Распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике , распределение вероятностей является математической функцией , которая дает вероятность появления различных возможным исходов для эксперимента . ^{[1] [2]} Это математическое описание случайного явления с точки зрения его выборочного пространства и вероятностями из событий (подмножества пространства образца). ^[3]

Например, если X используется для обозначения результата подбрасывания монеты («эксперимент»), то распределение вероятностей X будет принимать значение 0,5 для X  = орла и 0,5 для X  = решки (при условии, что монета справедливый). Примеры случайных явлений включают погодные условия в будущем, рост человека, долю учащихся мужского пола в школе, результаты опроса и т. Д. ^[4]

Введение [ править ]

Функция массы вероятности (pmf) p ( S ) определяет распределение вероятностей для суммы S отсчетов от двух игральных костей . Например, на рисунке показано, что p (11) = 2/36 = 1/18. PMF позволяет вычислять вероятности таких событий, как P ( S > 9) = 1/12 + 1/18 + 1/36 = 1/6, и все другие вероятности в распределении.

Распределение вероятностей - это математическое описание вероятностей событий, подмножеств пространства выборки . Выборочное пространство, часто обозначается , ^[5] представляет собой набор из всех возможных исходов случайного явления наблюдаются; это может быть любой набор: набор действительных чисел , набор векторов , набор произвольных нечисловых значений и т. д. Например, пространство отсчетов при подбрасывании монеты будет = {орла, решка} .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Для определения распределения вероятностей для конкретного случая случайных величин (чтобы пространство выборки можно было рассматривать как числовой набор) принято различать дискретные и непрерывные случайные величины . В дискретном случае достаточно указать функцию массы вероятности, присваивающую вероятность каждому возможному исходу: например, при броске честной кости каждое из шести значений от 1 до 6 имеет вероятность 1/6. Затем вероятность события определяется как сумма вероятностей результатов, удовлетворяющих событию; например, вероятность события «на кубике выпадает четное значение» равна ${\ displaystyle p}$

${\displaystyle p(2)+p(4)+p(6)=1/6+1/6+1/6=1/2.}$

Напротив, когда случайная переменная принимает значения из континуума, то обычно любой индивидуальный результат имеет нулевую вероятность, и только события, которые включают бесконечно много результатов, например интервалы, могут иметь положительную вероятность. Например, рассмотрите возможность измерения веса куска ветчины в супермаркете и предположите, что весы имеют многозначную точность. Вероятность того, что он весит ровно 500 г, равна нулю, так как он, скорее всего, будет иметь некоторые ненулевые десятичные цифры. Тем не менее, при контроле качества можно потребовать, чтобы упаковка «500 г» ветчины весила от 490 г до 510 г с вероятностью не менее 98%, и это требование менее чувствительно к точности измерительных приборов.

Непрерывные распределения вероятностей можно описать несколькими способами. Функция плотности вероятности описывает бесконечно малую вероятность любого заданного значения, и вероятность того, что результат находится в заданном интервале, может быть вычислена путем интегрирования функции плотности вероятности по этому интервалу. ^[6] Альтернативное описание распределения осуществляется с помощью кумулятивной функции распределения , которая описывает вероятность того, что случайная величина не больше заданного значения (т. Е. P ( X < x ) для некоторого x ). Кумулятивная функция распределения - это площадь подфункция плотности вероятности от до x , как показано на рисунке справа. ^[7]${\displaystyle -\infty }$

Общее определение [ править ]

Распределение вероятностей может быть описано в различных формах, например, функцией массы вероятности или кумулятивной функцией распределения. Одно из наиболее общих описаний, которое применяется к непрерывным и дискретным переменным, - это функция вероятности , входное пространство которой связано с пространством выборки и дает вероятность в качестве своего выхода. ^[8]${\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Функция вероятности Р может принимать в качестве аргумента подмножеств самого пространства образца, как и в примере с броском монеты, где функция Р был определен так , что P (головки) = 0,5 и Р (хвосты) = 0,5 . Однако, из - за широкого использования случайных величин , которые преобразуют выборочное пространство в виде набора чисел (например, , ), она является более общим для вероятностных распределений исследуемых которых аргумент являются подмножествами этих конкретных видов множеств (количество комплектов), ^[9] и все распределения вероятностей, обсуждаемые в этой статье, относятся к этому типу. Обычно обозначают как P ( X E )${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \in }$ вероятность того, что некоторая переменная X принадлежит некоторому событию Е . ^{[4] [10]}

Вышеупомянутая функция вероятности характеризует распределение вероятностей, только если оно удовлетворяет всем аксиомам Колмогорова , а именно:

1. ${\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, поэтому вероятность неотрицательна;
2. ${\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, поэтому вероятность не превышает ; и${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle P(X\in \bigsqcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})}$для любого непересекающегося семейства множеств .${\displaystyle \{E_{i}\}}$

Концепция функции вероятности становится более строгой, определяя ее как элемент вероятностного пространства , где - множество возможных исходов, - это множество всех подмножеств , вероятность которых может быть измерена, и является функцией вероятности или вероятностной мерой , который присваивает вероятность каждому из этих измеримых подмножеств . ^[11]${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle E\subset X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$

Распределения вероятностей обычно делятся на два класса. Дискретное распределение вероятностей применимо к сценариям , где множество возможных исходов является дискретным (например, подбрасывание монеты, рулона в костях), и вероятность здесь закодирована дискретным список вероятностей исходов, известный как функция массы вероятности . С другой стороны, непрерывные распределения вероятностей применимы к сценариям, в которых набор возможных результатов может принимать значения в непрерывном диапазоне (например, действительные числа), такие как температура в данный день. В этом случае вероятности обычно описываются функцией плотности вероятности . ^{[4] [6] [10]}Нормальное распределение является часто встречающимся непрерывным распределением вероятностей. Более сложные эксперименты, например, с участием случайных процессов, определенных в непрерывном времени , могут потребовать использования более общих вероятностных мер .

Распределение вероятностей, пространство выборки которого является одномерным (например, действительные числа, список меток, упорядоченные метки или двоичный код), называется одномерным , а распределение, пространство выборки которого является векторным пространством размерности 2 или более, называется многомерным . Одномерное распределение дает вероятности того, что одна случайная величина принимает различные альтернативные значения; многомерное распределение ( совместное распределение вероятностей ) дает вероятности случайного вектора - списка из двух или более случайных величин - принимающего различные комбинации значений. Важные и часто встречающиеся одномерные распределения вероятностей включают биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение и нормальное распределение . Часто встречающееся многомерное распределение - это многомерное нормальное распределение .

Помимо функции вероятности, кумулятивная функция распределения, функция массы вероятности и функция плотности вероятности, производящая функция момента и характеристическая функция также служат для идентификации распределения вероятностей, поскольку они однозначно определяют лежащую в основе кумулятивную функцию распределения. ^[12]

Терминология [ править ]

Некоторые ключевые концепции и термины, широко используемые в литературе по теме вероятностных распределений, перечислены ниже. ^[1]

Функции для дискретных переменных [ править ]

• Функция вероятности : описывает вероятность того, что событие из области выборки произойдет. ^[8]${\displaystyle P(X\in E)}$${\displaystyle E}$
• Функция вероятности масс (pmf) : функция, которая дает вероятность того, что дискретная случайная величина равна некоторому значению.
• Распределение частот : таблица, в которой отображается частота различных результатов в выборке .
• Относительное частотное распределение : частотное распределение, в котором каждое значение было разделено (нормализовано) на количество результатов в выборке, то есть на размер выборки.
• Функция дискретного распределения вероятностей : общий термин, обозначающий способ распределения общей вероятности 1 по всем различным возможным исходам (т. Е. По всей совокупности) для дискретной случайной величины.
• Кумулятивная функция распределения : функция, оценивающая вероятность того, чтопримет значение, меньшее или равноедля дискретной случайной величины.${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$
• Категориальное распределение : для дискретных случайных величин с конечным набором значений.

Функции для непрерывных переменных [ править ]

• Функция плотности вероятности (pdf): функция, значение которой в любой заданной выборке (или точке) в пространстве выборки (набор возможных значений, принимаемых случайной величиной) может интерпретироваться как обеспечивающая относительную вероятность того, что значение случайной переменной будет равны этому образцу.
• Функция непрерывного распределения вероятностей : чаще всего используется для непрерывных случайных величин.
• Кумулятивная функция распределения : функция, оценивающая вероятность того, чтопримет значение, меньшее или равноедля непрерывной переменной.${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$
• Квантильная функция : обратная кумулятивной функции распределения. Даеттаким, что с вероятностью,не будет превышать.${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

Основные термины [ править ]

• Режим : для дискретной случайной величины значение с наибольшей вероятностью; для непрерывной случайной величины - место, в котором функция плотности вероятности имеет локальный пик.
• Поддержка : набор значений, которые могут быть приняты случайной величиной с ненулевой вероятностью. Для случайной величиныего иногда обозначают как. ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}}$
• Хвост : ^[13] области, близкие к границам случайной величины, если pmf или pdf в них относительно низкие. Как правило , имеет форму , или объединение из него.${\displaystyle X>a}$${\displaystyle X<b}$
• Head : ^[13] регион с относительно высоким PMF или PDF. Обычно имеет форму .${\displaystyle a<X<b}$
• Ожидаемое значение или среднее значение : средневзвешенное значение возможных значений с использованием их вероятностей в качестве их весов; или его непрерывный аналог.
• Медиана : такое значение, при котором набор значений меньше медианы и набор значений больше медианы имеют вероятности не более половины.
• Дисперсия : второй момент pmf или pdf относительно среднего; важная мера дисперсии распределения.
• Стандартное отклонение : квадратный корень из дисперсии и, следовательно, еще одна мера дисперсии.
• Квантиль : q-квантиль - этотакоезначение, что.${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X<x)=q}$
• Симметрия : свойство некоторых распределений, в которых часть распределения слева от определенного значения (обычно медиана) является зеркальным отображением части справа от него.
• Асимметрия : мера степени, в которой PMF или PDF "наклоняются" в одну сторону от своего среднего значения. Третий стандартизированный момент раздачи.
• Эксцесс : мера «жирности» хвостов PMF или PDF. Четвертый стандартизированный момент раздачи.

Дискретное распределение вероятностей [ править ]

Дискретное распределение вероятностей является распределением вероятности , что может взять на себя счетное числе значений. ^[14] В случае, когда диапазон значений счетно бесконечен, эти значения должны уменьшаться до нуля достаточно быстро, чтобы в сумме вероятности составили 1. Например, если для n = 1, 2, ..., сумма вероятностей будет 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.${\displaystyle \operatorname {P} (X=n)={\tfrac {1}{2^{n}}}}$

Хорошо известные дискретные распределения вероятностей , используемые в статистическом моделировании включают распределение Пуассона , то распределение Бернулли , то биномиальное распределение , то геометрическое распределение , а отрицательное биномиальное распределение . ^[3] Кроме того, дискретное равномерное распределение обычно используется в компьютерных программах, которые делают равновероятный случайный выбор между несколькими вариантами.

Когда выборка (набор наблюдений) берется из большей совокупности, точки выборки имеют эмпирическое распределение, которое является дискретным и предоставляет информацию о распределении совокупности.

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Эквивалентно вышеизложенному, дискретная случайная величина может быть определена как случайная величина, чья кумулятивная функция распределения (cdf) увеличивается только за счет скачков непрерывности, то есть ее cdf увеличивается только там, где она «перескакивает» на более высокое значение, и остается постоянной между эти прыжки. Однако обратите внимание, что точки, в которых скачки cdf могут образовывать плотный набор действительных чисел. Точки, где происходят скачки, - это именно те значения, которые может принимать случайная величина.

Представление дельта-функции [ править ]

Следовательно, дискретное распределение вероятностей часто представляется как обобщенная функция плотности вероятности, включающая дельта-функции Дирака , которые существенно унифицируют обработку непрерывных и дискретных распределений. Это особенно полезно при работе с распределениями вероятностей, включающими как непрерывную, так и дискретную части. ^[15]

Представление индикатора-функции [ править ]

Для дискретной случайной величины X пусть u ₀ , u ₁ , ... - значения, которые она может принимать с ненулевой вероятностью. Обозначить

${\displaystyle \Omega _{i}=X^{-1}(u_{i})=\{\omega :X(\omega )=u_{i}\},\,i=0,1,2,\dots }$

Это непересекающиеся множества , и для таких множеств

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i}\Omega _{i}\right)=\sum _{i}P(\Omega _{i})=\sum _{i}P(X=u_{i})=1.}$

Отсюда следует, что вероятность того, что X принимает любое значение, кроме u ₀ , u ₁ , ..., равна нулю, и поэтому можно записать X как

${\displaystyle X(\omega )=\sum _{i}u_{i}1_{\Omega _{i}}(\omega )}$

кроме как на множестве нулевой вероятности, где является индикаторной функцией из A . Это может служить альтернативным определением дискретных случайных величин.${\displaystyle 1_{A}}$

Непрерывное распределение вероятностей [ править ]

Непрерывное распределение вероятностей является распределением вероятностей, носитель которой несчетное множество, например, с интервалом в реальной линии. ^[16] Они однозначно характеризуются кумулятивной функцией распределения, которую можно использовать для расчета вероятности для каждого подмножества поддержки. Существует множество примеров непрерывных распределений вероятностей: нормальное , равномерное , хи-квадрат и другие .

Случайная величина имеет непрерывное распределение вероятностей, если существует такая функция , что для каждого интервала вероятность принадлежности к ней определяется интегралом от over . ^[17] Например, если , то у нас будет: ^[18]${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty ]}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=[a,b]}$

${\displaystyle \operatorname {P} \left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

В частности, вероятность принять какое-либо одно значение (то есть ) равна нулю, потому что интеграл с совпадающими верхним и нижним пределами всегда равен нулю. Переменная, удовлетворяющая указанным выше условиям, называется непрерывной случайной величиной . Его кумулятивная функция плотности определяется как${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\leq X\leq a}$

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} \left[-\infty <X\leq x\right]=\int _{-\infty }^{x}f(x)\,dx}$

который, согласно этому определению, обладает свойствами:

• ${\displaystyle F(x)}$ не убывает;
• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0}$и ;${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X<b)=F(b)-F(a)}$; и
• ${\displaystyle F(x)}$непрерывна в силу интегральных свойств Римана . ^[19]

Также можно думать в обратном направлении, что обеспечивает большую гибкость: если это функция, которая удовлетворяет всем, кроме последнего из свойств, указанных выше, то представляет функцию совокупной плотности для некоторой случайной величины: дискретная случайная величина, если это шаг функция и непрерывная случайная величина в противном случае. ^[20] Это позволяет получать непрерывные распределения, которые имеют кумулятивную функцию плотности, но не функцию плотности вероятности, такую ​​как распределение Кантора .${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Часто бывает необходимо обобщить приведенное выше определение для более произвольных подмножеств вещественной прямой. В этих контекстах непрерывное распределение вероятностей определяется как распределение вероятностей с кумулятивной функцией распределения, которая является абсолютно непрерывной . Эквивалентно, это распределение вероятностей действительных чисел, которое является абсолютно непрерывным по отношению к мере Лебега . Такие распределения могут быть представлены их функциями плотности вероятности . Если это такая абсолютно непрерывная случайная величина, то она имеет функцию плотности вероятности , и ее вероятность попадания в измеримое по Лебегу множество составляет:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {P} \left[X\in A\right]=\int _{A}f(x)\,d\mu }$

где - мера Лебега.${\displaystyle \mu }$

Примечание по терминологии: некоторые авторы используют термин «непрерывное распределение» для обозначения распределений, чьи кумулятивные функции распределения являются непрерывными , а не абсолютно непрерывными . Эти раздачи такие, что для всех . Это определение включает (абсолютно) непрерывные распределения, определенные выше, но оно также включает особые распределения , которые не являются ни абсолютно непрерывными, ни дискретными, ни их смесью и не имеют плотности. Пример дается распределением Кантора .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu \{x\}\,=\,0}$${\displaystyle \,x}$

Колмогоровское определение [ править ]

В теоретико-мерной формализации теории вероятностей , А случайная величина определяются как измеримая функция от вероятностного пространства к измеримому пространству . Учитывая , что вероятности событий вида Satisfy вероятностных аксиом Колмогорова , то распределение вероятностей X является прямым образом меры из , которое является вероятностной мерой на удовлетворяющем . ^{[21] [22] [23]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}}$ ${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} =\mathbb {P} X^{-1}}$

Другие виды дистрибутивов [ править ]

Непрерывные и дискретные распределения с поддержкой или чрезвычайно полезны для моделирования множества явлений ^{[4] [7],} поскольку большинство практических распределений поддерживаются на относительно простых подмножествах, таких как гиперкубы или шары . Однако это не всегда так, и существуют явления с опорами, которые на самом деле представляют собой сложные кривые в некотором пространстве или что-то подобное. В этих случаях распределение вероятностей подтверждается изображением такой кривой и, вероятно, будет определено эмпирически, а не нахождением для него закрытой формулы. ^[24]${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Один из примеров показан на рисунке справа, который отображает эволюцию системы дифференциальных уравнений (обычно известных как уравнения Рабиновича – Фабриканта ), которые можно использовать для моделирования поведения ленгмюровских волн в плазме . ^[25] Когда кто-то изучает это явление, они наблюдают состояния из подмножества, указанного красным. Таким образом, можно спросить, какова вероятность наблюдения состояния в определенной позиции красного подмножества; если такая вероятность существует, она называется вероятностной мерой системы. ^{[26] [24]}

Подобные сложные опоры довольно часто появляются в динамических системах . Установить, что в системе есть вероятностная мера, непросто, и основная проблема заключается в следующем. Пусть будут моменты времени и подмножество поддержки, если мера вероятности существует для системы, можно было бы ожидать, что частота наблюдаемых состояний внутри множества будет равной в интервале и , что может не произойти; например, он может колебаться подобно синусу , предел которого не сходится. Формально мера существует только в том случае, если предел относительной частоты сходится, когда система наблюдается до бесконечного будущего. ^[27]${\displaystyle t_{1}\ll t_{2}\ll t_{3}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle [t_{2},t_{3}]}$${\displaystyle \sin(t)}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$Раздел динамических систем, изучающий существование вероятностной меры, - это эргодическая теория .

Обратите внимание, что даже в этих случаях распределение вероятностей, если оно существует, все равно может называться «непрерывным» или «дискретным» в зависимости от того, является ли поддержка несчетной или счетной, соответственно.

Генерация случайных чисел [ править ]

Большинство алгоритмов основано на генераторе псевдослучайных чисел, который производит числа X , равномерно распределенные в полуоткрытом интервале [0,1). Эти случайные переменные X затем преобразуются с помощью некоторого алгоритма, чтобы создать новую случайную переменную, имеющую требуемое распределение вероятностей. С помощью этого источника однородной псевдослучайности могут быть сгенерированы реализации любой случайной величины. ^[28]

Например, предположим, что имеется равномерное распределение между 0 и 1. Чтобы построить случайную переменную Бернулли для некоторых , мы определяем${\displaystyle U}$${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle {\displaystyle X={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}U<p\\0,&{\mbox{if }}U\geq p\end{cases}}}}$

так что

${\displaystyle {\textrm {P}}(X=1)={\textrm {P}}(U<p)=p,{\textrm {P}}(X=0)={\textrm {P}}(U\geq p)=1-p.}$

Эта случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром . ^[28] Обратите внимание, что это преобразование дискретной случайной величины.${\displaystyle p}$

Для функции распределения непрерывной случайной величины необходимо построить непрерывную случайную величину. , функция, обратная к , относится к однородной переменной :${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{\mathit {inv}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {U\leq F(x)}={F^{\mathit {inv}}(U)\leq x}.}$

Например, предположим, что необходимо построить случайную переменную с экспоненциальным распределением .${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=u&\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x}=u\\&\Leftrightarrow e^{-\lambda x}=1-u\\&\Leftrightarrow -\lambda x=\ln(1-u)\\&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)\end{aligned}}}$

поэтому, а если имеет распределение, то случайная величина определяется как . Это экспоненциальное распределение . ^[28]${\displaystyle F^{\mathit {inv}}(u)={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U(0,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=F^{\mathit {inv}}(U)={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-U)}$${\displaystyle \lambda }$

Частая проблема в статистическом моделировании (метод Монте-Карло ) - это генерация псевдослучайных чисел , которые распределяются заданным образом.

Распространенные вероятностные распределения и их приложения [ править ]

Концепция распределения вероятностей и случайных величин, которые они описывают, лежит в основе математической дисциплины теории вероятностей и науки статистики. Существует разброс или изменчивость практически любых значений, которые можно измерить в совокупности (например, рост людей, долговечность металла, рост продаж, поток трафика и т. Д.); почти все измерения производятся с некоторой внутренней погрешностью; В физике многие процессы описываются вероятностно, от кинетических свойств газов до квантово-механического описания элементарных частиц . По этим и многим другим причинам простые числа часто не подходят для описания величины, тогда как распределения вероятностей часто более подходят.

Ниже приводится список некоторых наиболее распространенных распределений вероятностей, сгруппированных по типу процесса, к которому они относятся. Для более полного списка см. Список распределений вероятностей , которые группируются по характеру рассматриваемого результата (дискретные, непрерывные, многомерные и т. Д.)

Все одномерные распределения, представленные ниже, имеют один пик; то есть предполагается, что значения группируются вокруг одной точки. На практике фактически наблюдаемые величины могут группироваться вокруг нескольких значений. Такие количества можно смоделировать с помощью распределения смеси .

Линейный рост (например, ошибки, смещения) [ править ]

• Нормальное распределение ( распределение Гаусса) для одной такой величины; наиболее часто используемое непрерывное распределение

Экспоненциальный рост (например, цены, доходы, население) [ править ]

• Логнормальное распределение для одного такого количества, логарифм которого нормально распределен
• Распределение Парето для одной такой величины, логарифм которой распределен экспоненциально ; типичное степенное распределение

Равномерно распределенные количества [ править ]

• Дискретное равномерное распределение для конечного набора значений (например, результат честной игры)
• Непрерывное равномерное распределение для непрерывно распределенных значений

Испытания Бернулли (события да / нет, с заданной вероятностью) [ править ]

• Базовые дистрибутивы:
  • Распределение Бернулли для результата одного испытания Бернулли (например, успех / неудача, да / нет)
  • Биномиальное распределение количества «положительных событий» (например, успехов, голосов «да» и т. Д.) При фиксированном общем количестве независимых случаев.
  • Отрицательное биномиальное распределение для наблюдений биномиального типа, но где интересующее количество - это количество неудач до того, как произойдет заданное количество успехов
  • Геометрическое распределение для наблюдений биномиального типа, но где интересующей величиной является количество неудач до первого успеха; частный случай отрицательного биномиального распределения
• Относится к схемам выборки по конечной совокупности:
  • Гипергеометрическое распределение для количества «положительных событий» (например, успехов, голосов «за» и т. Д.) При фиксированном общем числе случаев с использованием выборки без замены
  • Бета-биномиальное распределение количества «положительных совпадений» (например, успехов, голосов «за» и т. Д.) При фиксированном общем количестве вхождений, выборка с использованием модели урны Полиа (в некотором смысле «противоположность» выборки без замены )

Категориальные исходы (события с K возможных исходов) [ править ]

• Категориальное распределение для одного категориального результата (например, да / нет / возможно в опросе); обобщение распределения Бернулли
• Мультиномиальное распределение для количества каждого типа категориального результата при фиксированном общем количестве исходов; обобщение биномиального распределения
• Многомерное гипергеометрическое распределение , аналогичное полиномиальному распределению , но с использованием выборки без замены ; обобщение гипергеометрического распределения

Пуассоновский процесс (события, которые происходят независимо с заданной скоростью) [ править ]

• Распределение Пуассона для числа появлений события типа Пуассона в заданный период времени
• Экспоненциальное распределение для времени до следующего события пуассоновского типа
• Гамма-распределение для времени до следующих k событий пуассоновского типа

Абсолютные значения векторов с нормально распределенными компонентами [ править ]

• Распределение Рэлея для распределения величин векторов с гауссовскими распределенными ортогональными компонентами. Распределения Рэлея находятся в радиочастотных сигналах с гауссовыми действительными и мнимыми компонентами.
• Распределение Райса , обобщение распределений Рэлея для стационарной составляющей фонового сигнала. Обнаруживается в рисовских затуханиях радиосигналов из-за многолучевого распространения и в МР-изображениях с искажением шума на ненулевых сигналах ЯМР.

Нормально распределенные величины оперируют суммой квадратов [ править ]

• Распределение хи-квадрат , распределение суммы квадратов стандартных нормальных переменных; полезно, например, для вывода относительно выборочной дисперсии нормально распределенных выборок (см. критерий хи-квадрат )
• T-распределение Стьюдента , распределение отношения стандартной нормальной переменной и квадратного корня из масштабированной переменной хи-квадрат ; полезно для вывода относительно среднего значения нормально распределенных выборок с неизвестной дисперсией (см . t-критерий Стьюдента )
• F-распределение , распределение отношения двух масштабированных переменных хи-квадрат ; полезно, например, для выводов, которые включают сравнение дисперсий или R-квадрат (квадрат коэффициента корреляции )

В качестве сопряженного априорного распределения в байесовском выводе [ править ]

• Бета-распределение для единственной вероятности (действительное число от 0 до 1); сопряжены с распределением Бернулли и биномиальным распределением
• Гамма-распределение для неотрицательного параметра масштабирования; сопряжены с параметром скорости распределения Пуассона или экспоненциального распределения , точность (обратная дисперсия ) нормального распределения и т. д.
• Распределение Дирихле для вектора вероятностей, сумма которых должна быть равна 1; сопряжены с категориальным распределением и полиномиальным распределением ; обобщение бета-распределения
• Распределение Уишарта для симметричной неотрицательно определенной матрицы; сопряженный к обратной величине ковариационной матрицы о наличии многомерного нормального распределения ; обобщение гамма-распределения ^[29]

Некоторые специализированные приложения вероятностных распределений [ править ]

• В модели языка кэша и другие статистические модели языка , используемые в обработке естественного языка для назначения вероятностей возникновения определенных слов и последовательностей слов сделать это с помощью вероятностных распределений.
• В квантовой механике плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пропорциональна квадрату величины волновой функции частицы в этой точке (см. Правило Борна ). Следовательно, функция распределения вероятности положения частицы описывается вероятностью того, что положение частицы x будет в интервале a ≤ x ≤ b в измерении один, и аналогичным тройным интегралом в измерении три. Это ключевой принцип квантовой механики. ^[30]${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}dx\,|\Psi (x,t)|^{2}}$
• Вероятностный поток нагрузки в исследовании потока мощности объясняет неопределенности входных переменных как распределение вероятностей и обеспечивает расчет потока мощности также в терминах распределения вероятностей. ^[31]
• Прогнозирование возникновения природных явлений на основе предыдущих распределений частот, таких как тропические циклоны , град, время между событиями и т. Д. ^[32]

См. Также [ править ]

• Условное распределение вероятностей
• Совместное распределение вероятностей
• Распределение квазивероятностей
• Эмпирическое распределение вероятностей
• Гистограмма
• Применение интеграла Римана – Стилтьеса к теории вероятностей

Списки [ править ]

• Список вероятностных распределений
• Список статистических тем

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с распределением вероятностей .

• "Распределение вероятностей" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Полевое руководство по непрерывному распределению вероятностей , Гэвин Э. Крукс.