В топологии , A компактно порожденное пространство (или к-пространство ) представляет собой топологическое пространство , топология которого когерентный с семейством всех компактных подпространств . В частности, топологическое пространство X является компактно порожденным, если оно удовлетворяет следующему условию:
- Подпространство будет закрыто в X тогда и только тогда , когда ∩ K замкнуто в K для всех компактных подпространств K ⊆ X .
Точно так же в этом определении можно заменить closed на open . Если X когерентно с любым покрытием компактных подпространств в указанном выше смысле, то фактически оно когерентно со всеми компактными подпространствами.
Компактно порожденный хаусдорфовый является компактно порожденным пространством , которое также Хаусдорфово . Как и многие условия компактности, компактно порожденные пространства часто считаются хаусдорфовыми или слабо хаусдорфовыми .
Мотивация
Компактно порожденные пространства были первоначально названы k-пространствами после немецкого слова kompakt . Их изучал Гуревич , и их можно найти в «Общая топология» Келли, «Топология» Дугунджи, «Рациональная теория гомотопий» Феликса, Гальперина и Томаса.
Мотивация для их более глубокого изучения возникла в 1960-х годах из-за хорошо известных недостатков обычной категории топологических пространств . Это не может быть декартово замкнутой категории , обычное декартово произведение из идентификационных карт не всегда является идентификация карты, а обычный продукт CW-комплексов не должны быть CW-комплекс. [1] Напротив, категория симплициальных множеств обладала многими удобными свойствами, в том числе декартовой замкнутостью. История изучения исправления этой ситуации приведена в статье о русской лаборатории по удобным категориям пространств .
Первое предложение (1962 г.) исправить эту ситуацию состояло в том, чтобы ограничиться полной подкатегорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств, которая фактически декартово замкнута. Эти идеи распространяются на теорему двойственности де Фриза . Ниже приводится определение экспоненциального объекта . Другое предложение (1964 г.) заключалось в рассмотрении обычных хаусдорфовых пространств, но с использованием функций, непрерывных на компактных подмножествах.
Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфовый случай. [2] Это полезно, поскольку пространства идентификации хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. [3]
В современной алгебраической топологии это свойство обычно сочетается со слабым хаусдорфовым свойством, так что каждый работает в категории слабых хаусдорфовых компактно порожденных пространств (WHCG).
Примеры и контрпримеры
Большинство топологических пространств, обычно изучаемых в математике, компактно порождены.
- Каждый хаусдорфовый компакт компактно порожден.
- Всякое хаусдорфово локально компактное пространство компактно порождено.
- Каждое счетное пространство компактно порождено.
- Топологические многообразия являются локально компактными хаусдорфовыми и, следовательно, компактно порожденными хаусдорфовыми.
- Метрические пространства хаусдорфовы с первой счетностью и потому компактно порождены.
- Каждый CW-комплекс компактно порожден Хаусдорфом.
Примеры топологических пространств, которые не могут быть компактно порождены, включают следующие.
- Космос , Где первый фактор использует топологию подпространства , второй фактор является фактором - пространством из R , где все натуральные числа идентифицированы с одной точкой, а продукт использует топологию продукта .
- Если неглавный ультрафильтр на бесконечном множестве, индуцированная топология обладает тем свойством, что каждый компакт конечен, и не компактно порожден.
Характеристики
Обозначим CGTop полную подкатегорию Top с объектами компактно порожденные пространства, а CGHaus полную подкатегорию CGTop с объектами хаусдорфовы пространства.
Для любого топологического пространства X мы можем определить (возможно) более тонкую топологию на X, которая является компактно порожденной. Пусть { K α } обозначим семейство компактных подмножеств X . Мы определяем новую топологию на X , объявляя подмножество A замкнутым тогда и только тогда, когда A ∩ K α замкнуто в K α для каждого α. Обозначим это новое пространство через X c . Можно показать, что компактные подмножества X c и X совпадают, и индуцированные топологии на компактах совпадают. Отсюда следует, что X c компактно порождено. Если X изначально был сгенерирован компактно, то X c = X, в противном случае топология на X c строго тоньше, чем X (т. Е. Открытых множеств больше).
Эта конструкция функториальна . Функтор из Top в CGTop , который принимает X в X с является сопряженным справа к включению функтора CGTop → Top .
Непрерывности на карте , определенной на компактно порождаемой пространства X может быть определена только посмотрев на компактных подмножеств X . В частности, функция F : X → Y непрерывна тогда и только тогда , когда она непрерывна при ограничении на каждый компакт K ⊆ X .
Если X и Y - два компактно порожденных пространства, произведение X × Y не может быть компактно порожденным (это будет, если хотя бы один из факторов локально компактен). Поэтому при работе в категориях компактно порожденных пространств необходимо определить продукт как ( X × Y ) c .
Экспоненциал в CGHaus дается формулой ( Y X ) с , где Y X есть пространство непрерывных отображений из X в Y с компактно-открытой топологией .
Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфовый случай. [2] Это полезно, поскольку пространства идентификации хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми.
Смотрите также
- Компактная открытая топология
- Счетно генерируемое пространство
- CW комплекс
- Конечно порожденное пространство
- K-пространство (функциональный анализ)
- Слабое хаусдорфово пространство
Рекомендации
- ^ Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология (PDF) . (См. Приложение)
- ^ а б Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Чарльстон, Южная Каролина: Книжный цех. ISBN 1-4196-2722-8. (См. Раздел 5.9)
- ^ П.И. Бут и Дж. Тиллотсон, " Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств ", Тихоокеанский журнал математики , 88 (1980) стр. 33-53.
Обзор
- Компактно сгенерированные пространства - содержит отличный каталог свойств и конструкций с компактно сгенерированными пространствами.
- Компактно порожденное топологическое пространство в nLab
- Удобная категория топологических пространств в nLab
Другой
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6.
- Дж. Питер Мэй , Краткий курс алгебраической топологии , (1999) Чикагские лекции по математике ISBN 0-226-51183-9 (см. Главу 5.)
- Стрикленд, Нил П. (2009). «Категория пространств CGWH» ( PDF ) .