Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В вероятности и статистике , в случайной величине , случайной величине , случайных переменные , или стохастических переменный описываются неформально как переменная, значение которой зависит от результатов одного случайного явления. [1] Формальная математическая обработка случайных величин - это тема теории вероятностей . В этом контексте под случайной величиной понимается измеримая функция, определенная в вероятностном пространстве, которое преобразуется из выборочного пространства в действительные числа .[2]

Этот график показывает, как случайная величина является функцией от всех возможных результатов до реальных значений. Он также показывает, как случайная величина используется для определения функций вероятности и массы.

Возможные значения случайной величины могут представлять возможные результаты еще не проведенного эксперимента или возможные результаты прошлого эксперимента, чье уже существующее значение является неопределенным (например, из-за неточных измерений или квантовой неопределенности ). Они также могут концептуально представлять либо результаты «объективно» случайного процесса (такого как бросание кубика), либо «субъективную» случайность, являющуюся результатом неполного знания величины. Значение вероятностей, приписываемых потенциальным значениям случайной величины, не является частью самой теории вероятностей, но вместо этого связано с философскими аргументами по интерпретации вероятности . Математика работает одинаково, независимо от конкретной интерпретации.

Как функция, случайная величина должна быть измеримой , что позволяет назначать вероятности множествам ее потенциальных значений. Часто результаты зависят от некоторых физических переменных, которые нельзя предсказать. Например, при подбрасывании справедливой монеты конечный результат орла или решки зависит от неопределенных физических условий, поэтому наблюдаемый результат является неопределенным. Монета могла зацепиться за трещину в полу, но такая возможность исключается из рассмотрения.

Домен случайной величины называется образцом пространства, определенное как множество возможных исходов недетерминистического события. Например, в случае подбрасывания монеты возможны только два возможных исхода: орел или решка.

Случайная величина имеет распределение вероятностей , которое определяет вероятность борелевских подмножеств своего диапазона. Случайные переменные могут быть дискретными , то есть принимать любой из указанного конечного или счетного списка значений (имеющего счетный диапазон), наделенного функцией массы вероятности, которая характерна для распределения вероятностей случайной величины; или непрерывный , принимая любое числовое значение в интервале или совокупности интервалов (имеющих неисчислимый диапазон), через функцию плотности вероятности, которая является характеристикой распределения вероятностей случайной величины; или их смесь.

Две случайные величины с одинаковым распределением вероятностей могут различаться с точки зрения их связи с другими случайными величинами или независимости от них. Реализации случайной величины, то есть результаты случайного выбора значений в соответствии с функцией распределения вероятностей переменной, называются случайными величинами .

Определение [ править ]

Случайная величина является измеримой функцией из множества возможных исходов к измеримому пространству . Техническое аксиоматическое определение требует, чтобы это было пространство выборки тройки вероятностей (см. Определение из теории меры ). Случайная величина часто обозначаются заглавными латинскими буквами , такие как , , , . [3] [4]

Вероятность, которая принимает значение в измеримом множестве , записывается как

[3]

Стандартный случай [ править ]

Во многих случаях, является вещественным , то есть . В некоторых контекстах термин случайный элемент (см. Расширения ) используется для обозначения случайной величины не этой формы.

Когда изображение (или диапазон) является счетным , случайная величина называется дискретной случайной величиной [5] : 399 и ее распределение является дискретным распределением вероятностей , то есть может быть описано функцией массы вероятности, которая присваивает вероятность каждому значению. в образе . Если изображение бесконечно бесконечное (обычно интервал ), то это называется непрерывной случайной величиной . [6] [ необходима цитата ] В частном случае, когда это абсолютно непрерывноего распределение может быть описано функцией плотности вероятности , которая присваивает вероятности интервалам; в частности, каждая отдельная точка обязательно должна иметь нулевую вероятность для абсолютно непрерывной случайной величины. Не все непрерывные случайные величины абсолютно непрерывны, [7] распределение смеси является одним из таких Контрпример; такие случайные величины не могут быть описаны плотностью вероятности или функцией массы вероятности.

Любая случайная величина может быть описана ее кумулятивной функцией распределения , которая описывает вероятность того, что случайная величина будет меньше или равна определенному значению.

Расширения [ править ]

Термин «случайная величина» в статистике традиционно ограничивается случаем с действительными значениями ( ). В этом случае структура действительных чисел позволяет определять такие величины, как ожидаемое значение и дисперсия случайной величины, ее кумулятивная функция распределения и моменты ее распределения.

Однако приведенное выше определение действительно для любого измеримого пространства значений. Таким образом, можно рассматривать случайные элементы других наборов , такие как случайные логические значения , категориальные значения , комплексные числа , векторы , матрицы , последовательности , деревья , множества , формы , многообразия и функции . Затем можно специально сослаться на случайную переменную типа или случайную величину со значением .

Эта более общая концепция случайного элемента особенно полезна в таких дисциплинах, как теория графов , машинное обучение , обработка естественного языка и других областях дискретной математики и информатики , где часто интересно моделировать случайные вариации нечисловых данных. конструкции . В некоторых случаях, тем не менее, удобно представлять каждый элемент , используя одно или несколько действительных чисел. В этом случае случайный элемент может дополнительно быть представлен как вектор случайных величин с действительными значениями (все они определены в одном и том же базовом вероятностном пространстве., что позволяет различным случайным величинам коварировать ). Например:

  • Случайное слово может быть представлено как случайное целое число, которое служит индексом в словаре возможных слов. В качестве альтернативы, он может быть представлен в виде случайного вектора индикатора, длина которого равен размеру словаря, где только значения положительной вероятности являются , , и позиция 1 указывает слово.
  • Случайное предложение заданной длины может быть представлено как вектор случайных слов.
  • Случайный граф на заданных вершинах может быть представлен в виде матрицы случайных величин, значения которых указать матрицу смежности случайного графа.
  • Случайная функция может быть представлена в виде набора случайных величин , что дает значение функции в в различных точках в области функции. Это обычные случайные величины с действительным знаком при условии, что функция является действительной. Например, случайный процесс - это случайная функция времени, случайный вектор - это случайная функция некоторого набора индексов, например , и случайное поле - случайная функция на любом наборе (обычно времени, пространстве или дискретном наборе).

Функции распределения [ править ]

Если задана случайная величина, заданная в вероятностном пространстве , мы можем задавать вопросы вроде «Насколько вероятно, что значение равно 2?». Это то же самое, что вероятность события, которую часто пишут как или для краткости.

Запись всех этих вероятностей выходных диапазонов вещественной случайной величины дает распределение вероятностей в . Распределение вероятностей «забывает» о конкретном вероятностном пространстве, используемом для определения, и записывает только вероятности различных значений . Такое распределение вероятностей всегда можно уловить с помощью его кумулятивной функции распределения.

а иногда и с использованием функции плотности вероятности , . В меру теоретико- плане, мы используем случайную переменную для «нажимной вперед» меры по покрайней мере на . Базовое вероятностное пространство - это техническое устройство, используемое для гарантии существования случайных величин, иногда для их построения, а также для определения таких понятий, как корреляция и зависимость или независимость на основе совместного распределения двух или более случайных величин в одном вероятностном пространстве. На практике часто вообще избавляют от пространства и просто ставят мерку.который присваивает меру 1 всей действительной прямой, т. е. работает с распределениями вероятностей вместо случайных величин. См. Статью о функциях квантилей для более полного развития.

Примеры [ править ]

Дискретная случайная величина [ править ]

В эксперименте человек может быть выбран случайным образом, и одной случайной величиной может быть рост человека. Математически случайная величина интерпретируется как функция, которая сопоставляет человека с ростом человека. Со случайной величиной связано распределение вероятностей, которое позволяет вычислить вероятность того, что высота находится в любом подмножестве возможных значений, таких как вероятность того, что высота составляет от 180 до 190 см, или вероятность того, что высота либо меньше более 150 или более 200 см.

Другой случайной величиной может быть количество детей человека; это дискретная случайная величина с неотрицательными целыми числами. Он позволяет вычислять вероятности для отдельных целочисленных значений - функции массы вероятности (PMF) - или для наборов значений, включая бесконечные наборы. Например, интересующим событием может быть «четное количество детей». Как для конечных, так и для бесконечных наборов событий их вероятности могут быть найдены путем сложения PMF элементов; то есть вероятность четного числа детей равна бесконечной сумме .

В таких примерах, как эти, пространство выборки часто подавляется, поскольку его математически сложно описать, и возможные значения случайных величин затем рассматриваются как пространство выборки. Но когда две случайные величины измеряются в одном и том же пространстве выборки результатов, например, рост и количество детей, вычисляемых для одних и тех же случайных людей, легче отслеживать их взаимосвязь, если признается, что приходят и рост, и количество детей. от одного и того же случайного человека, например, чтобы можно было задать вопросы о том, коррелированы ли такие случайные величины или нет.

Если - счетные множества действительных чисел, и , то - дискретная функция распределения. Здесь для , для . Взяв, например, перечисление всех рациональных чисел как , можно получить дискретную функцию распределения, которая не является ступенчатой ​​функцией или кусочной константой. [5]

Подбрасывание монеты [ править ]

Возможные исходы для одного подбрасывания монеты можно описать с помощью области выборки . Мы можем ввести случайную переменную с действительным знаком, которая моделирует выплату в 1 доллар за успешную ставку на решку следующим образом:

Если монета является честной монетой , Y имеет функцию массы вероятности, определяемую следующим образом:

Бросок кубиков [ править ]

Если пространство выборки представляет собой набор возможных чисел, брошенных на двух кубиках, а интересующая случайная величина представляет собой сумму S чисел на двух игральных костях, тогда S - это дискретная случайная величина, распределение которой описывается функцией массы вероятности, построенной на графике. как высота столбцов изображения здесь.

Случайная величина также может использоваться для описания процесса бросания игральных костей и возможных результатов. Наиболее очевидное представление для случая с двумя игральными костями - взять набор пар чисел n 1 и n 2 из {1, 2, 3, 4, 5, 6} (представляющих числа на двух игральных костях) в качестве образца. Космос. Общее количество выпавших чисел (сумма чисел в каждой паре) тогда является случайной величиной X, заданной функцией, которая отображает пару в сумму:

и (если кости являются справедливыми ) , имеет функцию вероятности массового ƒ X определяется по формуле:

Непрерывная случайная величина [ править ]

Формально непрерывная случайная величина - это случайная величина, кумулятивная функция распределения которой непрерывна всюду. [8] Нет « пробелов », которые соответствовали бы числам, вероятность появления которых конечная . Вместо этого, непрерывные случайные величины почти никогда не принимают точно заданное значение c (формально ), но существует положительная вероятность того, что его значение будет находиться в определенных интервалах, которые могут быть сколь угодно малыми . Непрерывные случайные величины обычно допускают функции плотности вероятности (PDF), которые характеризуют их CDF ивероятностные меры ; такие распределения также называют абсолютно непрерывными ; но некоторые непрерывные распределения являются сингулярными или смесью абсолютно непрерывной части и особой части.

Примером непрерывной случайной величины может служить счетчик, который может выбирать горизонтальное направление. Тогда значения, принимаемые случайной величиной, являются направлениями. Мы могли бы представить эти направления в виде севера, запада, востока, юга, юго-востока и т. Д. Однако обычно удобнее сопоставить пространство выборки со случайной величиной, которая принимает значения, которые являются действительными числами. Это можно сделать, например, сопоставив направление с пеленгом в градусах по часовой стрелке от севера. Затем случайная величина принимает значения, которые являются действительными числами из интервала [0, 360), причем все части диапазона являются «одинаково вероятными». В этом случае X = угол поворота. Любое действительное число имеет нулевую вероятность быть выбранным, но положительная вероятность может быть присвоена любому диапазонуценностей. Например, вероятность выбора числа в [0, 180] , составляет 1 / 2 . Вместо того , чтобы говорить о функции вероятности массовой, мы говорим , что вероятность плотность из X является 1/360. Вероятность подмножества [0, 360) может быть вычислена путем умножения меры набора на 1/360. В общем, вероятность набора для данной непрерывной случайной величины может быть вычислена путем интегрирования плотности по данному набору.

Более формально, для любого интервала случайная величина называется « непрерывной однородной случайной величиной» (CURV), если вероятность того, что она принимает значение в подынтервале, зависит только от длины подынтервала. Это означает , что вероятность попадания в любом подпериода является пропорционально к длине от подпериода, то есть, если сdб , имеет один

где последнее равенство следует из аксиомы вероятности унитарности . Функция плотности вероятности кривой CURV задается индикаторной функцией ее интервала поддержки, нормированной на длину интервала:

Особый интерес представляет равномерное распределение на единичном интервале . Образцы любого желаемого распределения вероятностей могут быть получены путем вычисления функции квантиля из на случайно сгенерированное число равномерно распределенных на единичном интервале. При этом используются свойства кумулятивных функций распределения , которые являются объединяющей структурой для всех случайных величин.

Смешанный тип [ править ]

Смешанная случайная величина является случайной величиной, кумулятивной функция распределения не является ни кусочно-постоянная (дискретной случайной величиной) , ни всюду непрерывно . [8] Его можно реализовать как сумму дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины; в этом случае CDF будет средневзвешенным значением CDF компонентных переменных. [8]

Пример случайной переменной смешанного типа может быть основан на эксперименте, в котором монета подбрасывается, а вертушка вращается, только если результат подбрасывания монеты - орел. Если результат - решка, X = -1; в противном случае X = значение счетчика, как в предыдущем примере. Существует вероятность 1 / 2 , что эта случайная величина будет иметь значение -1. Другие диапазоны значений будут иметь половину вероятностей последнего примера.

В большинстве случаев каждое распределение вероятностей на реальной прямой представляет собой смесь дискретной части, сингулярной части и абсолютно непрерывной части; см . теорему Лебега о разложении § Уточнение . Дискретная часть сосредоточена на счетном множестве, но это множество может быть плотным (как множество всех рациональных чисел).

Теоретико-мерное определение [ править ]

Наиболее формальное аксиоматическое определение случайной величины связано с теорией меры . Непрерывные случайные величины определяются в терминах наборов чисел вместе с функциями, которые отображают такие наборы на вероятности. Из-за различных трудностей (например, парадокса Банаха – Тарского ), которые возникают, если такие множества недостаточно ограничены, необходимо ввести так называемую сигма-алгебру, чтобы ограничить возможные множества, по которым могут быть определены вероятности. Обычно используется такая особая сигма-алгебра, борелевская σ-алгебра , которая позволяет определять вероятности над любыми множествами, которые могут быть получены либо непосредственно из непрерывных интервалов чисел, либо с помощью конечного или конечного числа.счетно бесконечное число объединений и / или пересечений таких интервалов. [2]

Теоретико-мерное определение выглядит следующим образом.

Пусть будет вероятностное пространство и измеримое пространство . Тогда -значная случайная величина является измеримой функцией , что означает, что для каждого подмножества ее прообраз где . [9] Это определение позволяет нам измерить любое подмножество в целевом пространстве, глядя на его прообраз, который по предположению измерим.

Говоря более интуитивно понятным языком, член - это возможный результат, член - это измеримое подмножество возможных результатов, функция дает вероятность каждого такого измеримого подмножества, представляет набор значений, которые может принимать случайная величина (например, набор действительных чисел), а его член является «хорошо управляемым» (измеримым) подмножеством (тех, для которых может быть определена вероятность). Тогда случайная величина представляет собой функцию от любого результата к количеству, так что результаты, ведущие к любому полезному подмножеству величин для случайной величины, имеют четко определенную вероятность.

Когда - топологическое пространство , то наиболее распространенным выбором для σ-алгебры является борелевская σ-алгебра , которая является σ-алгеброй, порожденной набором всех открытых множеств в . В таком случае -значная случайная величина называется -значной случайной величиной . Более того, когда пространство представляет собой действительную линию , такая случайная величина с действительным знаком называется просто случайной величиной .

Случайные величины с действительным знаком [ править ]

В этом случае пространство наблюдения - это набор действительных чисел. Напомним, это вероятностное пространство. Для реального пространства наблюдения функция является случайной величиной с действительным знаком, если

Это определение является частным случаем приведенного выше, потому что множество порождает борелевскую σ-алгебру на множестве действительных чисел, и достаточно проверить измеримость на любом порождающем множестве. Здесь мы можем доказать измеримость на этом порождающем множестве, используя тот факт, что .

Моменты [ править ]

Распределение вероятностей случайной величины часто характеризуется небольшим количеством параметров, которые также имеют практическую интерпретацию. Например, часто бывает достаточно знать, каково его «среднее значение». Это фиксируется математической концепцией ожидаемого значения случайной величины, обозначаемой и также называемой первым моментом . В общем, не равно . После того, как «среднее значение» известно, можно спросить, насколько далеко от этого среднего значения обычно находятся значения. На этот вопрос ответят дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.можно интуитивно рассматривать как среднее значение, полученное от бесконечной совокупности, члены которой являются частными оценками .

Математически это известно как (обобщенная) проблема моментов : для заданного класса случайных величин найдите набор функций, ожидаемые значения которых полностью характеризуют распределение случайной величины .

Моменты могут быть определены только для действительных функций случайных величин (или комплексных значений и т. Д.). Если случайная величина сама является действительной, то могут быть взяты моменты самой переменной, которые эквивалентны моментам функции идентичности случайной величины. Однако даже для случайных величин с ненастоящими значениями могут быть взяты моменты действительных функций этих переменных. Например, для категориальной случайной величины X, которая может принимать номинальные значения «красный», «синий» или «зеленый», может быть построена функция с действительным знаком ; здесь используется скобка Айверсона , и он имеет значение 1, если имеет значение «зеленый», и 0 в противном случае. Тогда ожидаемое значение и другие моменты этой функции могут быть определены.

Функции случайных величин [ править ]

Новая случайная величина Y может быть определена путем применения реальной измеримой по Борелю функции к результатам действительной случайной величины . То есть . Интегральная функция распределения из затем

Если функция обратима (то есть, существует, где находится «с обратной функцией ) и либо увеличение или уменьшение , то предыдущее соотношение может быть расширено , чтобы получить

При тех же гипотезах обратимости , предполагая также и дифференцируемость , связь между функциями плотности вероятности может быть найдена путем дифференцирования обеих сторон приведенного выше выражения относительно , чтобы получить [8]

Если нет обратимости, но каждый из них допускает не более чем счетное число корней (т. Е. Конечное или счетно бесконечное число таких корней ), то предыдущее соотношение между функциями плотности вероятности может быть обобщено с помощью

где согласно теореме об обратной функции . Формулы для плотностей не требуют увеличения.

В теоретико- мерном аксиоматическом подходе к вероятности, если случайная величина на и измеримая функция по Борелю , то также является случайной величиной на , поскольку композиция измеримых функций также измерима . (Тем не менее, это не всегда верно , если это Лебег . [ Править ] ) Ту же процедуру , что позволило перейти от вероятностного пространства , чтобы можно использовать для получения распределения .

Пример 1 [ править ]

Позвольте быть действительной, непрерывной случайной величиной и пусть .

Если тогда так

Если , то

так

Пример 2 [ править ]

Предположим , это случайная величина с кумулятивным распределением

где - фиксированный параметр. Рассмотрим случайную величину. Тогда

Последнее выражение может быть вычислено в терминах кумулятивного распределения так

которая является кумулятивной функцией распределения (CDF) экспоненциального распределения .

Пример 3 [ править ]

Предположим, что это случайная величина со стандартным нормальным распределением , плотность которой равна

Рассмотрим случайную величину. Мы можем найти плотность, используя приведенную выше формулу для замены переменных:

В этом случае изменение не является монотонным , потому что каждое значение имеет два соответствующих значения (одно положительное и отрицательное). Однако из-за симметрии обе половины будут преобразовываться одинаково, т. Е.

Обратное преобразование:

и его производная

Потом,

Это распределение хи-квадрат с одной степенью свободы .

Пример 4 [ править ]

Предположим, что это случайная величина с нормальным распределением , плотность которой равна

Рассмотрим случайную величину. Мы можем найти плотность, используя приведенную выше формулу для замены переменных:

В этом случае изменение не является монотонным , потому что каждое значение имеет два соответствующих значения (одно положительное и отрицательное). В отличие от предыдущего примера, в этом случае, однако, нет симметрии, и мы должны вычислить два различных члена:

Обратное преобразование:

и его производная

Потом,

Это нецентральное распределение хи-квадрат с одной степенью свободы .

Некоторые свойства [ править ]

  • Распределение вероятностей суммы двух независимых случайных величин - это свертка каждого из их распределений.
  • Распределения вероятностей не являются векторным пространством - они не замкнуты относительно линейных комбинаций , поскольку они не сохраняют неотрицательность или полный интеграл 1, - но они замкнуты относительно выпуклой комбинации , таким образом образуя выпуклое подмножество пространства функций (или мер ).

Эквивалентность случайных величин [ править ]

Есть несколько разных смыслов, в которых случайные величины можно рассматривать как эквивалентные. Две случайные величины могут быть равными, почти наверняка или равными по распределению.

В порядке возрастания силы точное определение этих понятий эквивалентности дается ниже.

Равенство в распределении [ править ]

Если образец пространство является подмножеством вещественной прямой, случайные величины Х и Y являются равными в распределении (обозначается ) , если они имеют те же функции распределения:

Чтобы быть равными по распределению, случайные величины не должны определяться в одном и том же вероятностном пространстве. Две случайные величины, имеющие одинаковые производящие функции момента, имеют одинаковое распределение. Это обеспечивает, например, полезный метод проверки равенства некоторых функций независимых, одинаково распределенных (IID) случайных величин . Однако функция, производящая момент, существует только для распределений, имеющих определенное преобразование Лапласа .

Почти наверняка равенство [ править ]

Две случайные величины X и Y являются равно почти наверняка (обозначается ) , если, и только если, вероятность того, что они отличаются в нуль :

Для всех практических целей теории вероятностей это понятие эквивалентности так же сильно, как и фактическое равенство. Это связано со следующим расстоянием:

где "ess sup" представляет собой существенный супремум в смысле теории меры .

Равенство [ править ]

Наконец, две случайные величины X и Y являются равными , если они равны как функции на их измеримого пространства:

Это понятие обычно наименее полезно в теории вероятностей, потому что на практике и в теории лежащее в основе пространство мер эксперимента редко описывается явно или даже характеризуемо.

Конвергенция [ править ]

Важная тема математической статистики состоит в получении результатов сходимости для определенных последовательностей случайных величин; например, закон больших чисел и центральная предельная теорема .

Есть разные смыслы, в которых последовательность случайных величин может сходиться к случайной величине . Это объясняется в статье о сходимости случайных величин .

См. Также [ править ]

  • Алеаторизм
  • Алгебра случайных величин
  • Событие (теория вероятностей)
  • Многомерная случайная величина
  • Попарно независимые случайные величины
  • Наблюдаемая переменная
  • Случайный элемент
  • Случайная функция
  • Случайная мера
  • Генератор случайных чисел производит случайное значение
  • Случайный вектор
  • Случайность
  • Стохастический процесс
  • Связи между распределениями вероятностей

Ссылки [ править ]

Встроенные цитаты [ править ]

  1. ^ Блицштейн, Джо; Хван, Джессика (2014). Введение в вероятность . CRC Press. ISBN 9781466575592.
  2. ^ a b Steigerwald, Дуглас Г. "Экономика 245A - Введение в теорию меры" (PDF) . Калифорнийский университет в Санта-Барбаре . Проверено 26 апреля 2013 года .
  3. ^ a b «Список вероятностных и статистических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-26 . Проверено 21 августа 2020 .
  4. ^ «Случайные переменные» . www.mathsisfun.com . Проверено 21 августа 2020 .
  5. ^ а б Йейтс, Дэниел С .; Мур, Дэвид С; Старнес, Дарен С. (2003). Практика статистики (2-е изд.). Нью-Йорк: Фриман . ISBN 978-0-7167-4773-4. Архивировано из оригинала на 2005-02-09.
  6. ^ «Случайные переменные» . www.stat.yale.edu . Проверено 21 августа 2020 .
  7. ^ Л. Кастаньеда; В. Аруначалам и С. Дхармараджа (2012). Введение в вероятностные и случайные процессы с приложениями . Вайли. п. 67. ISBN 9781118344941.
  8. ^ a b c d Бертсекас, Дмитрий П. (2002). Введение в вероятность . Цициклис, Джон Н., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC  51441829 .
  9. ^ Fristedt & Gray (1996 , стр 11)

Литература [ править ]

  • Фристедт, Берт; Грей, Лоуренс (1996). Современный подход к теории вероятностей . Бостон: Биркхойзер. ISBN 3-7643-3807-5.
  • Калленберг, Олав (1986). Случайные меры (4-е изд.). Берлин: Академия Верлаг . ISBN 0-12-394960-2. Руководство по ремонту  0854102 .
  • Калленберг, Олав (2001). Основы современной вероятности (2-е изд.). Берлин: Springer Verlag . ISBN 0-387-95313-2.
  • Папулис, Афанасий (1965). Вероятность, случайные величины и случайные процессы (9-е изд.). Токио: Макгроу – Хилл . ISBN 0-07-119981-0.

Внешние ссылки [ править ]

  • «Случайная величина» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Цукерман, Моше (2014), Введение в теорию массового обслуживания и стохастические модели телетрафика (PDF)
  • Цукерман, Моше (2014), Основные темы вероятностей (PDF)