Измеримая функция

В математике и , в частности , теории меры , A измеримая функция является функцией от базовых наборов из двух измеримых пространств , что сохраняет структуру пространств: прообраз любого измеримого множества измеримо. Это прямо аналогично определению, что непрерывная функция между топологическими пространствами сохраняет топологическую структуру: прообраз любого открытого множества открыт. В реальном анализе измеримые функции используются в определении интеграла Лебега . В теории вероятностей, измеримая функция на вероятностном пространстве известна как случайная величина .

Формальное определение [ править ]

Позвольте и быть измеримыми пространствами, означая, что и являются множествами, снабженными соответствующими -алгебрами и . Функция называется измеримой, если для каждого прообраз элемента under находится в ; т.е. ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle (Y, \ mathrm {T})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ forall E \ in \ mathrm {T}}$

f^{-1}(E):=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma .

То есть, где - σ-алгебра, порожденная f . Если - измеримая функция, мы напишем $\sigma (f)\subseteq \Sigma$ $\sigma (f)$ $f:X\to Y$

f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).

чтобы подчеркнуть зависимость от -алгебр и . $\sigma$ $\Sigma$ $\mathrm {T}$

Варианты использования термина [ править ]

Выбор -алгебр в приведенном выше определении иногда является неявным и зависит от контекста. Например, для , или других топологических пространств обычно выбирают борелевскую алгебру (содержащую все открытые множества). Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно действительные по отношению к алгебре Бореля. ^[1] $\sigma$ ${\mathbb {R} }$ ${\mathbb {C} }$

Если значения функции лежат в бесконечномерном векторном пространстве , существуют другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и измеримость по Бохнеру.

Известные классы измеримых функций [ править ]

Случайные переменные по определению являются измеримыми функциями, определенными на вероятностных пространствах.
Если и являются борелевскими пространствами , измеримая функция также называется борелевской функцией . Непрерывные функции являются функциями Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция - это почти непрерывная функция; см . теорему Лузина . Если борелевская функция оказывается сечением некоторой карты , она называется борелевским сечением . $(X,\Sigma )$ $(Y,T)$ $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ $Y{\xrightarrow {~\pi ~}}X$
Измеримая по Лебегу функцией является измеримой функцией , где есть алгебра измеримых по Лебегу множеств и является алгеброй Борели на комплексных числах . Измеримые по Лебегу функции представляют интерес для математического анализа, поскольку их можно интегрировать. В случае , измеримо по Лебегу тогда и только тогда измеримо для всех . Это также эквивалентно измерению для всех. $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })$ ${\mathcal {L}}$ $\sigma$ ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ $\mathbb {C}$ $f:X\to \mathbb {R}$ $f$ $\{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $\{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}$ $\alpha$ , или прообраз любого открытого набора, который можно измерить. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, функции, интегрируемые по Риману, и функции ограниченной вариации - все они измеримы по Лебегу. ^[2] Функция измерима, если измеримы действительная и мнимая части. $f:X\to \mathbb {C}$

Свойства измеримых функций [ править ]

Сумма и произведение двух комплекснозначных измеримых функций измеримы. ^[3] То же самое и с частным, если нет деления на ноль. ^[1]
Если и являются измеримыми функциями, то и их состав тоже . ^[1] $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ $g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})$ $g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3})$
Если и являются измеримыми функциями, их состав не обязательно должен быть измеримым, кроме случаев . В самом деле, две функции, измеримые по Лебегу, могут быть построены таким образом, чтобы их композиция не измерима по Лебегу. $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ $g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})$ $g\circ f:X\to Z$ $(\Sigma _{1},\Sigma _{4})$ $\Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}$
(Точечно) верхняя грань , нижняя грань , верхний предел и нижний предел последовательности (а именно счетного числа) действительных измеримых функций также являются измеримыми. ^[1]^[4]
Точечно предел последовательности измеримых функций измерим, где есть метрическое пространство (наделенная алгебра борелевском). В общем случае это неверно, если он неметризуем. Обратите внимание, что соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более строгих условий, чем поточечная сходимость, таких как равномерная сходимость. ^[5]^[6] $f_{n}:X\to Y$ $Y$ $Y$

Неизмеримые функции [ править ]

Действительные функции, встречающиеся в приложениях, обычно поддаются измерению; однако доказать существование неизмеримых функций несложно. Такие доказательства существенно опираются на аксиому выбора в том смысле, что теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В любом пространстве мер с неизмеримым множеством , можно построить неизмеримую индикаторную функцию : $(X,\Sigma )$ $A\subset X$ $A\notin \Sigma$

\mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}

где снабжена обычной борелевской алгеброй . Это неизмеримая функция, поскольку прообраз измеримого множества неизмерим . $\mathbb {R}$ $\{1\}$ $A$

В качестве другого примера, любая непостоянная функция неизмерима относительно тривиальной -алгебры , так как прообраз любой точки в диапазоне представляет собой некоторое собственное непустое подмножество , которое не является элементом тривиальной -алгебры . $f:X\to \mathbb {R}$ $\sigma$ $\Sigma =\{\emptyset ,X\}$ $X$ $\Sigma$

См. Также [ править ]

Векторные пространства измеримых функций: пространства L p {\displaystyle L^{p}}
Сохраняющая меру динамическая система

Заметки [ править ]

^ a b c d Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6.
^ Каротерс, NL (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6.
^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения . Вайли. ISBN 0-471-31716-0.
^ Ройден, HL (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3.
Перейти ↑ Dudley, RM (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2.
^ Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений, Автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

Внешние ссылки [ править ]

Измеримая функция в энциклопедии математики
Функция Бореля в энциклопедии математики

[strichartz-1] Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6.

[carothers-2] Каротерс, NL (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6.

[folland-3] Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения . Вайли. ISBN 0-471-31716-0.

[royden-4] Ройден, HL (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3.

[dudley-5] Перейти ↑ Dudley, RM (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2.

[aliprantis-6] Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений, Автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

[1]