллелизуемым , прообраз его касательного расслоения к М тривиально; так как этот набор представляет собой прямую сумму касательного расслоения на M , TM , имеющего размерность m , и нормального расслоения ν погруженияi , которое имеет размерность n - m , для того чтобы было погружение M коразмерности k , должно существовать векторное расслоение размерности k , ξ k , заменяющее нормальное расслоение ν , такое, что TM ⊕ ξ k тривиально. Наоборот, для данного расслоения погружение M с этим нормальным расслоением эквивалентно погружению коразмерности 0 всего пространства этого расслоения, которое является открытым многообразием.

Стабильное нормальное расслоение - это класс нормальных расслоений плюс тривиальных расслоения, и, таким образом, если стабильное нормальное расслоение имеет когомологическую размерность k , оно не может происходить из (нестабильного) нормального расслоения размерности меньше k . Таким образом, размерность когомологий стабильного нормального расслоения, обнаруженная его высшим отличным от нуля характеристическим классом, является препятствием для погружений.

Поскольку характеристические классы умножаются при прямой сумме векторных расслоений, это препятствие может быть внутренне сформулировано в терминах пространства M, его касательного расслоения и алгебры когомологий. Это препятствие было сформулировано (в терминах касательного расслоения, а не стабильного нормального расслоения) Уитни.

Например, лента Мёбиуса имеет нетривиальное касательное расслоение, поэтому она не может погружаться в коразмерность 0 (в R 2 ), хотя она вкладывается в коразмерность 1 (в R 3 ).

Уильям С. Мэсси  ( 1960 ) показал, что эти характеристические классы (классы Штифеля – Уитни стабильного нормального расслоения) обращаются в нуль выше степени n - α ( n ) , где α ( n ) - количество цифр "1", когда n равно записано в двоичном формате; эта оценка точна, поскольку реализуется в реальном проективном пространстве . Это свидетельствовало о гипотезе погружения , а именно, что каждое n -многообразие может быть погружено в коразмерность n - α ( n ) , т. Е. В R 2 n−α ( п ) . Эта гипотеза была доказана Ральфом Коэном  ( 1985 ).

Codimension 0 [ править ]

Коразмерность 0 иммерсия эквивалентно относительные измерения 0 субмерсий , и лучше рассматривать как погружения. Погружение замкнутого многообразия коразмерности 0 - это в точности накрывающее отображение , т. Е. Расслоение с 0-мерным (дискретным) слоем. По теореме Эресмана и теореме Филлипса о субмерсиях, собственное субмерсии многообразий является расслоением, поэтому погружения / субмерсии коразмерности / относительной размерности 0 ведут себя как субмерсии.

Кроме того, погружения коразмерности 0 не ведут себя как другие погружения, которые в значительной степени определяются стабильным нормальным расслоением: в коразмерности 0 возникают проблемы фундаментального класса и покрывающих пространств. Например, не существует погружения S 1 → R 1 коразмерности 0 , несмотря на то, что окружность распараллеливаема, что можно доказать, потому что прямая не имеет фундаментального класса, поэтому не получается требуемое отображение на верхних когомологиях. Или же это из-за неизменности домена . Точно так же, хотя S 3 и 3-тор T 3 оба параллелизуются, погружения T 3 → S 3 нет. - любое такое покрытие должно было бы иметь разветвление в некоторых точках, поскольку сфера односвязна.

Другой способ понимания этого состоит в том, что погружение многообразия коразмерности k соответствует погружению коразмерности 0 k -мерного векторного расслоения, которое является открытым многообразием, если коразмерность больше 0, но замкнутому многообразию коразмерности 0 ( если исходный коллектор закрыт).

Несколько точек [ править ]

К -кратной точкой (двойной, тройной и т.д.) погружения F  : M → N является неупорядоченным множеством { х 1 , ..., х к } различных точек х я ∈ M с тем же изображением F ( х я ) ∈ N . Если M - m -мерное многообразие и N - n -мерное многообразие, то для погружения f  : M → N вобщего положения множество k -элементных точек представляет собой ( n - k ( n - m )) -мерное многообразие. Каждое вложение - это погружение без кратных точек (где k > 1 ). Обратите внимание, однако, что обратное неверно: есть инъективные погружения, которые не являются вложениями.

Характер множественных точек классифицирует погружения; например, погружения круга в плоскость классифицируются с точностью до регулярной гомотопии по количеству двойных точек.

В ключевой момент в теории перестроек необходимо решить , если погружной F  : S м → N 2 м от с м -сфера в 2 м - мерное многообразие является регулярной гомотопным вложением, в этом случае он может быть убит хирургия. Стена , связанные с й инвариантным ц ( ф ) в частном от фундаментальной группы кольца Z [ π 1 ( Н )] , который подсчитывает двойные точки F в универсальной крышке изN . Для т > 2 , е является регулярным гомотопным вложением тогда и только тогда , когда μ ( F ) = 0 по Уитне трюка.

Можно изучать вложения как «погружения без множества точек», поскольку погружения легче классифицировать. Таким образом, можно начать с погружений и попытаться устранить несколько точек, чтобы посмотреть, можно ли это сделать, не вводя другие особенности - изучая «множественные дизъюнкции». Впервые это было сделано Андре Хефлигером , и этот подход плодотворен в коразмерности 3 или более - с точки зрения теории хирургии, это «высокое (со) измерение», в отличие от коразмерности 2, которая является размерностью узлов, как в случае с узлом теория . Он категорически изучается с помощью « исчисления функторов » Томаса Гудвилли , Джона Кляйна и Майкла С. Вайсса .

Примеры и свойства [ править ]

  • Бутылка Клейна , а все остальные неориентируемые замкнутые поверхности, могут быть погружены в 3-пространстве , но не встроены.
Квадрифолий , 4-лепестками розы.
  • Математическая роза с k лепестками - это погружение круга в плоскость с одной точкой k -набора; k может быть любым нечетным числом, но если четное должно быть кратно 4, то цифра 8 не роза.
  • По теореме Уитни – Граустейна регулярные гомотопические классы погружений окружности в плоскость классифицируются по числу витков , которое также является числом двойных точек, подсчитываемых алгебраически (то есть со знаками).
  • Сфера может быть вывернута наизнанку : стандартным вложение F 0  : S 2 → R 3 связан с F 1 = - ф 0  : S 2 → R 3 путем регулярной гомотопностью погружений ф т  : S 2 → R 3 .
  • Поверхность Мальчика - это погружение реальной проективной плоскости в 3-мерное пространство; таким образом, также происходит погружение сферы 2 к 1.
  • Поверхность Морин является погружением сферы; и она, и поверхность Боя возникают как промежуточные модели в вывороте сферы.

  • Поверхность мальчика

  • Поверхность Morin

Кривые погруженной плоскости [ править ]

Эта кривая имеет общую кривизну  6 π и число поворота  3, хотя она имеет только число витков  2 вокруг  p .
Основные статьи: теорема Уитни – Граустейна , полная кривизна и число поворота

Кривые в погруженной плоскости имеют четко определенное число поворота , которое можно определить как общую кривизну, деленную на 2 π . Это инвариантно относительно регулярной гомотопии по теореме Уитни – Граустейна - топологически это степень отображения Гаусса или, что эквивалентно, число витков единичной касательной (которое не обращается в нуль) относительно начала координат. Далее, это полный набор инвариантов - любые две плоские кривые с одинаковым числом поворота являются правильными гомотопными.

Каждая кривая погруженной плоскости поднимается до кривой вложенного пространства через разделение точек пересечения, что неверно в высших измерениях. С добавлением данных (какая нить находится сверху) кривые в погруженной плоскости дают диаграммы узлов , которые представляют центральный интерес в теории узлов . В то время как погруженные плоские кривые с точностью до регулярной гомотопии определяются числом их поворота, узлы имеют очень богатую и сложную структуру.

Погруженные поверхности в 3-м пространстве [ править ]

Изучение погруженных поверхностей в 3-м пространстве тесно связано с изучением узловых (вложенных) поверхностей в 4-мерном пространстве по аналогии с теорией узловых диаграмм (погруженных плоских кривых (2-пространства) как проекций узловых кривых в 3-м пространстве). -пространство): заданная узловая поверхность в 4-м пространстве, ее можно спроецировать на погруженную поверхность в 3-м пространстве, и, наоборот, учитывая погруженную поверхность в 3-м пространстве, можно спросить, поднимается ли она в 4-мерное пространство - является ли это проекция узловой поверхности в 4-м пространстве? Это позволяет задавать вопросы об этих объектах.

Основной результат, в отличие от случая плоских кривых, заключается в том, что не каждая погруженная поверхность поднимается до узловатой поверхности. [5] В некоторых случаях препятствие 2-кручение, например , как в примере Koschorke в , [6] , который является погруженной поверхностью (образованной из 3 Мёбиуса полос с тройной точкой ) , что не снимает с накатанной поверхностью, но его имеет двойную крышку, которая поднимается. Подробный анализ дан в Carter & Saito (1998) , а более свежий обзор дан в Carter, Kamada & Saito (2004) .

Обобщения [ править ]

Основная статья: принцип гомотопии

Глубоким обобщением теории погружения является принцип гомотопии : можно рассматривать условие погружения (ранг производной всегда k ) как отношение в частных производных (PDR), поскольку его можно сформулировать в терминах частных производных от функция. Тогда теория погружения Смейла – Хирша является результатом того, что она сводится к теории гомотопии, а принцип гомотопии дает общие условия и причины, по которым PDR сводятся к теории гомотопии.

См. Также [ править ]

  • Погруженное подмногообразие
  • Изометрическое погружение
  • Погружение

Примечания [ править ]

  1. ^ Это определение дано Bishop & Crittenden 1964 , p. 185, Дарлинг 1994 , стр. 53, ду Карму 1994 , стр. 11, Франкель 1997 , стр. 169, Галлот, Хулин и Лафонтен 2004 , стр. 12, Кобаяси и Номидзу 1963 , стр. 9, Косинский 2007 , стр. 27, Секерес 2004 , стр. 429.
  2. ^ Это определение дано Crampin & Pirani 1994 , p. 243, Спивак 1999 , стр. 46.
  3. ^ Такого рода определение, основанное на локальных диффеоморфизмах, дано Бишопом и Голдбергом, 1968 , с. 40, Lang 1999 , стр. 26.
  4. ^ Такого рода бесконечномерное определение дано Лангом 1999 , стр. 26.
  5. ^ Картер и Сайто 1998 ; Картер, Камада и Сайто 2004 , замечание 1.23, стр. 17
  6. ^ Koschorke 1979

Ссылки [ править ]

  • Адачи, Масахиса (1993), вложения и погружения , ISBN 978-0-8218-4612-4, перевод Кики Хадсон
  • Арнольд, VI ; Варченко, АН; Гусейн-Заде С.М. (1985), Особенности дифференцируемых отображений: Том 1 , Биркхойзер, ISBN 0-8176-3187-9
  • Епископ Ричард Лоуренс ; Криттенден, Ричард Дж. (1964), Геометрия многообразий , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 978-0-8218-2923-3
  • Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
  • Брюс, JW; Гиблин, П.Дж. (1984), Кривые и особенности , Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4
  • Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998), "Поверхности в 3-м пространстве, которые не поднимаются до вложений в 4-пространство", Теория узлов (Варшава, 1995) , Banach Center Publ., 42 , Polish Acad. Sci., Варшава, стр. 29–47, CiteSeerX  10.1.1.44.1505 , MR  1634445.
  • Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998), Поверхности с узлами и их диаграммы , Математические обзоры и монографии, 55 , с. 258, ISBN 978-0-8218-0593-0
  • Картер, Скотт; Камада, Сейичи; Сайто, Масахико (2004), Поверхности в 4-м пространстве , Энциклопедия математических наук, 142 , Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-662-10162-9 , ISBN 3-540-21040-7, Руководство по ремонту  2060067.
  • Коэн, Ральф Л. (1985), "Погружение гипотеза для дифференцируемых многообразий", Анналы математики , второй серии 122 (2): 237-328, DOI : 10,2307 / 1971304 , МР  0808220.
  • Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994), Применимая дифференциальная геометрия , Кембридж, Англия: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23190-9
  • Дарлинг, Ричард Уильям Рамзи (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
  • ду Карму, Манфредо Пердигау (1994), риманова геометрия , ISBN 978-0-8176-3490-2
  • Франкель, Теодор (1997), Геометрия физики , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-38753-1
  • Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20493-0
  • Громов М. (1986), Отношения с частными производными , Springer, ISBN 3-540-12177-3
  • Hirsch, Моррис У. (1959), "Погружение многообразий", Труды Американского математического общества , 93 : 242-276, DOI : 10,2307 / 1993453 , MR  0119214.
  • Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, том 1 , Нью-Йорк: Wiley-Interscience
  • Koschorke, Ulrich (1979), "Несколько точек погружений, и теорема Кана-Priddy", Mathematische Zeitschrift , 169 (3): 223-236, DOI : 10.1007 / BF01214837 , MR  0554526.
  • Косинский, Антони Альберт (2007) [1993], Дифференциальные многообразия , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46244-8
  • Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии , Тексты для выпускников по математике, Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-98593-0
  • Massey, WS (1960), " К вопросу о классах Штифеля-Уитни многообразия", Американский журнал математики , 82 : 92-102, DOI : 10,2307 / 2372878 , MR  0111053.
  • Smale, Стивен (1958), "Классификация погружений двумерный сферы", Труды Американского математического общества , 90 : 281-290, DOI : 10,2307 / 1993205 , MR  0104227.
  • Smale, Стивен (1959), "Классификация погружений сфер в евклидовых пространств", Анналы математики , вторая серия, 69 : 327-344, DOI : 10,2307 / 1970186 , MR  0105117.
  • Спивак, Майкл (1999) [1970], Комплексное введение в дифференциальную геометрию (Том 1) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-70-5
  • Спринг, Дэвид (2005), «Золотой век теории погружения в топологии: 1959–1973: математический обзор с исторической точки зрения», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 42 (2): 163–180, CiteSeerX  10.1.1.363.913 , DOI : 10,1090 / S0273-0979-05-01048-7 , МР  2133309.
  • Секерес, Питер (2004), Курс современной математической физики: группы, гильбертово пространство и дифференциальная геометрия , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82960-1
  • Wall, CTC (1999), Хирургия компактных многообразий (PDF) , Математические обзоры и монографии, 69 (второе издание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, DOI : 10.1090 / Surv / 069 , ISBN 0-8218-0942-3, MR  1687388.

Внешние ссылки [ править ]

  • Погружение в Атлас Манифольда
  • Погружение многообразия в энциклопедии математики