Покрытие пространства

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Покрытие пространства»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Покрывающее отображение удовлетворяет условию локальной тривиальности. Наглядно, такие карты локально проецировать «стопку блинов» выше в открытой области , U , на U .

В математике , в частности алгебраической топологии , А накрытие (также покрытие проекции ) является непрерывной функцией от топологического пространства на топологическом пространстве таким образом, что каждая точка имеет открытую окрестность , равномерно покрыта путем (как показано на рисунке). ^[1] В этом случае, называются накрытием и базовым пространством накрытия проекции. Из определения следует, что каждое накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом .${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

Накрывающие пространства играют важную роль в теории гомотопий , гармоническом анализе , римановой геометрии и дифференциальной топологии . Например, в римановой геометрии ветвление является обобщением понятия покрывающих отображений. Накрывающие пространства также тесно связаны с изучением гомотопических групп и, в частности, фундаментальной группы . Важное применение исходит из результата , что, если это «достаточно хорошо» топологическое пространство , существует взаимно однозначное соответствие между совокупностью всех классов изоморфизма из связных покрытий и${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$классы сопряженности из подгрупп в фундаментальных группы из .${\displaystyle X}$

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть топологическим пространством . Накрытие из топологического пространства вместе с непрерывной сюръективной картой${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle p\colon C\to X}$

таким образом, что для каждого , существует открытая окрестность о , таким образом, что ( прообраз из Under ) является объединением непересекающихся открытых множеств в , каждый из которых отображается гомеоморфно на по . ^{[2] [3]}${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

Эквивалентно покрытие может быть определено как пучок волокон с дискретными волокнами.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\colon C\to X}$

Карта называется покрывающей картой , ^[3] пространство часто называют базовым пространством покрытия, а пространство называется тотальным пространством покрытия. Для любой точки базы прообраз in обязательно является дискретным пространством ^[3], называемым слоем над .${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$

Специальные открытые окрестности из приведенных в определении называются равномерно покрыты окрестности . Равномерно укрытые кварталы образуют открытую обложку пространства . Гомеоморфные копии равномерно покрытой окрестности называются листами поверх . Обычно изображают как «парящий вверху» , с отображением «вниз», при этом листы сверху укладываются горизонтально друг над другом и выше , а волокно состоит из тех точек, которые лежат «вертикально вверху» .${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$ В частности, накрывающие карты локально тривиальны. Это означает , что локально, каждое накрытие является «изоморфны» к проекции в том смысле , что существует гомеоморфизм, , от прообраза , из равномерно покрытых окрестностей , на , где это волокно, удовлетворяющее условию локальной тривиализации , которая является то , что, если мы проецировать на , , таким образом , состав проекции с гомеоморфизму будет карта из прообраза на , то полученный состав будет равен локально ( в пределах ).${\displaystyle h}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi \colon U\times F\to U}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi \circ h}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi \circ h}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{-1}(U)}$

Альтернативные определения [ править ]

Многие авторы накладывают некоторые условия связности на пространства и в определение покрывающей карты. В частности, многие авторы требуют, чтобы оба пространства были линейно связанными и локально путевыми . ^{[4] [5]} Это может оказаться полезным, потому что многие теоремы верны, только если рассматриваемые пространства обладают этими свойствами. Некоторые авторы опускают предположение о сюръективности, поскольку если связно и непусто, то сюръективность покрывающего отображения фактически следует из других аксиом.${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

Примеры [ править ]

• Каждое пространство тривиально покрывает себя.
• Связное и локально линейно связное топологическое пространство имеет универсальную оболочку тогда и только тогда, когда оно полулокально односвязно .${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ универсальная крышка круга ${\displaystyle S^{1}.}$
• Спина группа представляет собой двойную крышку специальной ортогональной группы и универсальной накрывающей когда это . Случайные или исключительные изоморфизмы групп Ли затем дают изоморфизмы между спиновыми группами низкой размерности и классическими группами Ли.${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle n>2}$
• Унитарная группа имеет универсальное покрытие .${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\times \mathbb {R} }$
• Гиперсфера двойная крышка вещественного проективного пространства и является универсальным прикрытием .${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle P_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle n>1}$
• Каждое многообразие имеет ориентируемое двойное покрытие , связное тогда и только тогда, когда многообразие неориентируемо.
• Теорема униформизации утверждает, что каждая риманова поверхность имеет универсальное покрытие, конформно эквивалентное сфере Римана , комплексной плоскости или единичному кругу.
• Универсальное покрытие клина окружностей - это граф Кэли свободной группы на образующих, т. Е. Решетка Бете .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• Тор представляет собой двойную крышку бутылки Клейна . Это можно увидеть, используя многоугольники для тора и бутылки Клейна и наблюдая, как это двойное покрытие круга (вложение в отправку ).${\displaystyle S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$
• Каждый граф имеет двудольное двойное покрытие . Поскольку каждый граф гомотопен клину окружностей, его универсальное покрытие является графом Кэли.
• Каждое погружение с компактного многообразия на многообразие той же размерности является покрытием его образа.
• Другой эффективный инструмент для построения покрывающих пространств - использование факторов по свободным действиям конечной группы.
• Например, пространство, определяемое частным от (вложенного в ), определяется факторным пространством посредством -действия . Это пространство, называемое линзовым пространством , имеет фундаментальную группу и универсальное покрытие .${\displaystyle L_{p/q}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /q}$${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/q}z_{1},e^{2\pi ip/q}z_{2})}$${\displaystyle \mathbb {Z} /q}$${\displaystyle S^{3}}$
• Карта аффинных схем образует накрывающее пространство с группой преобразований колоды. Это пример циклического покрытия Галуа .${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Свойства [ править ]

Общие местные свойства [ править ]

• Каждое покрытие является локальным гомеоморфизмом ; ^[6] , то есть для каждого , существует окрестность о С и окрестность из таких , что сужение р на U дает гомеоморфизм из U в V . Это означает, что C и X разделяют все локальные свойства. Если Х является односвязной и С связано, то это имеет место во всем мире , а также, и покрытие р есть гомеоморфизм.${\displaystyle p\colon C\to X}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle U\subseteq C}$${\displaystyle V\subseteq X}$${\displaystyle p(c)}$
• Если и покрывают карты, то также и карта, заданная . ^[7]${\displaystyle p\colon E\to B}$${\displaystyle p'\colon E'\to B'}$${\displaystyle p\times p'\colon E\times E'\to B\times B'}$${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$

Гомеоморфизм волокон [ править ]

Для каждого х в X , слой над й является дискретным подмножеством C . ^[3] На каждом компоненте связности из X , волокна гомеоморфны.

Если Х соединено, существует дискретное пространство F , что для любого х в Й слой над й является гомеоморфным к F и, кроме того, для каждого х в X найдется окрестность U из й таких , что ее полного прообраза р ^-1 ( U ) гомеоморфно U × F . В частности, мощность слоя над x равна мощности F и называется слоемСтепень покровного р  : C → X . Таким образом, если в каждом слое n элементов, мы говорим о n -кратном покрытии (для случая n = 1 покрытие тривиально; при n = 2 покрытие является двойным ; при n = 3 покрытие есть тройная крышка и так далее).

Подъемные свойства [ править ]

Если p  : C → X - покрытие, γ - путь в X (т. Е. Непрерывное отображение единичного интервала [0, 1] в X ) и c ∈ C - точка, «лежащая над» γ (0) (т. Е. p ( c ) = γ (0)) , то существует единственный путь Γ в C, лежащий над γ (т. е. p ∘ Γ = γ ), такой, что Γ (0) = c . Кривая Γ называется подъемом кривой γ. Если x и y - две точки в Xсоединенный путем, то этот путь обеспечивает биекцию между волокном над x и волокном над y посредством свойства подъема.

В более общем плане , пусть F  : Z → X непрерывное отображение на X из пути , подключенного и локально линейно связное пространство Z . Зафиксируем базовую точку z ∈ Z и выберем точку c ∈ C, «лежащую над» f ( z ) (т.е. p ( c ) = f ( z ) ). Тогда существует подъем из F (то есть, непрерывное отображение г  : Z → Cдля которых p ∘ g = f и g ( z ) = c ) тогда и только тогда, когда индуцированные гомоморфизмы f _#  : π ₁ ( Z , z ) → π ₁ ( X , f ( z )) и p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , f ( z )).на уровне фундаментальных групп удовлетворяют

${\displaystyle f_{\#}(\pi _{1}(Z,z))\subset p_{\#}(\pi _{1}(C,c)).}$

( ♠ )

Более того, если такой подъем g функции f существует, он единственен.

В частности, если пространство Z предполагается односвязным (так что π ₁ ( Z , z ) тривиально), условие (♠) автоматически выполняется, и любое непрерывное отображение из Z в X может быть поднято. Поскольку единичный интервал [0, 1] односвязен, свойство подъема для путей является частным случаем свойства подъема для отображений, указанных выше.

Если p  : C → X - покрытие и c ∈ C и x ∈ X таковы, что p ( c ) = x , то p _# инъективно на уровне фундаментальных групп и индуцированные гомоморфизмы p _#  : π _n ( C , c ) → π _n ( X , x ) - изоморфизмы для всех n ≥ 2. Оба эти утверждения могут быть выведены из свойства подъема для непрерывных отображений. Сюръективность р _# для п ≥ 2 следует из того , что для всех таких п , то п -сферы S ^п односвязно и , следовательно , каждое непрерывное отображение из S ^п к X можно поднять до C .

Эквивалентность [ править ]

Пусть p ₁  : C ₁ → X и p ₂  : C ₂ → X - два покрытия. Один говорит , что два покрытия р ₁ и р ₂ являются эквивалентны , если существует гомеоморфизм р ₂₁  : С ₂ → С ₁ и такое , что р ₂ = р ₁ ∘ р ₂₁ . Классы эквивалентности покрытий соответствуют классам сопряженности подгрупп фундаментальной группыиз X , как описано ниже. Если p ₂₁  : C ₂ → C ₁ является накрытием (а не гомеоморфизмом) и p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ , то говорят, что p ₂ доминирует над p ₁ .

Покрытие многообразия [ править ]

Так как покрытия являются локальными гомеоморфизмами , покрытие топологического п - многообразие является п -многообразием. (Можно доказать, что накрывающее пространство счетно до второго, исходя из того факта, что фундаментальная группа многообразия всегда счетна .) Однако пространство, покрытое n -многообразием, может быть нехаусдорфовым многообразием . Например, пусть C будет плоскостью с удаленным началом координат, а X - фактор-пространством, полученным путем идентификации каждой точки ( x , y ) с помощью (2 x, г / 2) . Если p  : C → X - фактор-отображение, то это покрытие, поскольку действие Z на C, порожденное f ( x , y ) = (2 x , y / 2) , собственно разрывно . Точки р (1, 0) и р (0, 1) не имеют непересекающиеся окрестности в X .

Любое накрывающее пространство дифференцируемого многообразия может быть оснащено (естественной) дифференцируемой структурой, которая превращает p (рассматриваемое накрывающее отображение) в локальный диффеоморфизм - отображение с постоянным рангом n .

Универсальные обложки [ править ]

Покрытие - это универсальное покрытие, если оно односвязно . Название универсальное покрытие происходит от следующего важного свойства: если отображение q : D → X является универсальным покрытием пространства X, а отображение p  : C → X является любым покрытием пространства X, где накрытие C связно, то существует накрывающее отображение f  : D → C такое, что p ∘ f = q. Это можно сформулировать как

Универсальное покрытие (пространства X ) покрывает любое связное покрытие (пространства X ).

Отображение f уникально в следующем смысле: если мы зафиксируем точку x в пространстве X и точку d в пространстве D с q ( d ) = x и точку c в пространстве C с p ( c ) = x , то существует единственное накрывающее отображение f  : D → C такое, что p ∘ f = q и f ( d ) = c .

Если пространство X имеет универсальное покрытие, то это универсальное покрытие существенно уникально: если отображения q ₁  : D ₁ → X и q ₂  : D ₂ → X являются двумя универсальными покрытиями пространства X, то существует гомеоморфизм f  : D ₁ → D ₂ такой, что q ₂ ∘ f = q ₁ .

Пространство X имеет универсальную оболочку, если оно связно , локально линейно связно и полулокально односвязно . Универсальное покрытие пространства X можно построить как некое пространство траекторий в пространстве X . Более явно, оно образует главное расслоение с фундаментальной группой π ₁ ( X ) в качестве структурной группы.

Приведенный выше пример R → S ¹ является универсальной крышкой. Карта S ³ → SO (3) от единичных кватернионов до вращений трехмерного пространства, описанных в кватернионах и пространственном вращении , также является универсальным покрытием.

Если пространство несет некоторую дополнительную структуру, то его универсальное покрытие обычно наследует эту структуру:${\displaystyle X}$

• Если пространство является многообразием , то универсальное покрытие D - тоже .${\displaystyle X}$
• Если пространство является римановой поверхностью , то и универсальная крышка D , и является голоморфным отображением.${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$
• Если пространство является римановым многообразием , то также и его универсальное покрытие, и оно является локальной изометрией .${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$
• Если пространство - лоренцево многообразие , то и его универсальное покрытие - тоже. Кроме того, предположим, что подмножество p − ¹ ( U ) является несвязным объединением открытых множеств, каждое из которых диффеоморфно U по отображению . Если пространство содержит замкнутую времениподобную кривую (СТК), то пространство является времениподобным многосвязным (никакой СТК не может быть времениподобным гомотопным точке, поскольку эта точка не будет каузально хорошо поведена), его универсальное (диффеоморфное) покрытие просто времениподобно подключен (не содержит CTC).${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Если X - группа Ли (как в двух приведенных выше примерах), то также и ее универсальное покрытие D , а отображение p является гомоморфизмом групп Ли. В этом случае универсальное покрытие также называется универсальной накрывающей группой . Это имеет особое приложение к теории представлений и квантовой механике , поскольку обычные представления универсальной накрывающей группы ( D ) являются проективными представлениями исходной (классической) группы ( X ).

Универсальная оболочка впервые возникла в теории аналитических функций как естественная область аналитического продолжения .

G-покрытия [ править ]

Пусть G является дискретной группа действует на топологическом пространстве X . Это означает , что каждый элемент г из G ассоциируется с гомеоморфизм Н _г из X на себя, таким образом , что Н _{г ч} всегда равна Н _г ∘ Н _ч для любых двух элементов г и ч из G . (Или, другими словами, групповое действие группы G на пространстве X - это просто групповой гомоморфизм группы G в группу Homeo ( X) самогомеоморфизмов X. ) Естественно спросить, при каких условиях проекция из X в пространство орбит X / G является накрывающим. Это не всегда верно, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где неединичный элемент действует как ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не так просто.

Однако группа G действительно действует на фундаментальном группоиде X , и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоидах, и соответствующие группоиды орбит . Теория этого изложена в главе 11 книги « Топология и группоиды», упомянутой ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X, допускающем универсальное покрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен группоиду орбит фундаментального группоида X , т. Е. Фактор- группоиду. этого группоида действием группы G. Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметричного квадрата пространства.

Группа трансформации колоды (покрытия), обычные обложки [ править ]

Покрытия преобразования или палубы преобразование или автоморфизм крышки является Гомеоморфизм таким образом, что . Множество всех преобразований колоды образует группу по композиции , группу преобразований колоды . Преобразования колоды также называются покрывающими преобразованиями . Каждое преобразование колоды переставляет элементы каждого слоя. Это определяет групповое действие группы преобразований колоды на каждом слое. Обратите внимание, что благодаря уникальному свойству подъема, если не является тождеством и связан по пути, то не имеет${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle f:C\to C}$${\displaystyle p\circ f=p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$фиксированные точки .

Теперь предположим, что это покрывающая карта и (а значит, также ) связная и локально связная. Действие на каждое волокно бесплатное . Если это действие транзитивно на некотором слое, то оно транзитивно на всех слоях, и мы называем покрытие регулярным (или нормальным, или Галуа ). Каждое такое регулярное покрытие является главным -расслоением , рассматриваемым как дискретная топологическая группа.${\displaystyle p:C\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$ G {\displaystyle G} ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Каждое универсальное покрытие является регулярным, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальной группе .${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

В качестве еще одного важного примера рассмотрим комплексную плоскость и комплексную плоскость без начала координат. Тогда карта с является обычным покрытием. Преобразования колод - это умножения с корнями -й степени из единицы, поэтому группа преобразований колод изоморфна циклической группе . Точно так же карта с универсальной обложкой.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p\colon \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p(z)=z^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Действие монодромии [ править ]

Снова предположим, что это покрывающая карта, а C (а значит, и X ) связно и локально линейно связно. Если x находится в X, а c принадлежит слою над x (т. Е. ) И является путем с , то этот путь поднимается до уникального пути в C с начальной точкой c . Конечная точка этого поднятого пути не обязательно должна быть c , но она должна лежать в слое над x . Оказывается, этот конец зависит только от класса γ в фундаментальной группе π ₁ ( X , x )${\displaystyle p\colon C\to X}$${\displaystyle p(c)=x}$${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=x}$. Таким способом мы получаем правильную группу действия из П ₁ ( X , х ) на слое над й . Это известно как действие монодромии .

На слое над x действуют два действия  : Aut ( p ) действует слева, а π ₁ ( X , x ) действует справа. Эти два действия совместимы в следующем смысле: для всех f в Aut ( p ), c в p ⁻¹ ( x ) и γ в π ₁ ( X , x ) .${\displaystyle f\cdot (c\cdot \gamma )=(f\cdot c)\cdot \gamma }$

Если р является универсальной крышкой, то Aut ( р ) может быть естественным образом идентифицирован с противоположной группой из п ₁ ( Х , х ) , так что левое действие противоположной группы П ₁ ( Х , х ) совпадает с действием Aut ( p ) на слое над x . Заметим, что Aut ( p ) и π ₁ ( X , x ) в этом случае естественно изоморфны (поскольку группа всегда естественно изоморфна своей противоположности через g↦ г ⁻¹ ) .

Если p - регулярное покрытие, то Aut ( p ) естественно изоморфно частному от π ₁ ( X , x ) .

В общем случае (для хороших пространств), Аи ( р ) естественно изоморфно частное от нормализатора из р _* ( π ₁ ( С , с )) в П ₁ ( Х , х ) над р _* ( П ₁ ( C , c )) , где p ( c ) = x .

Подробнее о структуре группы [ править ]

Пусть p  : C → X - накрывающее отображение, где X и C линейно связны. Пусть x ∈ X - базовая точка X и c ∈ C - один из его прообразов в C , то есть p ( c ) = x . Существует индуцированный гомоморфизм из фундаментальной группы р _#  : л ₁ ( С , с ) → л ₁ ( Х ,x ), что инъективно в силу подъемного свойства покрытий.частностиесли & gamma представляет собой замкнутую петлю в C такимчто р _# ([ & gamma ]) = 1 , то есть р ∘ & gamma есть нуль-гомотопны в X , то рассмотрим нуль-гомотопию р ∘ Г как отображение F  : D ² → X из 2-диска D ² к X , такиечто сужение F на границе S ¹ из D² равно p ∘ γ . По свойству подъема отображение f поднимается до непрерывного отображения g  : D ² → C такое, что ограничение g на границу S ¹ области D ² равно γ . Таким образом, γ является стягиваемо в C , так что ядро из р _#  : π ₁ ( C , C ) → π ₁ ( X, x ) тривиально, поэтому p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , x ) - инъективный гомоморфизм.

Следовательно, π ₁ ( C , c ) изоморфна подгруппе p _# ( π ₁ ( C , c )) группы π ₁ ( X , x ) . Если c ₁ ∈ C - другой прообраз x в C, то подгруппы p _# ( π ₁ ( C , c )) и p _# ( π ₁( С , с ₁ )) являются сопряженными в П ₁ ( Х , х ) с помощью р -image кривой в C , соединяющей гр с с ₁ . Таким образом, накрывающее отображение p  : C → X определяет класс сопряженных подгрупп группы π ₁ ( X , x ), и можно показать, что эквивалентные накрытия X определяют один и тот же класс сопряженности подгрупп группы π ₁ ( X, х ) .

Можно видеть, что для покрытия p  : C → X группа p _# ( π ₁ ( C , c )) равна

${\displaystyle \Gamma _{p}(c)=\{[\gamma ]:\gamma _{C}{\text{ is a closed curve in }}C{\text{ passing through }}c\in C\},}$

множество гомотопических классов тех замкнутых кривых γ, базирующихся в x, чьи подъемы γ _C в C , начиная с c , являются замкнутыми кривыми в c . Если X и C линейно связны, степень покрытия p (то есть мощность любого слоя p ) равна индексу [ π ₁ ( X , x ): p _# ( π ₁ ( C , c )) ] подгруппы p _# ( π ₁ ( C , c )) в π ₁ ( X , x ) .

Ключевой результат теории покрывающих пространств гласит, что для «достаточно хорошего» пространства X (а именно, если X линейно связно, локально линейно связно и полулокально односвязно ) на самом деле существует биекция между классами эквивалентности путей -связные накрытия X и классы сопряженности подгрупп фундаментальной группы π ₁ ( X , x ) . Основным шагом в доказательстве этого результата является установление существования универсального покрытия, то есть покрытия, соответствующего тривиальной подгруппе в π ₁ ( X , x ) . Когда-то существование универсального чехлаС из X устанавливается, если H & le ; л ₁ ( Х , х ) произвольная подгруппа, пространство С / Н является покрытие X , соответствующее H . Также необходимо проверить, что два покрытия X, соответствующие одной и той же (классу сопряженности) подгруппе группы π ₁ ( X , x ) , эквивалентны. Связные клеточные комплексы и связные многообразия являются примерами «достаточно хороших» пространств.

Пусть N ( Γ _p ) - нормализатор Γ _p в π ₁ ( X , x ) . Группа преобразований колоды Aut ( p ) изоморфна фактор-группе N (Γ _p ) / Γ _p . Если p - универсальное покрытие, то Γ _p - тривиальная группа , а Aut ( p ) изоморфна π ₁ ( X ).

Давайте обратим этот аргумент. Пусть N будет нормальная подгруппа из П ₁ ( Х , х ) . В силу сказанного выше аргументов, это определяет (обычный) , охватывающий р  : С → Х . Пусть c ₁ в C находится в слое x . Тогда для любого другого c ₂ в слое x существует ровно одно преобразование колоды, переводящее c ₁ в c ₂ . Это преобразование колоды соответствует кривой g в Cподключение c ₁ к c ₂ .

Отношения с группоидами [ править ]

Один из способов выражения алгебраического содержания теории накрывающих пространств - использование группоидов и фундаментального группоида . Последний функтор дает эквивалентность категорий

${\displaystyle \pi _{1}:\operatorname {TopCov} (X)\to \operatorname {GpdCov} (\pi _{1}X)}$

между категорией накрывающих пространств достаточно хорошего пространства X и категорией группоидных накрывающих морфизмов π ₁ ( X ). Таким образом, определенный вид карты пространств хорошо моделируется определенным видом морфизма группоидов. Категория покрывающих морфизмов группоида G также эквивалентна категории действий G на множествах, и это позволяет восстановить более традиционные классификации покрытий.

Отношения с классифицирующими пространствами и когомологиями групп [ править ]

Если Х является связным клеточным комплексом с гомотопических группами П _п ( Х ) = 0 для все п ≥ 2 , то универсальное накрытие пространства Т из X является сжимаемым, как следует из применения теоремы Уайтхед к Т . В этом случае X - классифицирующее пространство или K ( G , 1) для G = π ₁ ( X ) .

Кроме того, для каждого п ≥ 0 группы сотового п -цепи С _п ( Т ) (то есть свободная абелева группа с базисом задается п -клеток в Т ) также имеет естественную Z G - модуль структуру. Здесь для n -клетки σ в T и для g в G клетка g σ является в точности сдвигом σ накрывающим преобразованием T, соответствующим g . Кроме того, C _n( Т ) является свободным Z G - модуль со свободным Z G -базиса от представителя G -орбит из п -клеток в Т . В этом случае стандартный топологический цепной комплекс

${\displaystyle \cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{n}(T){\overset {\partial }{\to }}C_{n-1}(T){\overset {\partial }{\to }}\cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{0}(T){\overset {\varepsilon }{\to }}\mathbf {Z} ,}$

где ε является увеличение карты , является свободным Z G -Разрешение из Z (где Z оснащен тривиальным Z G - модуль структурой, GM = т для каждого г ∈ G и любой м ∈ Z ). Это разрешение можно использовать для вычисления групповых когомологий группы G с произвольными коэффициентами.

Метод Грэма Эллиса для вычисления резольвент групп и других аспектов гомологической алгебры, как показано в его статье в J. Symbolic Comp. и его веб-страница, указанная ниже, предназначена для индуктивного построения универсального покрытия предполагаемого K ( G , 1) одновременно с сжимающейся гомотопией этого универсального покрытия. Именно последний дает вычислительный метод.

Обобщения [ править ]

В качестве теории гомотопии понятие покрывающих пространств хорошо работает, когда группа преобразований колоды дискретна или, что то же самое, когда пространство локально линейно связно . Однако, когда группа преобразований колоды является топологической группой с недискретной топологией , возникают трудности. Некоторый прогресс был достигнут в создании более сложных пространств, таких как гавайская серьга ; см. ссылки там для получения дополнительной информации.

Некоторые из этих трудностей решаются с понятием semicovering из - за Джереми Бразас, см цитируемой ниже. Каждое накрывающее отображение является полупокрытием, но полупокрытие удовлетворяет правилу «2 из 3»: если задана композиция h = fg отображений пространств, если две карты являются полупокрытиями, то третье тоже. Это правило не выполняется для покрытий, так как композиция покрывающих карт не обязательно должна быть покрывающей картой.

Другое обобщение относится к действиям группы, которые не являются бесплатными. Росс Геогеган в своем обзоре ( MR 0760769 ) 1986 года двух работ М.А. Армстронга о фундаментальных группах пространств орбит писал: «Эти две статьи показывают, какие части теории элементарных накрывающих пространств переходят из свободного в несвободный случай. своего рода базовый материал, который должен был быть в стандартных учебниках по фундаментальным группам в течение последних пятидесяти лет ». В настоящее время «Топология и группоиды», перечисленные ниже, по-видимому, являются единственным основным текстом по топологии, охватывающим такие результаты.

Приложения [ править ]

Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в картах на SO (3) , группе вращений . Эта группа широко встречается в инженерии из-за того, что трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO (3) - это вещественное проективное пространство RP ³ с фундаментальной группой Z / 2 и единственным (нетривиальным) накрывающим пространством гиперсфера S ³ , которая является группой Spin (3) и представлена ​​единичными кватернионами. Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом для представления пространственного вращения - см. Кватернионы и пространственное вращение .

Однако, часто желательно представлять ротацию набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (в многочисленных вариантах), и потому , что это концептуально проще для кого - то знакомого с планарным вращением, и потому , что можно построить комбинацию из трех кардановых в производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T ³ трех углов в реальное проективное пространство RP ³ вращений, и результирующее отображение имеет недостатки из-за того, что это отображение не может быть покрывающим отображением. В частности, отказ карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется блокировкой кардана., и демонстрируется на анимации справа - в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что только 2 измерения вращения могут быть реализованы из этой точки, изменяя углы. . Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрытия.

См. Также [ править ]

• Решетка Бете - это универсальное покрытие графа Кэли.
• Покрывающий граф , накрывающее пространство для неориентированного графа и его частный случай двудольное двойное покрытие
• Группа покрытия
• Связь Галуа
• Факторное пространство (топология)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Чарльстон, С. Каролина: ООО «Буксурдж». ISBN 1-4196-2722-8. См. Главу 10.
• Чернавский А.В. (2001) [1994], "Покрытие" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Farkas, Hershel M .; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90465-4. См. Главу 1 для простого обзора.
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.
• Хиггинс, Филип Дж. (1971). Примечания к категориям и группоидам . Математические исследования. 32 . Лондон-Нью-Йорк-Мельбурн: Ван Ностранд Рейнхольд. Руководство по ремонту  0327946 .
• Йост, Юрген (2002). Компактные римановы поверхности . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-43299-Х. См. Раздел 1.3
• Мэсси, Уильям (1991). Базовый курс алгебраической топологии . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97430-X. См. Главу 5.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0131816292.
• Бразас, Джереми (2012). «Полупокрытия: обобщение теории накрытий». Гомологии, гомотопии и приложения . 14 (1): 33–63. arXiv : 1108.3021 . DOI : 10.4310 / HHA.2012.v14.n1.a3 . Руководство по ремонту  2954666 . S2CID  55921193 .
• Эллис, Грэм. «Программирование гомологической алгебры» .
• Эллис, Грэм (2004). «Вычислительные групповые резолюции». Журнал символических вычислений . 38 (3): 1077–1118. DOI : 10.1016 / j.jsc.2004.03.003 .
• Спаниер, Эдвин (1994) [1966]. Алгебраическая топология . Springer. ISBN 0-387-94426-5.