В математической области топологии , регулярная гомотопия относится к особому виду гомотопности между погружениями одного коллектора в другой. Гомотопия должна быть однопараметрическим семейством погружений.
Подобно гомотопическим классам , каждый определяет два погружения в один и тот же регулярный гомотопический класс, если между ними существует регулярная гомотопия. Регулярная гомотопия для иммерсий подобна изотопии вложений: они оба являются ограниченными типами гомотопий. Другими словами, две непрерывные функции гомотопны, если они представляют точки в одних и тех же компонентах пути пространства отображений , учитывая компактно-открытую топологию . Пространство погружений является подпространством состоящий из иммерсий, обозначаемых . Два погруженияявляемся регулярно гомотопны , если они представляют собой точку в том же пути-составляющей.
Примеры
Теорема Уитни – Граустейна. классифицирует регулярные гомотопические классы окружности на плоскости; два погружения регулярно гомотопны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число поворота - то есть полную кривизну ; эквивалентно, тогда и только тогда, когда их карты Гаусса имеют одинаковую степень / число витков .
Стивен Смейл классифицировал регулярные гомотопические классы k -сферы, погруженной в- они классифицируются гомотопические группы по Штифеля , который является обобщением гауссова отображения, с здесь K частных производных не обращается в нуль. Точнее набор регулярных гомотопических классов вложений сферы в находится во взаимно однозначном соответствии с элементами группы . В случае у нас есть . С подключен ли путь, а также и по теореме периодичности Ботта имеем и с тех пор тогда у нас есть . Поэтому все погружения сфер а также в евклидовых пространствах еще одной размерности регулярно гомотопны. В частности, сферы встроенный в признать эверсию, если . Следствием его работы является то, что существует только один регулярный гомотопический класс 2- сферы, погруженной в. В частности, это означает, что вывернутые сферы существуют, т.е. можно вывернуть 2-сферу «наизнанку».
Оба этих примера состоят в сведении регулярной гомотопии к гомотопии; Впоследствии это было существенно обобщено в подходе принципа гомотопии (или h- принципа ).
Рекомендации
- Уитни, Хасслер (1937). «О правильных замкнутых кривых на плоскости» . Compositio Mathematica . 4 : 276–284.
- Смейл, Стивен (февраль 1959). «Классификация погружений двух сфер» (PDF) . Труды Американского математического общества . 90 (2): 281–290. DOI : 10.2307 / 1993205 . JSTOR 1993205 .
- Смейл, Стивен (март 1959). «Классификация погружений сфер в евклидовы пространства» (PDF) . Анналы математики . 69 (2): 327–344. DOI : 10.2307 / 1970186 . JSTOR 1970186 .