Компактная открытая топология

В математике , то компактно-открытая топология является топология , определенная на множестве из непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами . Компактно-открытая топология - одна из часто используемых топологий на функциональных пространствах и применяется в теории гомотопий и функциональном анализе . Он был представлен Ральфом Фоксом в 1945 году. ^[1]

Если область значений рассматриваемых функций имеет равномерную или метрическую структуру, то компактно-открытая топология является «топологией равномерной сходимости на компактах ». Иными словами, последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии именно тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве области . ^[2]

Определение [ править ]

Пусть $X$ и $Y$ два топологические пространства , и пусть $C (X, Y)$ обозначим множество всех непрерывных отображений между $X$ и $Y$ . Для компактного подмножества $K$ в $X$ и открытого подмножества $U$ в $Y$ обозначим через $V (K, U)$ множество всех функций $f$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ таких, что $f$ $($ $К) \subseteq U .$ Тогда совокупность всех таких $V (K, U)$ является подбазой компактно-открытой топологии на $C (X, Y)$ . (Этот набор не всегда составляет основу топологии на $C (X, Y)$ .)

При работе в категории из компактно порожденных пространств , оно является общим для изменения этого определения пути ограничения к предбазам , образованным из тех , $K$ , которые являются образом компактного хаусдорфова пространства . Конечно, если $X$ компактно порождено и хаусдорфово, это определение совпадает с предыдущим. Однако модифицированное определение имеет решающее значение, если кто-то хочет, чтобы удобная категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств была декартово замкнутой среди других полезных свойств. ^[3]^[4]^[5] Путаница между этим определением и приведенным выше вызвана различным использованием словакомпактный .

Свойства [ править ]

Если $*$ является взаимно одноточечное пространство , то можно определить $C (*, Y)$ с $Y$ , и при этой идентификации компактно-открытая топология совпадает с топологией на $Y$ . В более общем смысле , если $Х$ представляет собой дискретное пространство , то $С (Х, Y)$ может быть идентифицирован с декартовым произведением из $| X |$ копии $Y$ и компактно-открытая топология согласуется с топологией продукта .
Если $Y$ есть $T 0$ , $T 1$ , хаусдорфово , регулярное или тихоновское , то компактно-открытая топология имеет соответствующую аксиому отделимости .
Если $X$ хаусдорфова и $S$ является подбазой для $Y$ , то набор ${V (K, U): U \in S, K compact}$ является подбазой для компактно-открытой топологии на $C (X, Y)$ . ^[6]
Если $Y$ - метрическое пространство (или, в более общем смысле, равномерное пространство ), то компактно-открытая топология равна топологии компактной сходимости . Другими словами, если $Y$ представляет собой метрическое пространство, то последовательность ${е п}$ сходится к $F$ в компактно-открытой топологии тогда и только тогда , когда для каждого компакта $K$ из $X$ , ${$ $е$ $п$ $}$ равномерно сходится к $F$ на $K$ . Если $X$ компактно и $Y$ является равномерным пространством, то компактно-открытая топология равна топологии равномерной сходимости .
Если $X, Y$ и $Z$ - топологические пространства, где $Y$ локально компактно по Хаусдорфу (или даже просто локально компактно предрегулярно ), то композиционное отображение $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ заданное по $(f, g) \mapsto f \circ g,$ непрерывно (здесь все функциональные пространства заданы компактно-открытой топологией и $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ задана топология произведения ).
Если $Y$ - локально компактное хаусдорфово (или предрегулярное) пространство, то оценочное отображение $e : C (Y, Z) \times Y \to Z$ , определяемое формулой $e (f, x) = f (x)$ , является непрерывным. Это можно рассматривать как частный случай вышеизложенного, когда $X$ - одноточечное пространство.
Если $X$ компактно, и $Y$ представляет собой метрическое пространство с метрикой $д$ , то компактно-открытая топология на $С (Х, Y)$ является метризуемое , и метрика для него задается $е (е, г) = вир {г (f (x), g (x)): x в X}$ для $f$ $,$ $g$ в $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ .

Приложения [ править ]

Компактная открытая топология может использоваться для топологизации следующих множеств: ^[7]

${\ displaystyle \ Omega (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = f (1) = x_ {0} \}}$ , То пространство петель из в , ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$
${\ displaystyle E (X, x_ {0}, x_ {1}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} {\ text {and}} f (1) = x_ { 1} \}}$ ,
${\ displaystyle E (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} \}}$ .

Кроме того, между пространствами существует гомотопическая эквивалентность . ^[7] Эти топологические пространства полезны в теории гомотопий, поскольку их можно использовать для формирования топологического пространства и модели для гомотопического типа множества гомотопических классов отображений. ${\ Displaystyle С (\ Sigma X, Y) \ cong C (X, \ Omega Y)}$ $C(X,Y)$

\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y|f{\text{ is a homotopy class}}\}.

Это потому, что есть набор компонентов пути в , то есть существует изоморфизм множеств $\pi (X,Y)$ $C(X,Y)$

\pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/\sim

где - гомотопическая эквивалентность. $\sim$

Дифференцируемые функции Фреше [ править ]

Пусть $Х$ и $Y$ два банаховых пространства , определенные над одной и той же области , и пусть $С т (U, Y)$ обозначим множество всех $т$ -непрерывно Фреше-дифференцируемые функции из открытого подмножества $U \subseteq X$ к $Y$ . Компактно-открытая топология - это начальная топология, индуцированная полунормами

p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\ :\ x\in K,0\leq j\leq m\right\}

где $D 0 F (х) = е (х)$ , для каждого компактного подмножества $K \subseteq U$ .

Ссылки [ править ]

^ [1]
^ Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer-Verlag. п. 230.
^ «Классифицирующие пространства и бесконечные симметричные произведения»: 273–298. JSTOR 1995 173 . Cite journal requires |journal= (help)
^ "Краткий курс алгебраической топологии" (PDF) .
^ "Компактно генерируемые пространства" (PDF) .
^ Джексон, Джеймс Р. "Пространства отображений на топологических произведениях с приложениями к теории гомотопий" (PDF) : 327–333. JSTOR 2032279 . Cite journal requires |journal= (help)
^ a b Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий. Гомотопическая топология (2-е изд.). С. 20–23.

Дугунджи, Дж. (1966). Топология . Аллин и Бекон. ASIN B000KWE22K .
О.Я. Виро, О.А. Иванов, В.М. Харламов, Н.Ю. Нецветаев (2007) Учебник по задачам элементарной топологии .
«Компактно-открытая топология» . PlanetMath .
Топология и группоиды Раздел 5.9 Рональд Браун, 2006 г.

[1] [1]

[2] Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer-Verlag. п. 230.

[3] «Классифицирующие пространства и бесконечные симметричные произведения»: 273–298. JSTOR 1995 173 . Cite journal requires |journal= (help)

[4] "Краткий курс алгебраической топологии" (PDF) .

[5] "Компактно генерируемые пространства" (PDF) .

[6] Джексон, Джеймс Р. "Пространства отображений на топологических произведениях с приложениями к теории гомотопий" (PDF) : 327–333. JSTOR 2032279 . Cite journal requires |journal= (help)

[:0-7] Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий. Гомотопическая топология (2-е изд.). С. 20–23.

[1]