Гомотопия

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет одну возможную гомотопию.

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопическими (от греческого ὁμός homós «тот же, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна может быть «непрерывно деформирована» в другую, например деформация называется гомотопией между двумя функциями. Заметное использование гомотопии - определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии . ^[1]

На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно порожденными пространствами , комплексами CW или спектрами .

Формальное определение [ править ]

Гомотопия между двумя вложениями в торе в R ³ : как «поверхность бублика» и как «поверхность кружка кофе». Это тоже пример изотопии .

Формально, гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция от произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y, такая что и для все . ${\ Displaystyle H: X \ раз [0,1] \ до Y}$${\ Displaystyle Н (х, 0) = е (х)}$${\ Displaystyle Н (х, 1) = г (х)}$${\ displaystyle x \ in X}$

Если мы считаем , что второй параметр из H в качестве времени , то Н описывает непрерывную деформацию из F в г : в момент времени 0 мы имеем функцию F , и в момент времени 1 мы имеем функцию г . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g, когда ползунок перемещается от 0 до 1 и наоборот.

Альтернативное обозначение - сказать, что гомотопия между двумя непрерывными функциями - это семейство непрерывных функций для таких, что и , и отображение непрерывно из в . Две версии совпадают по настройке . Недостаточно требовать, чтобы каждая карта была непрерывной. ^[2]${\ displaystyle f, g: от X \ до Y}$${\ displaystyle h_ {t}: от X \ до Y}$${\ Displaystyle т \ в [0,1]}$${\ displaystyle h_ {0} = f}$${\ displaystyle h_ {1} = g}$ ${\ Displaystyle (х, т) \ mapsto ч_ {т} (х)}$${\ Displaystyle X \ раз [0,1]}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle h_ {t} (x) = H (x, t)}$${\ displaystyle h_ {t} (x)}$

Анимация, которая зацикливается наверху справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями , f и g , тора в R ³ . X - тор, Y - R ³ , f - некоторая непрерывная функция от тора до R ^3, которая переводит тор во вложенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g - некоторая непрерывная функция, которая переводит тор во вложенную форму поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h _t ( x ) как функцию параметраt , где t изменяется со временем от 0 до 1 в течение каждого цикла цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t изменяется обратно от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.

Свойства [ править ]

Непрерывные функции f и g называются гомотопическими тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Будучи гомотопными является отношением эквивалентности на множестве всех непрерывных функций из X в Y . Это гомотопическое отношение согласовано с композицией функций в следующем смысле: если f ₁ , g ₁  : X → Y гомотопны и f ₂ , g ₂  : Y → Zгомотопны, то их композиции f ₂  ∘  f ₁ и g ₂  ∘  g ₁  : X → Z также гомотопны.

Примеры [ править ]

• Если заданы как и , то отображение, данное как, является гомотопией между ними.${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\displaystyle f(x):=(x,x^{3})}$${\displaystyle g(x)=(x,e^{x})}$${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle H(x,t)=(x,(1-t)x^{3}+te^{x})}$
• В более общем смысле , если является выпуклое подмножество евклидова пространства и имеют дорожки с теми же концами, то есть линейная Гомотопический ^[3] (или прямой линии Гомотопический ) задается${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]&\times [0,1]\longrightarrow C\\(s,t)\longmapsto (1&-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• Позвольте быть тождественной функцией на единице n - диска , т.е. на множестве . Позвольте быть постоянной функцией, которая отправляет каждую точку в начало координат . Тогда между ними существует гомотопия:${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$${\displaystyle B^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}&\times [0,1]\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

Гомотопическая эквивалентность [ править ]

Принимая во внимание два топологических пространства X и Y , A гомотопическая эквивалентность между Й и Y представляет собой пару непрерывных отображений F  : X → Y и г  : Y → X , такие , что г  ∘  е гомотопен тождественное отображение идентификатор _Х и е  ∘  г гомотопный ид _Y . Если такая пара существует, то говорят , что X и Y гомотопически эквивалентны или имеют один и тот же гомотопический тип.. Интуитивно два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если они могут быть преобразованы друг в друга с помощью операций сгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма [ править ]

Гомеоморфизм представляет собой частный случай гомотопической эквивалентности, в котором г  ∘  е равно тождественное отображение идентификатора _X (не только гомотопный к нему), а е  ∘  г равно ид _Y . ^{[4] : 0:53:00} Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:

• Твердый диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете деформировать диск по радиальным линиям непрерывно до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (один из способов доказать это - то, что диск и точка имеют разную размерность, и размерность инвариантна относительно гомеоморфизма).
• Мёбиус и раскручивается (закрытые) полосы гомотопически эквивалентны, так как вы можете деформировать обе полосы непрерывно по кругу. Но они не гомеоморфны.

Примеры [ править ]

• Первый пример гомотопической эквивалентности - точка, обозначенная . Часть, которую необходимо проверить, - это наличие гомотопии между и , проекция на начало координат. Это можно описать как .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• Существует гомотопическая эквивалентность между и .${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
• В более общем плане .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• Любое расслоение со слоями, гомотопически эквивалентными точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальное и базовое пространства. Это обобщает предыдущие два примера, поскольку представляет собой пучок волокон с волокном .${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• Каждое векторное расслоение является расслоением со слоистой гомотопией, эквивалентной точке.
• Для любого , написав as и применив приведенные выше гомотопические эквивалентности.${\displaystyle 0\leq k<n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$
• Если подкомплекс из комплекса CW стягивается, то фактор - пространство гомотопически эквивалентно . ^[5]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/A}$${\displaystyle X}$
• Деформационная ретракция гомотопическая эквивалентность.

Нуль-гомотопия [ править ]

Функция f называется гомотопной нулю. если он гомотопен постоянной функции. (Гомотопию от f к постоянной функции тогда иногда называют нулевой гомотопией .) Например, отображение f из единичной окружности S ¹ в любое пространство X является нулевым гомотопным именно тогда, когда оно может быть непрерывно расширено до отображения из единичный диск D ² в X , совпадающее с F на границе.

Из этих определений следует, что пространство X стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из X в себя - которое всегда является гомотопической эквивалентностью - гомотопно нулю.

Инвариантность [ править ]

Гомотопическая эквивалентность важна, потому что в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть они уважают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:

• Х является линейно связным тогда и только тогда , когда Y представляет.
• X является односвязной тогда и только тогда , когда Y есть.
• В (сингулярные) гомологии и когомологий из X и Y являются изоморфными .
• Если Х и Y являются линейно связным, то фундаментальные группы из X и Y изоморфны, и поэтому высшие гомотопические группы . (Без предположения линейной связности π ₁ ( X ,  x ₀ ) изоморфна π ₁ ( Y ,  f ( x ₀ )), где f  : X → Y - гомотопическая эквивалентность и x ₀ ∈ X. )

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не является гомотопически-инвариантной).

Варианты [ править ]

Относительная гомотопия [ править ]

Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, в которых элементы подпространства остаются фиксированными. Формально: если е и г непрерывные отображения из X в Y и K представляет собой подмножество из X , то мы говорим , что е и г гомотопны относительно K , если существует гомотопия H  : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H (k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме, если г является отвод из X в К и е тождественное отображение, это известнокак сильной деформации ретракта из X в K . Когда K является точкой, используется термин заостренная гомотопия .

Изотопия [ править ]

В случае, если две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно спросить, могут ли они быть связаны «посредством вложений». Это приводит к концепции изотопии , которая является Гомотопический, Н , в обозначениях использовали до этого , таким образом, что при каждом фиксированном т , Н ( х ,  т ) дает вложение. ^[6]

Родственная, но другая концепция - это концепция окружающей изотопии .

Требование, чтобы два вложения были изотопными, является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение из интервала [−1, 1] в действительные числа, определенные как f ( x ) = - x , не изотопно тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до идентичности должна была бы поменять конечные точки, что означало бы, что они должны будут «проходить через» друг друга. Более того, f изменило ориентацию интервала, а g - нет, что невозможно при изотопии. Однако карты гомотопны; одна гомотопия из f в тождествоH : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданный формулой H ( x ,  y ) = 2 yx  -  x .

Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, согласованные на границе, можно показать, что они изотопны, используя уловку Александера . По этой причине, карта единичного круга в R ² , определяемой F ( х ,  у ) = (- х , - у ) изотопно на 180 градусов поворота вокруг начала координат, и поэтому тождественное отображение и е изотопны потому что они могут быть соединены вращениями.

В геометрической топологии - например, в теории узлов - идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда следует считать два узла одинаковыми? Берем два узла, K ₁ и K ₂ , в трехмерном мерном пространстве. Узел - это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между окружностью и ее изображением в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узлов, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое путем вложений: непрерывная функция, начинающаяся в t = 0 дает вложение K ₁ , заканчивая t  = 1, дающее вложение K ₂ , со всеми промежуточными значениями, соответствующими вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучали в этом контексте является Изотопией большего пространства, рассматриваемой в свете его действий на встроенном подмногообразия. Узлы K ₁ и K ₂ считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая перемещает K ₁ в K ₂ . Это подходящее определение в топологической категории.

Подобный язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где есть более сильное понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями - это гладкая изотопия .

Времениподобная гомотопия [ править ]

На лоренцевом многообразии определенные кривые различаются как времениподобные (представляющие то, что движется только вперед, а не назад во времени в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная Гомотопический между двумя кривыми времениподобных является гомотопической таким образом, что кривая остатки времениподобных во время непрерывного перехода от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времениподобная кривая (СТК) на лоренцевом многообразии не является времяподобной гомотопной точке (то есть нулевой времяподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть односвязным (любым типом кривой) и при этом бытьвремяподобные многосвязные . ^[7]

Свойства [ править ]

Свойства подъема и расширения [ править ]

Если у нас есть гомотопия H  : X × [0,1] → Y и покрытие p  : Y → Y, и нам дано отображение h ₀  : X → Y такое, что H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ называется подъема из ч ₀ ), то мы можем поднять все H к карте H  : X × [0, 1] → Y такое , что р ○ Н = Н. Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .

Еще одно полезное свойство, связанное с гомотопией, - это свойство расширения гомотопии , которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями от подмножества некоторого набора до самого набора. Это полезно при работе с кофибрациями .

Группы [ править ]

Так как отношение двух функций гомотопности относительно подпространства является отношением эквивалентности, мы можем смотреть на классы эквивалентности отображений между фиксированным X и Y . Если мы зафиксируем , единичный интервал [0, 1] пересекся сам с собой n раз, и мы возьмем его границу как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначенную , где находится в образе подпространства .${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В этом случае ее еще называют фундаментальной группой .${\displaystyle n=1}$

Категория гомотопии [ править ]

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория является категорией, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмами гомотопические классы эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если он может быть выражен как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальным гомотопическим инвариантом: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то гомоморфизмы групп, индуцированные f и g на уровне групп гомологий , одинаковы: H _n ( f ) = H _n ( g ): H _n ( X ) → H _n ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y соединены дополнительно путями, а гомотопия между f и g указана, то гомоморфизмы групп, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп , также совпадают: π _n ( f ) = π _n ( g ): π _n ( X ) → π _п ( Y ).

Приложения [ править ]

На основе концепции гомотопности, методы расчета для алгебраических и дифференциальных уравнений были разработаны. Методы для алгебраических уравнений включают метод продолжения гомотопии ^[8] и метод продолжения (см. Численное продолжение ). К методам построения дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .

См. Также [ править ]

• Слоистая гомотопическая эквивалентность (относительная версия гомотопической эквивалентности)
• Гомеотопия
• Теория гомотопического типа
• Группа классов сопоставления
• Гипотеза Пуанкаре
• Регулярная гомотопия

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Армстронг, Массачусетс (1979). Базовая топология . Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
• "Гомотопия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Изотопия (в топологии)" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.