Функциональное пространство

Функция
$х \mapsto е (х)$
Примеры по домену и codomain
$X$ → $B,$ $B$ → $X,$ $B n$ → $B$ $X$ → $Z,$ $Z$ → $X$ $X$ → $R,$ $R$ → $X,$ $R n$ → $X$ $X$ → $C,$ $C$ → $X,$ $C n$ → $X$
Классы / свойства
Постоянный Личность Линейный Полиномиальный Рациональный Алгебраический Аналитический Гладкий Непрерывный Измеримый Инъекционный Сюръективный Биективный
Конструкции
Ограничение Сочинение λ Обратный
Обобщения
Частичное Многозначный Скрытый
v т е

В математике , А пространство функций является набором из функций между двумя фиксированными множествами. Часто домен и / или кодомен будут иметь дополнительную структуру, которая наследуется функциональным пространством. Например, набор функций из любого набора X в векторное пространство имеет естественную структуру векторного пространства, заданную поточечным сложением и скалярным умножением. В других сценариях функциональное пространство может наследовать топологическую или метрическую структуру, отсюда и название функциональное пространство .

В линейной алгебре [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Ноябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Добавление функций: Сумма синусов и экспоненциальная функция с

{\ Displaystyle \ грех + \ ехр: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle (\ грех + \ ехр) (х) = \ грех (х) + \ ехр (х)}

Пусть V - векторное пространство над полем F и пусть X - любое множество. Функции X → V могут быть заданы структурой векторного пространства над F, где операции определены поточечно, то есть для любых f , g : X → V , любого x в X и любого c в F определите

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} (е + г) (х) & = е (х) + г (х) \\ (с \ cdot f) (х) & = с \ cdot f (х) \ конец {выровнено}}}

Когда домен X имеет дополнительную структуру, можно вместо этого рассматривать подмножество (или подпространство ) всех таких функций, которые уважают эту структуру. Например, если X также является векторным пространством над F , набор линейных отображений X → V образуют векторное пространство над F с поточечными операциями (часто обозначаются Hom ( X , V )). Одним из таких пространств является двойственное к V пространство : множество линейных функционалов V → F со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно.

Примеры [ править ]

Функциональные пространства появляются в различных областях математики:

В теории множеств , множество функций из X в Y может обозначать Х → Y или Y ^X .
- В особом случае, то набор мощности из множества X , может быть идентифицирован с множеством всех функций из X в {0, 1}, обозначаются 2 ^X .
Множество биекций от X к Y обозначается . Факториальное обозначение X ! может быть использовано для перестановок одного множества X . ${\ displaystyle X \ leftrightarrow Y}$
В функциональном анализе то же самое наблюдается для непрерывных линейных преобразований, включая топологии векторных пространств, указанных выше, и многие из основных примеров - это функциональные пространства, несущие топологию ; самые известные примеры включают гильбертовы пространства и банаховы пространства .
В функциональном анализе множество всех функций от натуральных чисел до некоторого множества X называется пространством последовательностей . Она состоит из множества всех возможных последовательностей элементов X .
В топологии можно попытаться наложить топологию на пространство непрерывных функций от топологического пространства X до другого Y , причем полезность зависит от природы пространств. Обычно используемый пример - это компактно-открытая топология , например пространство петель . Также доступна топология продукта на пространстве теоретико - множественных функций (т.е. не обязательно непрерывных функций) Y ^X . В этом контексте эту топологию также называют топологией поточечной сходимости .
В алгебраической топологии изучение теории гомотопий - это, по сути, изучение дискретных инвариантов функциональных пространств;
В теории случайных процессов основная техническая проблема состоит в том, как построить вероятностную меру на функциональном пространстве путей процесса (функции времени);
В теории категорий функциональное пространство называется экспоненциальным объектом или объектом карты . С одной стороны, он выступает как канонический бифунктор представления ; но как (единственный) функтор типа [ X , -], он появляется как присоединенный функтор к функтору типа (- × X ) на объектах;
В функциональном программировании и лямбда - исчислении , типы функций используются , чтобы выразить идею функций высшего порядка .
В теории предметной области основная идея состоит в том, чтобы найти конструкции из частичных порядков, которые могут моделировать лямбда-исчисление, путем создания хорошо управляемой декартовой закрытой категории .
В теории представлений конечных групп по двум конечномерным представлениям V и W группы G можно сформировать представление группы G над векторным пространством линейных отображений Hom ( V , W ), которое называется представлением Hom . ^[1]

Функциональный анализ [ править ]

Функциональный анализ основан на адекватных методах, позволяющих сделать функциональные пространства как топологические векторные пространства доступными для идей, применимых к нормированным пространствам конечной размерности. Здесь мы используем реальную линию в качестве примера области, но пробелы ниже существуют на подходящих открытых подмножествах ${\ Displaystyle \ Omega \ substeq \ mathbf {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle С (\ mathbf {R})}$ непрерывные функции с топологией равномерной нормы
${\ Displaystyle C_ {c} (\ mathbf {R})}$ непрерывные функции с компактной опорой
${\ Displaystyle Б (\ mathbf {R})}$ ограниченные функции
${\ Displaystyle C_ {0} (\ mathbf {R})}$ непрерывные функции, обращающиеся в нуль на бесконечности
${\ Displaystyle С ^ {г} (\ mathbf {R})}$ непрерывные функции, имеющие непрерывные первые r производных.
${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (\ mathbf {R})}$ гладкие функции
${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbf {R})}$ гладкие функции с компактной опорой
${\ Displaystyle С ^ {\ omega} (\ mathbf {R})}$ вещественные аналитические функции
${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbf {R})}$ , Для , является L р пространство из измеримых функций , у которых р -норме конечна $1\leq p\leq \infty$ $||f||_{p}=\left(\int _{\mathbf {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}$
${\mathcal {S}}(\mathbf {R} )$ , То пространство Шварца из быстро убывающих гладких функций и ее непрерывные двойные, закаленные распределения ${\mathcal {S}}'(\mathbf {R} )$
$D(\mathbf {R} )$ компактная опора в предельной топологии
$W^{k,p}$ Соболевское пространство функций, слабые производные до порядка k лежат в $L^{p}$
${\mathcal {O}}_{U}$ голоморфные функции
линейные функции
кусочно-линейные функции
непрерывные функции, компактная открытая топология
все функции, пространство поточечной сходимости
Харди космос
Пространство Гёльдера
Càdlàg functions, также известное как пространство Скорохода
${\text{Lip}}_{0}(\mathbf {R} )$ , пространство всех липшицевых функций на этом нулю в нуле. $\mathbf {R}$

Норма [ править ]

Если $у$ является элементом функционального пространства всех непрерывных функций , определенных на отрезке [а, b], то норма , определенная на максимальное абсолютное значение по $у$ $($ $х$ $)$ для $с$ $\leq$ $х$ $\leq$ $B$ , ^[2] ${\mathcal {C}}(a,b)$ $\|y\|_{\infty }$ ${\mathcal {C}}(a,b)$

\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)

называется равномерной нормой или супремум нормой (sup norm).

Библиография [ править ]

Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. (1967). Элементы теории функций и функционального анализа. Courier Dover Publications.
Штейн, Элиас; Шакарчи, Р. (2011). Функциональный анализ: введение в другие темы анализа. Издательство Принстонского университета.

См. Также [ править ]

Список математических функций
Алгебра Клиффорда
Тензорное поле
Спектральная теория
Функциональный детерминант

Сноски [ править ]

^ Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958.
^ Гельфанд, IM ; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Без сокращений). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485.

[1] Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958.

[GelfandFominP6-2] Гельфанд, IM ; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Без сокращений). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485.