Гомотопическая группа

В математике , гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первая и простейшая гомотопическая группа - это фундаментальная группа , которая записывает информацию о петлях в пространстве . Интуитивно гомотопические группы записывают информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства.

Для определения n -й гомотопической группы сохраняющие базовую точку отображения из n -мерной сферы (с базовой точкой ) в данное пространство (с базовой точкой) собираются в классы эквивалентности , называемые гомотопическими классами . Два отображения гомотопны, если одно можно непрерывно деформировать в другое. Эти гомотопические классы образуют группу , называемую п ей гомотопической группы , , из заданного пространства X с базовой точкой. Топологические пространства с различными гомотопическими группами никогда не бывают эквивалентными ( гомеоморфными ), но топологические пространства, которые ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$не гомеоморфны, могут иметь одни и те же гомотопические группы.

Понятие гомотопии путей было введено Камиллой Жордан . ^[1]

Введение [ править ]

В современной математике принято изучать категорию , ассоциируя с каждым объектом этой категории более простой объект, который все еще сохраняет достаточную информацию об интересующем объекте. Гомотопические группы - это способ связывания групп с топологическими пространствами.

тор

сфера

Эта связь между топологией и группами позволяет математикам применять идеи теории групп к топологии . Например, если два топологических объекта имеют разные гомотопические группы, они не могут иметь одинаковую топологическую структуру - факт, который может быть трудно доказать, используя только топологические средства. Например, тор отличается от сферы : тор имеет «дыру»; сфера нет. Однако, поскольку непрерывность (основное понятие топологии) имеет дело только с локальной структурой, может быть трудно формально определить очевидное глобальное различие. Однако гомотопические группы несут информацию о глобальной структуре.

Что касается примера: первая гомотопическая группа тора T есть

${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$

потому что универсальное покрытие тора - евклидова плоскость , отображающаяся на тор . Фактор здесь находится в категории топологических пространств, а не групп или колец. С другой стороны, сфера удовлетворяет:${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=0,}$

потому что каждая петля может быть свернута в постоянное отображение (см. гомотопические группы сфер для этого и более сложных примеров гомотопических групп).

Следовательно, тор не гомеоморфен сфере.

Определение [ править ]

В n -сфере выбираем базовую точку a . Для пространства X с базовой точкой b мы определяем набор гомотопических классов отображений${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

${\displaystyle f:S^{n}\to X}$

которые отображают базовую точку a в базовую точку b . В частности, классы эквивалентности задаются гомотопиями, постоянными в базовой точке сферы. Эквивалентно, можно определить π _п ( X ) как группа гомотопических классов отображений из п -куба к X , что взять границу в п -куба к Ь .${\displaystyle g\colon [0,1]^{n}\to X}$

При гомотопические классы образуют группу . Чтобы определить групповую операцию, напомним, что в фундаментальной группе произведение двух циклов определяется следующим образом:${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle f\ast g}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$

${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Идея композиции в фундаментальной группе состоит в том, чтобы последовательно перемещаться по первому и второму путям или, что то же самое, объединять их две области. Концепция композиции, которую мы хотим для n -й гомотопической группы, та же самая, за исключением того, что теперь области, которые мы склеиваем, представляют собой кубы, и мы должны склеить их вдоль грани. Поэтому мы определяем сумму отображений формулой${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Для соответствующего определения в терминах сфер, определить сумму карт будут состоять в часе , где находится карта от до клина суммы два п - мерных сфер , которая коллапсирует экватор и часа является отображением клина суммы два п -сферы к X, который определяется как f на первой сфере и g на второй.${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f,g\colon S^{n}\to X}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle S^{n}}$

Если , то есть абелева . ^[2] Далее, аналогично фундаментальной группе, для линейно-связного пространства любые два выбора базовой точки приводят к изоморфности . ^[3]${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$

Заманчиво попытаться упростить определение гомотопических групп, опуская базовые точки, но обычно это не работает для пространств, которые не являются односвязными , даже для пространств с линейной связью. Множество гомотопических классов отображений из сферы в пространство линейной связности не является гомотопической группой, но по существу является множеством орбит фундаментальной группы на гомотопической группе и, вообще говоря, не имеет естественной групповой структуры.

Выход из этих трудностей был найден путем определения высших гомотопических группоидов фильтрованных пространств и n -кубов пространств. Они связаны с относительными гомотопическими группами и n -адическими гомотопическими группами соответственно. Затем высшая гомотопическая теорема ван Кампена позволяет получить некоторую новую информацию о гомотопических группах и даже о гомотопических типах. Для получения дополнительных сведений и ссылок см. «Теорию групп многомерных измерений» и приведенные ниже ссылки.

Длинная точная последовательность расслоения [ править ]

Пусть p : E → B - сохраняющее базовую точку расслоение Серра со слоем F , т. Е. Отображение, обладающее свойством гомотопического подъема по отношению к комплексам CW . Предположим, что B линейно связен. Тогда существует длинная точная последовательность гомотопических групп

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$

Здесь отображения, содержащие π ₀ , не являются гомоморфизмами групп, потому что π ₀ не являются группами, но они точны в том смысле, что образ равен ядру .

Пример: расслоение Хопфа . Пусть B равно S ^2, а E равно S ³ . Пусть p - расслоение Хопфа , имеющее слой S ¹ . Из длинной точной последовательности

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$

и того факта, что π _n ( S ¹ ) = 0 для n ≥ 2, находим, что π _n ( S ³ ) = π _n ( S ² ) для n ≥ 3. В частности,${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

В случае покрытия, когда слой дискретен, мы имеем, что π _n ( E ) изоморфно π _n ( B ) при n > 1, что π _n ( E ) инъективно вкладывается в π _n ( B ) для все положительные n , и что подгруппа π ₁ ( B ), соответствующая вложению π ₁ ( E ), имеет смежные классы в биекции с элементами слоя.

Когда расслоение является отображающим слоем , или, по сути, совместное расслоение является отображающим конусом , тогда результирующая точная (или двойственно совпадающая) последовательность задается последовательностью Puppe .

Однородные пространства и сферы [ править ]

Существует множество реализаций сфер как однородных пространств , которые предоставляют хорошие инструменты для вычисления гомотопических групп групп Ли и классификации главных расслоений на пространствах, сделанных из сфер.

Специальная ортогональная группа [ править ]

Есть расслоение ^[4]

${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$

давая длинную точную последовательность

${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}(S^{n-1})\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$

который вычисляет гомотопические группы низкого порядка для , поскольку является -связным. В частности, имеется расслоение${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$${\displaystyle i<n-1}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$

чьи нижние гомотопические группы вычисляются явно. Поскольку , и существует расслоение${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$

у нас есть для . Используя это, а также тот факт, что , который может быть вычислен с помощью системы Постникова , мы имеем длинную точную последовательность${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$${\displaystyle i>1}$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to &\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to &\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to &\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$

Поскольку у нас есть . Кроме того, средний ряд дает, поскольку соединительная карта тривиальна. Также мы можем знать, что имеет двухкручение.${\displaystyle \pi _{2}(S^{3})=0}$${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0}$${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}(\mathbb {RP} ^{3})}$${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

Применение к связкам сфер [ править ]

Милнор ^[5] использовал этот факт для классификации расслоений с 3-мя сферами , в частности, он смог найти экзотические сферы, которые являются гладкими многообразиями, называемыми сферами Милнора, только гомеоморфными , но не диффеоморфными . Обратите внимание, что любое расслоение сфер может быть построено из - векторного расслоения , которое имеет структурную группу, поскольку может иметь структуру ориентированного риманова многообразия .${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{4}}$${\displaystyle S^{7}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle SO(4)}$${\displaystyle S^{3}}$

Комплексное проективное пространство [ править ]

Есть расслоение

${\displaystyle S^{1}\to S^{2n-1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$

где - единичная сфера в . Эту последовательность можно использовать, чтобы показать простую связность для всех .${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n}$

Методы расчета [ править ]

Вычисление гомотопических групп в целом намного сложнее, чем некоторые другие гомотопические инварианты, изученные в алгебраической топологии. В отличие от теоремы Зейферта – ван Кампена для фундаментальной группы и теоремы об исключении для сингулярных гомологий и когомологий , не существует простого известного способа вычислить гомотопические группы пространства, разбивая его на меньшие пространства. Однако методы, разработанные в 1980-х годах с использованием теоремы типа Ван Кампена для высших гомотопических группоидов, позволили провести новые вычисления для гомотопических типов и т. Д. Гомотопических групп. См. Образец результата в статье Эллиса и Михайлова за 2010 год. ^[6]

Для некоторых пространств, таких как торы , все высшие гомотопические группы (то есть вторая и высшие гомотопические группы) тривиальны . Это так называемые асферические пространства . Однако, несмотря на интенсивные исследования по вычислению гомотопических групп сфер, даже в двух измерениях полный список не известен. Чтобы вычислить даже четвертую гомотопическую группу S ^2, нужны гораздо более продвинутые методы, чем можно было бы предложить из определений. В частности, именно для этой цели была построена спектральная последовательность Серра .

Некоторые гомотопические группы n- связных пространств могут быть вычислены путем сравнения с группами гомологий с помощью теоремы Гуревича .

Список методов вычисления гомотопических групп [ править ]

• Длинная точная последовательность гомотопических групп расслоения.
• Теорема Гуревича , имеющая несколько версий.
• Теорема Бейкера – Месси , также известная как вырезание для гомотопических групп.
• Теорема Фрейденталя о подвеске , следствие вырезания для гомотопических групп.

Относительные гомотопические группы [ править ]

Существует также полезное обобщение гомотопических групп, называемых относительными гомотопическими группами для пары , где A - подпространство в X.${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$${\displaystyle (X,A)}$

Эта конструкция мотивирована наблюдением, что для включения существует индуцированное отображение на каждой гомотопической группе, которое в общем случае не является инъекцией. В самом деле, элементы ядра известны путем рассмотрения представителя и преобразования базисной гомотопии в постоянное отображение , или, другими словами , ограничение на любой другой компонент границы тривиально. Отсюда получаем следующую конструкцию:${\displaystyle i\colon (A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0})}$${\displaystyle i_{*}\colon \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$${\displaystyle F\colon I^{n}\times I\to X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f}$${\displaystyle I^{n+1}}$

Элементы такой группы являются гомотопическими классами на основе карт , которые несут границу в А . Два отображения f, g называются гомотопными относительно A, если они гомотопны сохраняющей базовую точку гомотопии F  : D ⁿ × [0, 1] → X такой, что для каждого p в S ^{n −1} и t в [0, 1], элемент р ( р ,  т ) в A . Обратите внимание, что обычные гомотопические группы восстанавливаются для частного случая, когда является базовой точкой.${\displaystyle D^{n}\to X}$${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle A=x_{0}}$

Эти группы абелевы при n ≥ 3, но при n = 2 образуют верхнюю группу скрещенного модуля с нижней группой π ₁ ( A ).

Существует также длинная точная последовательность относительных гомотопических групп, которую можно получить с помощью последовательности Puppe :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Связанные понятия [ править ]

Гомотопические группы являются фундаментальными для теории гомотопий , которая, в свою очередь, стимулировала развитие модельных категорий . Можно определить абстрактные гомотопические группы для симплициальных множеств .

Группы гомологий подобны гомотопическим группам в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Однако гомотопические группы обычно не коммутативны и часто очень сложны и трудны для вычисления. Напротив, группы гомологий коммутативны (как и высшие гомотопические группы). Поэтому иногда говорят, что «гомологии - это коммутативная альтернатива гомотопии». ^[7] Для топологического пространства X его n -я гомотопическая группа обычно обозначается через , а его n -я группа гомологий обычно обозначается .${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$

См. Также [ править ]

• Фибрация
• Расслоение Хопфа
• Инвариант Хопфа
• Теория узлов
• Гомотопический класс
• Гомотопические группы сфер
• Топологический инвариант
• Гомотопическая группа с коэффициентами
• Остроконечный набор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рональд Браун , "Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии", Гомологии, гомотопии и приложения , 1 (1999) 1–78.
• Рональд Браун , Филип Дж. Хиггинс, Рафаэль Сивера, Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 стр., European Math. Общество, Zürich, 2011. DOI : 10,4171 / 083 MR 2841564
• Чех, Эдуард (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Цюрих.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
• "Гомотопическая группа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хопфа, Хайнц (1931), "Убер умереть Abbildungen дер dreidimensionalen Sphäre ауф умереть Kugelfläche" , Mathematische Annalen , 104 (1): 637-665, DOI : 10.1007 / BF01457962.
• Кампс, Клаус Х .; Портер, Тимоти (1997). Абстрактная гомотопия и простая теория гомотопии . Ривер Эдж, штат Нью-Джерси: World Scientific Publishing. DOI : 10,1142 / 9789812831989 . ISBN 981-02-1602-5. Руководство по ремонту  1464944 .
• Тода, Хироши (1962). Методы композиции в гомотопических группах сфер . Анналы математических исследований. 49 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-09586-8. Руководство по ремонту  0143217 .
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопии . Тексты для выпускников по математике. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. стр. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. Руководство по ремонту  0516508 .