Фундаментальная группа

В математической области алгебраической топологии , то фундаментальная группа из топологического пространства является группа из классов эквивалентности под гомотопностью из петель , содержащихся в пространстве. Он записывает информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства . Фундаментальная группа - это первая и простейшая гомотопическая группа . Фундаментальная группа является гомотопическим инвариантом - топологические пространства, которые гомотопически эквивалентны (или более сильный случай гомеоморфности ), имеют изоморфные фундаментальные группы.

Интуиция [ править ]

Начните с пространства (например, поверхности) и некоторой точки на нем, и всех циклов, начинающихся и заканчивающихся в этой точке - пути, которые начинаются в этой точке, блуждают вокруг и в конечном итоге возвращаются в начальную точку. Две петли можно объединить очевидным образом: пройти по первой петле, потом по второй. Две петли считаются эквивалентными, если одна может быть деформирована в другую без разрушения. Набор всех таких петель с этим методом комбинирования и этой эквивалентностью между ними является фундаментальной группой для этого конкретного пространства.

История [ править ]

Анри Пуанкаре определил фундаментальную группу в 1895 году в своей статье « Analysis situs ». ^[1] Эта концепция возникла в теории римановых поверхностей в работах Бернхарда Римана , Пуанкаре и Феликса Клейна . Он описывает свойства монодромии комплекснозначных функций , а также обеспечивает полную топологическую классификацию замкнутых поверхностей .

Определение [ править ]

В этой статье X - топологическое пространство. Типичный пример - поверхность, подобная изображенной справа. Более того, это точка в X, называемая базовой точкой . (Как поясняется ниже, ее роль скорее вспомогательная.) Идея определения гомотопической группы состоит в том, чтобы измерить, сколько (в широком смысле) кривых на X можно деформировать друг в друга. Точное определение зависит от понятия гомотопии петель, которое объясняется в первую очередь.${\ displaystyle x_ {0}}$

Гомотопия петель [ править ]

Учитывая топологическое пространство X , цикл, основанный на${\ displaystyle x_ {0}}$ , определяется как непрерывная функция (также известная как непрерывное отображение )

${\ Displaystyle \ гамма \ двоеточие [0,1] \ до X}$

так что начальная и конечная точки равны .${\ displaystyle \ gamma (0)}$${\ displaystyle \ gamma (1)}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Гомотопическая непрерывная интерполяция между двумя петлями. Точнее, гомотопия между двумя петлями (основанными на одной и той же точке ) - это непрерывное отображение${\ displaystyle \ gamma, \ gamma '\ двоеточие [0,1] \ к X}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ Displaystyle ч \ двоеточие [0,1] \ раз [0,1] \ до X,}$

такой, что

• ${\ displaystyle h (0, t) = x_ {0}}$тем не менее , начальная точка гомотопии - для всех t (что часто считается параметром времени).${\ Displaystyle т \ в [0,1],}$${\ displaystyle x_ {0}}$
• ${\ displaystyle h (1, t) = x_ {0}}$для всего этого аналогичным образом конечная точка остается в точке для всех t .${\ Displaystyle т \ в [0,1],}$${\ displaystyle x_ {0}}$
• ${\ Displaystyle час (г, 0) = \ гамма (г), час (г, 1) = \ гамма '(г)}$для всех .${\ Displaystyle г \ в [0,1]}$

Если такая Гомотопический ч существует, и , как говорят, гомотопными . Отношение " гомотопно " является отношением эквивалентности, так что можно рассматривать множество классов эквивалентности :${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma '}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma '}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}}$.

Это множество (с описанной ниже групповой структурой) называется фундаментальной группой топологического пространства X в базовой точке . Цель рассмотрения классов эквивалентности циклов до гомотопии, в отличии от множества всех петель (так называемый цикл пространства из X ) является то , что последним, в то же время полезно для различных целей, является довольно большим и громоздким объектом . Напротив, указанное выше соотношение во многих случаях является более управляемым и вычислимым.${\displaystyle x_{0}}$

Структура группы [ править ]

Согласно приведенному выше определению, это просто набор. Он становится группой (и поэтому заслуживает названия фундаментальная группа ) с помощью конкатенации циклов. Точнее, для двух петель их продукт определяется как петля${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]&\to X\\(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)&={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Таким образом, цикл сначала следует за циклом с «удвоенной скоростью», а затем следует с «удвоенной скоростью».${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$

Произведение двух гомотопических классов петель и определяется как . Можно показать, что этот продукт не зависит от выбора представителей и, следовательно, дает четко определенную операцию на множестве . Эта операция превращается в групповую. Его нейтральный элемент - постоянный контур, который остается неизменным все время t . Обратной петлей (гомотопический класс a) петли является тот же цикл, но пройденный в противоположном направлении. Более формально${\displaystyle [\gamma _{0}]}$${\displaystyle [\gamma _{1}]}$${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)}$.

Учитывая три базовых цикла, произведение${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

является объединение этих петель, пересекая и затем с четырехкратным скоростью, а затем с удвоенной скоростью. По сравнению,${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

проходит те же пути (в том же порядке), но с удвоенной скоростью и с четырехкратной скоростью. Таким образом, из-за разных скоростей эти два пути не идентичны. Ассоциативность аксиома${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

поэтому решающим образом зависит от того, что пути рассматриваются с точностью до гомотопии. В самом деле, оба указанных выше композитных материала гомотопны, например, петле, которая пересекает все три петли с тройной скоростью. Таким образом, набор базовых петель до гомотопии, снабженный описанной выше операцией, действительно превращается в группу.${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

Зависимость от базовой точки [ править ]

Хотя фундаментальная группа в целом зависит от выбора базовой точки, то получается, что, до изоморфизма ( на самом деле, даже до внутреннего изоморфизма), этот выбор не имеет никакого значения до тех пор , как пространство X является линейно связным . Поэтому для пространств, связанных путями, многие авторы пишут вместо .${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

Конкретные примеры [ править ]

Звездная область односвязна, поскольку любая петля может быть сокращена до центра области, обозначенной .${\displaystyle x_{0}}$

В этом разделе перечислены некоторые основные примеры фундаментальных групп. Начнем с того , в евклидовом пространстве ( ) или любой выпуклое подмножество из есть только один гомотопический класс петель, и , следовательно , фундаментальная группа является единичная группа с одним элементом. В более общем смысле любая звездная область и, в более общем смысле, любое стягиваемое пространство имеет тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, фундаментальная группа не различает такие пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

2-сфера [ править ]

Линейно-связное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна, называется односвязным . Например, 2-сфера, изображенная справа, а также все многомерные сферы односвязны. Рисунок иллюстрирует гомотопию, сужающую одну конкретную петлю к постоянной петле. Эта идея может быть адаптирована ко всем циклам , так что есть точка, которая не находится в изображении, однако, поскольку существуют такие циклы (построенные на основе кривой Пеано , например), полное доказательство требует более тщательного анализа с помощью инструментов из алгебраическая топология, такая как теорема Зейферта – ван Кампена или теорема клеточной аппроксимации .${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$

Круг [ править ]

Круг (также известный как 1-сферы)

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

не просто связано. Вместо этого каждый гомотопический класс состоит из всех петель, которые наматываются по кругу заданное количество раз (которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от направления намотки). Произведение петли, которая наматывается m раз, и другой петли, которая наматывается около n раз, - это петля, которая наматывается несколько раз. Таким образом, фундаментальная группа круга изоморфна к аддитивной группе целых чисел . Этот факт может быть использован для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке ^[2] и теоремы Борсука – Улама в размерности 2. ^[3]${\displaystyle m+n}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$

Цифра восемь [ править ]

Основная группа восьмерки - это свободная группа из двух букв. Идея доказать это заключается в следующем: выбрав в качестве базовой точки точку, где встречаются два круга (отмечены черными точками на рисунке справа), любой цикл можно разложить на${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

где a и b - две петли, обвивающие каждую половину фигуры, как показано, а показатели степени являются целыми числами. В отличие от основной группы восьмерки не абелева : два способа составления a и b не гомотопны друг другу:${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{1}\right),}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].}$

В более общем смысле, фундаментальная группа букета из r кругов - это свободная группа из r букв.

Фундаментальная группа суммы клина двух пространств с линейной связностью X и Y может быть вычислена как свободное произведение отдельных фундаментальных групп:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).}$

Это обобщает вышеприведенные наблюдения, поскольку восьмерка представляет собой сумму клиньев двух окружностей.

Фундаментальная группа плоскости, проколотой в n точках , также является свободной группой с n образующими. Я -й генератор класс цикла , который идет вокруг я -й прокол , не обходя любые другие проколы.

Графики [ править ]

Фундаментальная группа может быть определена и для дискретных структур. В частности, рассмотрим связный граф G = ( V , E ) , с обозначенной вершиной V ₀ в V . Циклы в G - это циклы, которые начинаются и заканчиваются в v ₀ . ^[4] Пусть T будет остов из G . Каждая простая петля в G содержит ровно одно ребро в E \ T ; каждый цикл в G представляет собой конкатенацию таких простых циклов. Следовательно, фундаментальная группаГраф является свободной группой , в которой число образующих именно число ребер в E \ T . Это число равно | E | - | V | +1 . ^[5]

Например, предположим, что G имеет 16 вершин, расположенных в 4 ряда по 4 вершины в каждом, с ребрами, соединяющими вершины, смежные по горизонтали или вертикали. Тогда в G всего 24 ребра, а количество ребер в каждом остовном дереве равно 16 - 1 = 15 , поэтому фундаментальная группа G - это свободная группа с 9 образующими. ^[6] Обратите внимание, что G имеет 9 «дырок», аналогично букету из 9 кругов, который имеет ту же фундаментальную группу.

Группы узлов [ править ]

Группы узлов по определению являются фундаментальной группой дополнения узла K, вложенного в.Например, группа узлов узла-трилистника известна как группа кос, которая дает еще один пример неабелевой фундаментальной группы. Презентации Виртингер явно описывают группы узлов в терминах образующих и соотношений на основе диаграммы узла. Поэтому группы узлов имеют некоторое использование в теории узлов, чтобы различать узлы: если онине изоморфны какой-либо другой группеузлов другого узла K ' , то K не может быть преобразован в${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle B_{3},}$${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K\right)}$${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\setminus K'\right)}$${\displaystyle K'.}$Таким образом, трилистник не может быть непрерывно трансформируется в круг (также известный как тривиальный узел ), так как последние имеет узел группы . Однако есть узлы, которые не деформируются друг в друга, но имеют изоморфные группы узлов.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ориентированные поверхности [ править ]

Фундаментальная группа ориентируемой поверхности рода n может быть вычислена в терминах образующих и соотношений как

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Это включает тор , как случай рода 1, фундаментальная группа которого

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$

Топологические группы [ править ]

Фундаментальная группа топологической группы X (относительно базовой точки, являющейся нейтральным элементом) всегда коммутативна. В частности, фундаментальная группа группы Ли коммутативна. Фактически, групповая структура на X наделяется другой групповой структурой: учитывая две петли и в X , другой цикл может быть определен с помощью группового умножения в X : ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$

${\displaystyle \left(\gamma \star \gamma '\right)(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

Эта бинарная операция на множестве всех циклов априори не зависит от описанной выше. Однако аргумент Экмана – Хилтона показывает, что он действительно согласуется с приведенной выше конкатенацией петель и, более того, что результирующая структура группы является абелевой. ^{[7] [8]}${\displaystyle \star }$

Проверка доказательства показывает, что, в более общем смысле, абелево для любого H-пространства X , т. Е. Умножение не обязательно должно иметь обратный, и оно не обязательно должно быть ассоциативным. Например, это показывает , что фундаментальная группа пространства петель другого топологического пространства Y , абелева. Связанные идеи приводят к вычислению Хайнцем Хопфом когомологий группы Ли .${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X=\Omega (Y),}$

Функциональность [ править ]

If - непрерывное отображение, и с then каждый цикл в X с базовой точкой может быть составлен с помощью f, чтобы получить цикл в Y с базовой точкой. Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и с композицией циклов. Результирующий гомоморфизм групп , называемый индуцированным гомоморфизмом , записывается как или, чаще,${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle y_{0}\in Y}$${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y_{0}.}$${\displaystyle \pi (f)}$

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Это отображение непрерывных отображений в гомоморфизмы групп совместимо с композицией отображений и тождественных морфизмов. Говоря языком теории категорий , образование, ассоциирующее топологическому пространству его фундаментальную группу, поэтому является функтором

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}}$

из категории топологических пространств вместе с базовой точкой в категорию групп . Оказывается, этот функтор не различает отображения, гомотопные относительно базовой точки: если f , g  : X → Y - непрерывные отображения с f ( x ₀ ) = g ( x ₀ ) = y ₀ , а f и g гомотопны относительно { x ₀ }, то f _∗ = g _∗. Как следствие, два гомотопически эквивалентных линейно связных пространства имеют изоморфные фундаментальные группы:

${\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Например, включение круга в проколотую плоскость

${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$

является гомотопической эквивалентностью и, следовательно, дает изоморфизм их фундаментальных групп.

Функтор фундаментальной группы переводит продукты в продукты, а совместные продукты - в продукты . То есть, если X и Y соединены по пути, то

${\displaystyle \pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Абстрактные результаты [ править ]

Как упоминалось выше, вычисление фундаментальной группы даже относительно простых топологических пространств, как правило, не совсем тривиально, но требует некоторых методов алгебраической топологии.

Отношение к первой группе гомологии [ править ]

Абелианизация фундаментальной группы может быть идентифицирована с первой группой гомологии пространства.

Частный случай теоремы Гуревича утверждает, что первая сингулярная группа гомологий является, говоря простым языком, ближайшим приближением к фундаментальной группе с помощью абелевой группы. Более подробно, сопоставление гомотопического класса каждой петли с гомологическим классом петли дает групповой гомоморфизм${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

от фундаментальной группы топологического пространства X до его первой сингулярной группы гомологий. Этот гомоморфизм, вообще говоря, не является изоморфизмом, поскольку фундаментальная группа может быть неабелевой, но группа гомологий, по определению, всегда абелева. Это различие, однако, единственное: если X линейно связно, этот гомоморфизм сюръективен, а его ядром является коммутаторная подгруппа фундаментальной группы, так что это изоморфно абелианизации фундаментальной группы. ^[9]${\displaystyle H_{1}(X).}$${\displaystyle H_{1}(X)}$

Склейка топологических пространств [ править ]

Обобщая приведенное выше утверждение, для семейства пространств линейной связности фундаментальная группа является свободным произведением фундаментальных групп из ^[10]. Этот факт является частным случаем теоремы Зейферта – ван Кампена , которая позволяет вычислить, в более общем случае, фундаментальные группы пространств, склеенных из других пространств. Например, 2-сфера может быть получена путем склеивания двух копий слегка перекрывающихся полусфер вдоль окрестности экватора . В этом случае теорема дает${\displaystyle X_{i},}$${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)}$тривиально, поскольку две полусферы стягиваемы и, следовательно, имеют тривиальную фундаментальную группу. Фундаментальные группы поверхностей, как упоминалось выше, также могут быть вычислены с помощью этой теоремы.

Говоря языком теории категорий, теорему можно кратко сформулировать, сказав, что функтор фундаментальной группы переводит выталкивания (в категории топологических пространств) вдоль включений в выталкивания (в категории групп). ^[11]

Покрытия [ править ]

Карта является покрытием: прообраз U (выделено серым цветом) является объединением непересекающихся копий U . Более того, это универсальное покрытие, так как оно стягиваемое и, следовательно, односвязное.${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]\to S^{1}\times [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,1]}$

Учитывая топологическое пространство B , A непрерывного отображения

${\displaystyle f:E\to B}$

называется покрытием или Е называются охватывающее пространством от B , если каждая точка Ь в B допускает открытую окрестность U такие , что существует гомеоморфизм между прообразом из U и несвязного объединением копия U (индексируются некоторым множество I ) ,

${\displaystyle \varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}$

таким образом, что это стандартное отображение проекции ^[12]${\displaystyle \pi \circ \varphi }$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$

Универсальное покрытие [ править ]

Покрытие называется универсальным, если E , помимо предыдущего условия, односвязно. ^[13] Она универсальна в том смысле , что все другие покрытия могут быть сконструированы путем соответствующего определения точек в Е . Зная универсальное покрытие

${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\to X}$

топологического пространства X помогает понять его фундаментальную группу несколькими способами: во-первых, отождествляется с группой преобразований колоды , т. е. с группой гомеоморфизмов , коммутирующих с отображением в X , т. е. Другое отношение к фундаментальной группе состоит в том, что можно идентифицировать с волокном Например, карта${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$${\displaystyle p\circ \varphi =p.}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle p^{-1}(x).}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1},t\mapsto \exp(2\pi it)}$

(или, что то же самое, ) - универсальное покрытие. Преобразования колоды - это карты для этого соответствует идентификации, в частности, это доказывает приведенное выше утверждение.${\displaystyle \pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]}$${\displaystyle t\mapsto t+n}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{1}\right)\cong \mathbb {Z} .}$

Любое путь связное, локально линейно связное и локально односвязное топологическое пространство X допускает универсальное покрытие. ^[14] Абстрактная конструкция действует аналогично фундаментальной группе, беря пары ( x , γ), где x - точка в X, а γ - гомотопический класс путей из x ₀ в x . Переход от топологического пространства к его универсальному покрытию может быть использован в понимании геометрии X . Например, теорема униформизации показывает , что любая односвязная риманова поверхность является (изоморфно) либо или${\displaystyle S^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$верхняя полуплоскость . ^[15] Общие римановы поверхности тогда возникают как факторы групповых действий на этих трех поверхностях.

Фактор из действия а ( дискретной ) группы G на односвязное пространство Y имеет фундаментальную группу

${\displaystyle \pi _{1}(Y/G)\cong G.}$

Например, вещественное n- мерное реальное проективное пространство получается как фактор n- мерной сферы по антиподальному действию группы, отправляющей в As , односвязно для n ≥ 2, оно является универсальным покрытием в этих случаях , откуда при n ≥ 2.${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle -x.}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}\right)\cong \mathbb {Z} /2}$

Группы лжи [ править ]

Пусть G связная односвязная компактная группа Ли , например, специальная унитарная группа SU ( п ), и пусть Γ конечная подгруппа G . Тогда однородное пространство X  =  G / Γ имеет фундаментальную группу Г, которая действует правого умножение на универсальной накрывающей G . Среди множества вариантов этой конструкции одним из наиболее важных являются локально симметричные пространства X  = Γ \ G / K , где

• G - некомпактная односвязная связная группа Ли (часто полупростая ),
• K - максимальная компактная подгруппа группы G
• Γ является дискретной счетным кручения подгруппы G .

В этом случае фундаментальной группой является Γ, а универсальное накрывающее пространство G / K действительно стягиваемо (согласно разложению Картана для групп Ли ).

В качестве примера взять G  = SL (2, R ), K  = SO (2) и Γ любой кручения конгруэнцподгруппа из модулярной группы SL (2, Z ).

Из явной реализации, также следует , что универсальное накрытие пространство связно топологическая группа H снова путь связана топологическая группа G . Более того, накрывающее отображение является непрерывным открытым гомоморфизмом группы G на H с ядром Γ, замкнутой дискретной нормальной подгруппой группы G :

${\displaystyle 1\to \Gamma \to G\to H\to 1.}$

Так как G является связной группой с непрерывным действием сопряжением на дискретной группы Г, он должен действовать тривиально, так что Γ должна быть подгруппой центра из G . В частности, π ₁ ( H ) = Γ абелева группа ; это также можно легко увидеть, не используя закрытые пространства. Группа G называется универсальной накрывающей группы из  Н .

Как предполагает универсальная накрывающая группа, существует аналогия между фундаментальной группой топологической группы и центром группы; это разрабатывается в Решетке покрывающих групп .

Волокна [ править ]

Фибрации предоставляют очень мощное средство для вычисления гомотопических групп. Расслоение f на так называемое тотальное пространство и базовое пространство B обладает, в частности, тем свойством, что все его слоигомотопически эквивалентны и поэтому не могут быть выделены с помощью фундаментальных групп (и высших гомотопических групп) при условии, что B - путь -связанный. ^[16] Таким образом, пространство E можно рассматривать как " скрученное произведение" базового пространства B и слоя . Большое значение расслоений для вычисления гомотопических групп проистекает из длинной точной последовательности${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

при условии, что B соединен по пути. ^[17] Термин является второй гомотопической группой из B , которая определяется как множество гомотопических классов отображений к B , в прямой аналогии с определением${\displaystyle \pi _{2}(B)}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}.}$

Если E оказывается линейно связным и односвязным, эта последовательность сводится к изоморфизму

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

которое обобщает отмеченный выше факт об универсальном накрытии (что равносильно случаю, когда слой F также дискретен). Если вместо этого F оказывается связным и односвязным, он сводится к изоморфизму

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

Более того, последовательность может быть продолжена слева с высшими гомотопическими группами трех пространств, что дает некоторый доступ к вычислению таких групп в том же духе.${\displaystyle \pi _{n}}$

Классические группы Ли [ править ]

Такие послойные последовательности могут быть использованы для индуктивного вычисления фундаментальных групп компактных классических групп Ли, таких как специальная унитарная группа, у которой эта группа действует транзитивно на единичной сфере внутри . Стабилизатор точки на сфере изоморфен ей, тогда можно показать ^{[18 ],} что дает послойную последовательность${\displaystyle \mathrm {SU} (n),}$${\displaystyle n\geq 2.}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}.}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1).}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n-1)\to \mathrm {SU} (n)\to S^{2n-1}.}$

Поскольку сфера имеет размерность не менее 3, отсюда следует ${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle S^{2n-1}}$

${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2n-1}\right)\cong \pi _{2}\left(S^{2n-1}\right)=1.}$

Тогда длинная точная последовательность показывает изоморфизм

${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (n))\cong \pi _{1}(\mathrm {SU} (n-1)).}$

Поскольку это одна точка, это тривиально, это показывает, что это односвязно для всех${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SU} (1))}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$${\displaystyle n.}$

Фундаментальная группа некомпактных групп Ли сводится к компактному случаю, поскольку такая группа гомотопна своей максимальной компактной подгруппе. ^[19] Эти методы дают следующие результаты: ^[20]

Компактная классическая группа Ли G	Некомпактная группа Ли	${\displaystyle \pi _{1}}$
особая унитарная группа ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$	1
унитарная группа ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$
специальная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$для и для${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n=2}$
компактная симплектическая группа ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$	1

Второй метод вычисления фундаментальных групп применим ко всем связным компактным группам Ли и использует аппарат максимального тора и связанной с ним корневой системы . В частности, пусть максимальный тор в связной компактной группы Ли , и пусть алгебра Ли The экспоненциального отображения${\displaystyle T}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle T.}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {t}}\to T}$

является расслоением, поэтому его ядро отождествляется с картой${\displaystyle \Gamma \subset {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle \pi _{1}(T).}$

${\displaystyle \pi _{1}(T)\to \pi _{1}(K)}$

можно показать, что он сюръективен ^[21] с ядром, заданным множеством I целочисленных линейных комбинаций сопутствующих корней . Это приводит к вычислению

${\displaystyle \pi _{1}(K)\cong \Gamma /I.}$^[22]

Этот метод показывает, например, что любая связная компактная группа Ли, для которой ассоциированная корневая система имеет тип G 2 {\displaystyle G_{2}} , односвязна. ^[23] Таким образом, существует (с точностью до изоморфизма) только одна связная компактная группа Ли, имеющая алгебру Ли типа ; эта группа односвязна и имеет тривиальный центр.${\displaystyle G_{2}}$

Группа ребер-путей симплициального комплекса [ править ]

Когда топологическое пространство гомеоморфно симплициальному комплексу , его фундаментальная группа может быть явно описана в терминах образующих и отношений .

Если Х представляет собой связное симплициальный комплекс , краевой путь в X определяется как цепь вершин , соединенных ребрами в X . Две краевых дорожек называются ребра эквивалентны , если один может быть получено из другого путем последовательного переключения между кромкой и двумя противоположными краями треугольника в X . Если v - фиксированная вершина в X , рёберный цикл в v - это рёберный путь, начинающийся и заканчивающийся в v . Группа ребер-путей E ( X ,  v) определяется как набор классов рёберной эквивалентности рёбер-петель в точке v , с произведением и инверсией, определяемыми конкатенацией и обращением рёбер-луп.

Группа ребер-путей естественно изоморфна π ₁ (| X |,  v ), фундаментальной группе геометрической реализации | X | из X . ^[24] Поскольку он зависит только от 2-скелета X ² элемента X (то есть вершин, ребер и треугольников X ), группы π ₁ (| X |, v ) и π ₁ (| X ² | ,  v ) изоморфны.

Группа ребер-путей может быть явно описана в терминах генераторов и отношений . Если Т является максимальным связующим деревом в 1-скелете из X , то Е ( х ,  v ) канонический изоморфен группе с образующими (ориентированными краевыми траекториями X , не входящие в Т ) и соотношений (кромочный-эквивалентностей соответствующие треугольникам в X ). Аналогичный результат верен, если заменить T любым односвязным, в частности стягиваемым, подкомплексом X. Это часто дает практический способ вычисления фундаментальных групп и может использоваться, чтобы показать, что каждая конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа конечного симплициального комплекса. Это также один из классических методов, используемых для топологических поверхностей , которые классифицируются по их фундаментальным группам.

Универсальный накрывающий конечного подключенного симплициального комплекс X также можно описать непосредственно как Симплициальный комплекс с использованием краевых-пути. Его вершины - это пары ( w , γ), где w - вершина X, а γ - класс эквивалентности ребер путей из v в w . В K -simplices , содержащие ( ш , у) естественно соответствуют к -simplices , содержащий ш . Каждая новая вершина U из к симплексу дает преимущество в и , следовательно, конкатенация нового пути γ _U отv к ц . Точки ( w , γ) и ( u , γ _u ) являются вершинами «перенесенного» симплекса в универсальном накрывающем пространстве. Группа края путь действует естественным путем конкатенации, сохраняя симплициальную структуру, и фактор - пространство просто Х .

Хорошо известно, что этот метод можно использовать и для вычисления фундаментальной группы произвольного топологического пространства. Несомненно, это было известно Эдуарду Чеху и Жану Лере и явным образом появилось в виде замечания в статье Андре Вейля ; ^[25] различные другие авторы, такие как Лоренцо Калаби, Ву Вэнь-цзюнь и Нодар Берикашвили, также опубликовали доказательства. В простейшем случае компакта X с конечным открытым покрытием, в котором все непустые конечные пересечения открытых множеств в покрытии стягиваются, фундаментальная группа может быть отождествлена ​​с группой рёберных путей симплициального комплекса, соответствующего нерв покрова .

Реализуемость [ править ]

• Каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа связного CW-комплекса размерности 2 (или выше). Однако, как отмечалось выше, только свободные группы могут встречаться в качестве фундаментальных групп одномерных CW-комплексов (то есть графов).
• Каждая конечно представленная группа может быть реализована как фундаментальная группа компактного связного гладкого многообразия размерности 4 (или выше). Но существуют строгие ограничения на то, какие группы встречаются как фундаментальные группы многообразий низкой размерности. Например, никакая свободная абелева группа ранга 4 или выше не может быть реализована как фундаментальная группа многообразия размерности 3 или меньше. Можно доказать, что каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа компактного хаусдорфова пространства тогда и только тогда, когда не существует измеримого кардинала . ^[26]

Понятия, связанные с данным [ править ]

Высшие гомотопические группы [ править ]

Грубо говоря, фундаментальная группа обнаруживает одномерную дырочную структуру пространства, но не дырки в более высоких измерениях, таких как 2-сфера. Такие «многомерные отверстия» могут быть обнаружены с помощью высших гомотопических групп , которые определены состоять из гомотопических классов (Basepoint сохраняющих) отображает от до X . Например, из теоремы Гуревича следует, что n -я гомотопическая группа n -сферы (для всех ) являются${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^[27]

Как было упомянуто выше при вычислении классических групп Ли, высшие гомотопические группы могут быть применимы даже для вычисления фундаментальных групп.${\displaystyle \pi _{1}}$

Пространство петли [ править ]

Множество базируемых петель (как есть, т. Е. Не рассматриваемых до гомотопии) в точечном пространстве X , наделенном компактной открытой топологией , известно как пространство петель , обозначаемое . Фундаментальная группа X находится в биекции с множеством компоненты пути его пространства цикла: ^[28]${\displaystyle \Omega X.}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

Фундаментальный группоид [ править ]

Фундаментальный группоид представляет собой варианты фундаментальной группы, которая полезна в тех ситуациях , когда выбор базовой точки нежелателен. Она определяется первым рассматривает категорию из путей в т.е. непрерывных функций${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$,

где r - произвольное неотрицательное действительное число. Поскольку длина r в этом подходе является переменной, такие пути могут быть объединены как есть (т. Е. Не до гомотопии) и, следовательно, дать категорию. ^[29] Два таких пути с одинаковыми конечными точками и длиной r соответственно. r ' считаются эквивалентными, если существуют такие вещественные числа , что и являются гомотопными относительно своих конечных точек, где ^{[30] [31]} обозначается категория путей до этого отношения эквивалентности. Каждый морфизм в является изоморфизмом.${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$${\displaystyle u,v\geqslant 0}$${\displaystyle r+u=r'+v}$${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$${\displaystyle \Pi (X).}$${\displaystyle \Pi (X)}$, причем инверсия задается тем же путем, пройденным в противоположном направлении. Такая категория называется группоидом . Он воспроизводит фундаментальную группу, поскольку

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$.

В более общем плане можно рассматривать фундаментальный группоид на множестве A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации; например, в случае круга, который может быть представлен как объединение двух связанных открытых множеств, пересечение которых имеет два компонента, можно выбрать одну базовую точку в каждом компоненте. Теорема ван Кампена допускает версию для фундаментальных группоидов, которая дает, например, другой способ вычисления фундаментальной группы (oid) из ^[32]${\displaystyle S^{1}.}$

Локальные системы [ править ]

Вообще говоря, представления могут служить для демонстрации свойств группы посредством ее действий с другими математическими объектами, часто с векторными пространствами . Представления фундаментальной группы имеют очень геометрическое значение: любая локальная система (т. Е. Пучок на X, обладающий тем свойством, что локально в достаточно малой окрестности U любой точки на X ограничение F является постоянным пучком вида ) порождает так называемое представление монодромии , представление фундаментальной группы на n -мерном${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$-векторное пространство. Наоборот, любое такое представление на линейно связном пространстве X возникает таким образом. ^[33] Эта эквивалентность категорий между представлениями и локальными системами используется, например, при изучении дифференциальных уравнений , таких как уравнения Книжника – Замолодчикова .${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Этальская фундаментальная группа [ править ]

В алгебраической геометрии так называемая этальная фундаментальная группа используется в качестве замены фундаментальной группы. ^[34] Так как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или схеме X является гораздо грубее , чем, скажем, топология открытых подмножеств в это больше не имеет смысла рассматривать непрерывные отображения с интервалом в X . Вместо этого, подход , разработанный Гротендиком состоит в построении с учетом всех конечных Этальные покрытий из X . Они служат алгебро-геометрическим аналогом накрытий с конечными слоями. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$

Это дает теорию, применимую в ситуации, когда нет никакой большой общности классической топологической интуиции, например, для многообразий, определенных над конечным полем . Кроме того, этальная фундаментальная группа поля - это его (абсолютная) группа Галуа . С другой стороны, для гладких многообразий X над комплексными числами этальная фундаментальная группа сохраняет большую часть информации, присущей классической фундаментальной группе: первая является проконечным пополнением второй. ^[35]

Основная группа алгебраических групп [ править ]

Фундаментальная группа корневой системы определяется аналогично вычислению для групп Ли. ^[36] Это позволяет определить и использовать фундаментальную группу полупростой линейной алгебраической группы G , которая является полезным базовым инструментом в классификации линейных алгебраических групп. ^[37]

Фундаментальная группа симплициальных множеств [ править ]

Отношение гомотопии между 1-симплексами симплициального множества X является отношением эквивалентности, если X является комплексом Кана, но не обязательно так в общем случае. ^[38] Таким образом, комплекс Кана можно определить как множество гомотопических классов 1-симплексов. Фундаментальная группа произвольного симплициального множество X определена как гомотопическая группа ее топологической реализации , т.е. топологического пространства , полученного склеивания топологических симплексов , как это предписано симплициальное множество структура X . ^[39]${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle |X|,}$

См. Также [ править ]

• Орбифолд фундаментальная группа

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные пространства петель , Анналы математических исследований, 90 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, Руководство по ремонту  0505692
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Удар, Дэниел (2013), Группы Ли , Тексты для выпускников по математике, 225 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4614-8024-2 , ISBN 978-1-4614-8023-5
• Кроуэлл, Ричард Х .; Фокс, Ральф (1963), Введение в теорию узлов , Springer
• Эль-Зейн, Фуад; Suciu, Александр I .; Тосун, Мерал; Улудах, Мухаммед; Юзвинский, Сергей (2010), Устройства, локальные системы и особенности: Летняя школа CIMPA, Университет Галатасарай, Стамбул, 2007 , ISBN 978-3-0346-0208-2
• Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях , ISBN 0-387-90617-7
• Фултон, Уильям (1995), Алгебраическая топология: первый курс , Springer, ISBN 9780387943275
• Гёрсс, Пол Г .; Джардин, Джон Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопий , Прогресс в математике, 174 , Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathématique de Francei , стр. X 327. см. Exp. V, IX, X., arXiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
• Питер Хилтон и Шон Уайли , Теория гомологии , Cambridge University Press (1967) [предупреждение: эти авторы используют контргомологии для когомологий ]
• Хамфрис, Джеймс Э. (2004), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, Springer, ISBN 9780387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , ISBN 0-387-90052-7
• Маундер, CRF (январь 1996 г.), алгебраическая топология , Dover Publications , ISBN 0-486-69131-4
• Мэсси, Уильям С. (1991), Базовый курс алгебраической топологии , Springer, ISBN 038797430X
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , ISBN 9780226511832
• Дин Монтгомери и Лео Зиппин, группы топологической трансформации , Interscience Publishers (1955)
• Мункрес, Джеймс Р. (2000), топология , Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2
• Ротман, Джозеф (1998-07-22), Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3
• Зейферт, Герберт ; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии , переведенный Хайлем, Вольфгангом, Academic Press , ISBN 0-12-634850-2
• Певица Исадор. М .; Торп, Дж. А. (1976-12-10), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , ISBN 0-387-90202-3
• Спаниер, Эдвин Х. (1989), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Стром, Джеффри (2011), Современная классическая теория гомотопий , AMS, ISBN 9780821852866

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная группа» . MathWorld .

• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема ван Кампена : обсуждение фундаментального группоида топологического пространства и фундаментального группоида симплициального множества
• Анимация для представления фундаментальной группы Николя Делану
• Наборы базовых точек и фундаментальные группоиды: обсуждение mathoverflow
• Группоиды в математике

Викискладе есть медиафайлы по теме Fundamental group .