Вероятность

Вероятность
Контур Каталог статей Вероятностные Глоссарий Обозначение Журналы Категория
v т е

Вероятности выпадения нескольких чисел с помощью двух кубиков.

Вероятность - это раздел математики, касающийся числовых описаний того, насколько вероятно событие , или насколько вероятно, что предположение истинно. Вероятность события - это число от 0 до 1, где, грубо говоря, 0 указывает на невозможность события, а 1 указывает на достоверность. ^{[примечание 1] [1] [2]}Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что оно произойдет. Простым примером является подбрасывание справедливой (беспристрастной) монеты. Поскольку монета честная, оба исхода («орел» и «решка») равновероятны; вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки; и поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения орла или решки равна 1/2 (что также можно записать как 0,5 или 50%).

Эти концепции получили аксиоматическую математическую формализацию в теории вероятностей , которая широко используется в таких областях исследований , как статистика , математика , наука , финансы , азартные игры , искусственный интеллект , машинное обучение , информатика , теория игр и философия , для Например, сделайте выводы об ожидаемой частоте событий. Теория вероятностей также используется для описания основной механики и закономерностей сложных систем . ^[3]

Интерпретации [ править ]

Когда имеешь дело с экспериментами, которые являются случайными и четко определены в чисто теоретической обстановке (например, подбрасывание честной монеты), вероятности могут быть численно описаны числом желаемых результатов, разделенным на общее количество всех результатов. Например, подбрасывание честной монеты дважды даст результаты «голова-голова», «голова-хвост», «хвост-голова» и «хвост-хвост». Вероятность получения результата «голова-голова» составляет 1 из 4 исходов, или, в числовом выражении, 1/4, 0,25 или 25%. Однако, когда дело доходит до практического применения, существуют две основные конкурирующие категории вероятностных интерпретаций, сторонники которых придерживаются разных взглядов на фундаментальную природу вероятности:

• Объективисты присваивают числа для описания некоторого объективного или физического состояния дел. Самая популярная версия объективной вероятности - частотная вероятность , которая утверждает, что вероятность случайного события обозначает относительную частоту появления результата эксперимента, когда эксперимент повторяется бесконечно. Эта интерпретация рассматривает вероятность как относительную частоту «в долгосрочной перспективе» результатов. ^[4] Модификацией этого является вероятность склонности , которая интерпретирует вероятность как тенденцию некоторого эксперимента дать определенный результат, даже если он проводится только один раз.
• Субъективисты присваивают числа для субъективной вероятности, то есть степени веры. ^[5] Степень уверенности интерпретировалась как «цена, по которой вы купили бы или продали ставку, которая платит 1 единицу полезности, если E, 0, если не E». ^[6] Наиболее популярной версией субъективной вероятности является байесовская вероятность , которая включает экспертные знания, а также экспериментальные данные для получения вероятностей. Экспертные знания представлены некоторым (субъективным) априорным распределением вероятностей . Эти данные включены в функцию правдоподобия . Произведение априорной вероятности и вероятности после нормализации дает апостериорное распределение вероятностей.который включает в себя всю известную на сегодняшний день информацию. ^[7] Согласно теореме согласия Ауманна , байесовские агенты, чьи предыдущие убеждения схожи, в конечном итоге будут иметь аналогичные апостериорные убеждения. Однако достаточно разные априорные значения могут привести к разным выводам, независимо от того, сколько информации используют агенты. ^[8]

Этимология [ править ]

В слове вероятностного производные от латинского probabilitas , который также может означать « неподкупность », меру органа о наличии свидетеля в судебном деле , в Европе , и часто коррелирует с свидетеля благородством . В некотором смысле это сильно отличается от современного значения вероятности , которое, напротив, является мерой веса эмпирических данных и выводится на основе индуктивных рассуждений и статистических выводов . ^[9]

История [ править ]

Научное изучение вероятности - это современное развитие математики . Азартные игры показывают, что интерес к количественной оценке идей вероятности проявлялся на протяжении тысячелетий, но точные математические описания возникли намного позже. Есть причины медленного развития математики вероятностей. В то время как азартные игры послужили толчком для математического исследования вероятностей, фундаментальные вопросы ^{[ необходимо разъяснение ]} по-прежнему скрыты суевериями игроков. ^[10]

Согласно Ричарду Джеффри : «До середины семнадцатого века термин« вероятный »(лат. Probabilis ) означал« одобряемый » и в этом смысле однозначно применялся к мнению и к действию. Вероятное действие или мнение было таким, как разумные люди возьмутся за это или будут придерживаться в данных обстоятельствах ". ^[11] Однако, особенно в юридическом контексте, «вероятный» может также применяться к предложениям, для которых имелись веские доказательства. ^[12]

Самые ранние известные формы вероятности и статистики были разработаны математиками Ближнего Востока, изучающими криптографию между 8 и 13 веками. Аль-Халил (717–786) написал Книгу криптографических сообщений, в которой впервые используются перестановки и комбинации для перечисления всех возможных арабских слов с гласными и без них. Аль-Кинди (801–873) впервые применил статистический вывод в своей работе по криптоанализу и частотному анализу . Важный вклад Ибн Адлана (1187–1268) был сделан наразмер выборки для использования частотного анализа. ^[13]

Итальянский эрудит шестнадцатого века Джероламо Кардано продемонстрировал эффективность определения шансов как отношения благоприятных исходов к неблагоприятным (что означает, что вероятность события определяется отношением благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов ^[14] ). . Помимо элементарной работы Кардано, доктрина вероятностей восходит к переписке Пьера де Ферма и Блеза Паскаля (1654 г.). Христиан Гюйгенс (1657 г.) дал самую раннюю известную научную трактовку этого предмета. ^[15] Якоб Бернулли «ы Искусство предположения (посмертно, 1713) иВ « Доктрине случайностей » Авраама де Муавра (1718 г.) этот предмет рассматривается как раздел математики. ^[16] Историю раннего развития самой концепции математической вероятности см. В работах Яна Хакинга « Возникновение вероятности» ^[9] и Джеймса Франклина « Наука гипотез» ^[17] .

Теория ошибок может быть прослежена назад к Roger Cotes «s Opera альманаха (посмертное, 1722), но мемуаров , подготовленный Томасом Симпсоном в 1755 году (напечатанный 1756) первым применил теорию к обсуждению ошибок наблюдений. ^[18] В переиздании (1757 г.) этого мемуара излагаются аксиомы, согласно которым положительные и отрицательные ошибки равновероятны и что определенные приписываемые пределы определяют диапазон всех ошибок. Симпсон также обсуждает непрерывные ошибки и описывает кривую вероятности.

Первые два предложенных закона ошибки возникли у Пьера-Симона Лапласа . Первый закон был опубликован в 1774 году и гласил, что частота ошибки может быть выражена как экспоненциальная функция от числовой величины ошибки - без учета знака. Второй закон ошибки был предложен в 1778 году Лапласом и заявил, что частота ошибки является экспоненциальной функцией квадрата ошибки. ^[19] Второй закон ошибки называется нормальным распределением или законом Гаусса. «Исторически трудно приписать этот закон Гауссу, который, несмотря на свою хорошо известную скороспелость, вероятно, не сделал этого открытия до того, как ему исполнилось два года». ^[19]

Даниэль Бернулли (1778) ввел принцип максимального произведения вероятностей системы одновременных ошибок.

Адриан-Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов и представил его в своих « Новых методах определения орбит комет» (« Новые методы определения орбит комет» ). ^{[20] Не} зная о вкладе Лежандра, американский писатель ирландского происхождения Роберт Адрейн , редактор «Аналитика» (1808), первым вывел закон возможности ошибки:

${\ displaystyle \ phi (x) = ce ^ {- h ^ {2} x ^ {2}},}$

где - константа, зависящая от точности наблюдения, и - масштабный коэффициент, гарантирующий, что площадь под кривой равна 1. Он дал два доказательства, второе из которых по существу такое же, как у Джона Гершеля (1850). ^{[ необходимая цитата ]} Гаусс дал первое доказательство, которое, кажется, было известно в Европе (третье после Адрейна) в 1809 году. Дальнейшие доказательства были даны Лапласом (1810, 1812), Гауссом (1823), Джеймсом Айвори (1825, 1826) , Хаген (1837), Фридрих Бессель (1838), У. Ф. Донкин (1844, 1856) и Морган Крофтон (1870). Другими участниками были Эллис (1844 г.), Де Морган (1864 г.), Глэйшер.${\ displaystyle h}$${\ displaystyle c}$ (1872 г.) и Джованни Скиапарелли (1875 г.). Петерс «s (1856) формула ^{[ разъяснение необходимости ]} для г , то возможная погрешность одного наблюдения, хорошо известно.

В девятнадцатом веке авторами общей теории были Лаплас , Сильвестр Лакруа (1816), Литтроу (1833), Адольф Кетле (1853), Ричард Дедекинд (1860), Гельмерт (1872), Герман Лоран (1873), Лиагре, Дидион и Карл Пирсон . Огастес Де Морган и Джордж Буль улучшили изложение теории.

В 1906 г. Андрей Марков ввел ^[21] понятие цепей Маркова , сыгравшее важную роль в теории случайных процессов и ее приложениях. Современная теория вероятностей, основанная на теории меры, была разработана Андреем Колмогоровым в 1931 году ^[22].

С геометрической точки зрения, влияние оказали авторы The Educational Times (Миллер, Крофтон, Макколл, Вольстенхолм, Уотсон и Артемас Мартин ). ^[23] См. Интегральную геометрию для получения дополнительной информации.

Теория [ править ]

Как и другие теории , теория вероятностей представляет собой представление своих концепций в формальных терминах, то есть в терминах, которые можно рассматривать отдельно от их значения. Эти формальные термины регулируются правилами математики и логики, и любые результаты интерпретируются или переводятся обратно в проблемную область.

Было по крайней мере две успешные попытки формализовать вероятность, а именно формулировку Колмогорова и формулировку Кокса . В формулировке Колмогорова (см. Также вероятностное пространство ) множества интерпретируются как события, а вероятность - как мера на классе множеств. В теореме Кокса вероятность рассматривается как примитив (т. Е. Не анализируется далее), и акцент делается на построении последовательного присвоения значений вероятности предложениям. В обоих случаях законы вероятности одинаковы, за исключением технических деталей.

Существуют и другие методы количественной оценки неопределенности, такие как теория Демпстера – Шейфера или теория возможностей , но они существенно отличаются и не совместимы с обычно понимаемыми законами вероятности.

Приложения [ править ]

Теория вероятностей применяется в повседневной жизни в опасности оценки и моделирования . Страховая отрасль и рынки используют актуарную науку для определения цен и принятия торговых решений. Правительства применяют вероятностные методы в экологическом регулировании , анализе прав ( теория надежности старения и долголетия ) и финансовом регулировании .

Хорошим примером использования теории вероятностей в торговле акциями является влияние предполагаемой вероятности любого широко распространенного ближневосточного конфликта на цены на нефть, что оказывает волновое воздействие на экономику в целом. Оценка трейдером сырьевых товаров о том, что война более вероятна, может привести к повышению или падению цен на этот товар и сигнализирует другим трейдерам об этом мнении. Соответственно, вероятности не оцениваются ни независимо, ни обязательно рационально. Теория поведенческих финансов возникла для описания влияния такого группового мышления на ценообразование, политику, мир и конфликты. ^[24]

В дополнение к финансовой оценке вероятность может использоваться для анализа тенденций в биологии (например, распространение болезней), а также в экологии (например, биологические квадраты Пеннета). Как и в случае с финансами, оценка риска может использоваться в качестве статистического инструмента для расчета вероятности возникновения нежелательных событий и может помочь в реализации протоколов, позволяющих избежать возникновения таких обстоятельств. Вероятность используется для разработки азартных игр, чтобы казино могли получать гарантированную прибыль, но при этом выплачивать игрокам достаточно частые выплаты, чтобы стимулировать продолжение игры. ^[25]

Открытие строгих методов оценки и объединения оценок вероятности изменило общество. ^{[26] [ необходима ссылка ]}

Еще одно важное применение теории вероятностей в повседневной жизни - надежность . Многие потребительские товары, такие как автомобили и бытовая электроника, используют теорию надежности при разработке продукта, чтобы снизить вероятность отказа. Вероятность отказа может повлиять на решение производителя относительно гарантии продукта . ^[27]

Модель языка кэширования и другие статистические языковые модели , которые используются при обработке естественного языка , также являются примерами приложений теории вероятностей.

Математическая обработка [ править ]

Рассмотрим эксперимент, который может дать ряд результатов. Совокупность всех возможных результатов называется пространством выборки эксперимента, иногда обозначаемым как . ^[28] силовой агрегат образца пространства формируется с учетом всех различных наборов возможных результатов. Например, прокатка матрицы может дать шесть возможных результатов. Один набор возможных результатов дает нечетное число на кубике. Таким образом, подмножество {1,3,5} является элементом набора мощности выборочного пространства бросков костей. Эти коллекции называются «событиями». В этом случае {1,3,5} означает, что кубик выпадает на нечетное число. Если результаты, которые действительно происходят, попадают в данное событие, говорят, что событие произошло.${\ displaystyle \ Omega}$

Вероятность - это способ присвоения каждому событию значения от нуля до единицы с требованием, чтобы событие состояло из всех возможных результатов (в нашем примере событие {1,2,3,4,5,6}) было присвоено значение один. Чтобы считаться вероятным, присвоение значений должно удовлетворять требованию, согласно которому для любого набора взаимоисключающих событий (событий без общих результатов, таких как события {1,6}, {3} и {2,4}) , вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, определяется суммой вероятностей всех отдельных событий. ^[29]

Вероятность события A записывается как , ^{[28] [30]} или . ^[31] Это математическое определение вероятности может быть распространено на бесконечные выборочные пространства и даже на бесчисленные выборочные пространства, используя концепцию меры.${\ Displaystyle P (A)}$ ${\ displaystyle p (A)}$${\ displaystyle {\ text {Pr}} (А)}$

Напротив или дополнение какое - либо событие А это событие [не ] (то есть событие А не происходит), часто обозначается как , ^[28] , или ; его вероятность равна P (не A ) = 1 - P ( A ) . ^[32] Например, шанс не выбросить шестерку на шестигранном кубике равен 1 - (шанс выпадения шестерки) . Для более полного лечения см. Дополнительное событие .${\ displaystyle A ', A ^ {c}}$ ${\ displaystyle {\ overline {A}}, A ^ {\ complement}, \ neg A}$${\ displaystyle {\ sim} A}$${\ displaystyle = 1 - {\ tfrac {1} {6}} = {\ tfrac {5} {6}}}$

Если два события и B происходят на одном выполнении эксперимента, это называется пересечение или совместной вероятностью из A и B , обозначается как . ^[28]${\ displaystyle P (A \ cap B)}$

Независимые события [ править ]

Если два события, и B являются независимыми , то совместная вероятность ^[30]

${\ Displaystyle P (A {\ mbox {и}} B) = P (A \ cap B) = P (A) P (B).}$

Например, если подброшены две монеты, то вероятность выпадения орла у обеих равна . ^[33]${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {4}}}$

Взаимоисключающие события [ править ]

Если событие A или событие B могут произойти, но не оба одновременно, то они называются взаимоисключающими событиями.

Если два события взаимно исключают друг друга , то вероятность и происходящий обозначается как и${\ displaystyle P (A \ cap B)}$

${\ Displaystyle P (A {\ mbox {и}} B) = P (A \ cap B) = 0}$

Если два события являются взаимоисключающими , то вероятность любого из них обозначается как и${\ Displaystyle P (A \ чашка B)}$

${\displaystyle P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)}$

Например, шанс выпадения 1 или 2 на шестигранном кубике равен${\displaystyle P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Не взаимоисключающие события [ править ]

Если события не исключают друг друга, тогда

${\displaystyle P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).}$

Например, при случайном вытягивании одной карты из обычной колоды карт шанс получить сердечко или лицевую карту (J, Q, K) (или одну и то и другое) равен , поскольку среди 52 карт одного колода, 13 - червы, 12 - лицевые карты, а 3 - обе: здесь возможности, включенные в «3, которые есть оба», включены в каждую из «13 червей» и «12 лицевых карт», но должны быть только посчитал один раз.${\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}}$

Условная вероятность [ править ]

Условные вероятности вероятность некоторого события А , учитывая наличие какогото другого события B . Условные вероятности записываются, ^[28] и читаются «вероятность А , учитывая B ». Он определяется ^[34]${\displaystyle P(A\mid B)}$

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,}$

Если then формально не определяется этим выражением. Однако можно определить условную вероятность для некоторых событий с нулевой вероятностью, используя σ-алгебру таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины ). ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle P(A\mid B)}$

Например, в сумке из 2-х красных и 2-х синих мячей (всего 4 шара) вероятность взять красный шар составляет ; однако при взятии второго мяча вероятность того, что это будет красный или синий мяч, зависит от ранее взятого мяча. Например, если был взят красный шар, то вероятность снова взять красный шар была бы равна , поскольку остались бы только 1 красный и 2 синих шара.${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1/3}$

Обратная вероятность [ править ]

В теории вероятностей и приложениях правило Байеса связывает шансы события с событием до (до) и после (после) обусловливания другого события . Шансы на событие - это просто отношение вероятностей двух событий. Когда интересует произвольно много событий , а не только два, правило можно перефразировать как апостериорное пропорционально вероятности предшествующего времени , где символ пропорциональности означает, что левая часть пропорциональна (т. Е. Равна постоянному времени) правой стороне сторона по разному, для фиксированного или заданного${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$(Ли, 2012; Берч МакГрейн, 2012). В таком виде он восходит к Лапласу (1774 г.) и Курно (1843 г.); см. Fienberg (2005). См. Обратную вероятность и правило Байеса .

Сводка вероятностей [ править ]

Сводка вероятностей

Мероприятие	Вероятность
А	${\displaystyle P(A)\in [0,1]\,}$
не А	${\displaystyle P(A^{\complement })=1-P(A)\,}$
А или В	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}}$
А и Б	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}}$
Данный B	${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,}$

Отношение к случайности и вероятности в квантовой механике [ править ]

В детерминированной вселенной, основанной на ньютоновских концепциях, не было бы вероятности, если бы все условия были известны ( демон Лапласа ) (но бывают ситуации, в которых чувствительность к начальным условиям превышает нашу способность их измерить, то есть знать их). В случае колеса рулетки , если сила руки и период действия этой силы известны, число, на котором шарик остановится, будет определенным (хотя с практической точки зрения это, вероятно, верно только для колесо рулетки, которое не было точно выровнено - как Newtonian Casino Томаса А. Бассараскрытый). Это также предполагает знание инерции и трения колеса, веса, гладкости и округлости мяча, изменений скорости руки во время поворота и так далее. Таким образом, вероятностное описание может быть более полезным, чем механика Ньютона, для анализа закономерностей результатов повторных бросков колеса рулетки. Физики сталкиваются с той же ситуацией в кинетической теории газов , где система, хотя и детерминированная в принципе , настолько сложна (с числом молекул, как правило, порядка величины постоянной Авогадро). 6,02 × 10 ²³ ), что возможно только статистическое описание его свойств.

Для описания квантовых явлений требуется теория вероятностей . ^[35] Революционное открытие в начале двадцатого века физики был случайный характер всех физических процессов , которые происходят в субатомных масштабах и регулируются законами квантовой механики . Целевая волновая функция развивается детерминированно, но, согласно копенгагенской интерпретации , она имеет дело с вероятностями наблюдения, причем результат объясняется коллапсом волновой функции при проведении наблюдения. Однако потеря детерминизма ради инструментализма не получила всеобщего одобрения. Альберт ЭйнштейнВ письме к Максу Борну известное высказывание заметил : «Я убежден, что Бог не играет в кости». ^[36] Как и Эйнштейн, Эрвин Шредингер , открывший волновую функцию, полагал, что квантовая механика является статистическим приближением лежащей в основе детерминированной реальности . ^[37] В некоторых современных интерпретациях статистической механики измерения квантовая декогеренция используется для объяснения появления субъективно вероятностных экспериментальных результатов.

См. Также [ править ]

• Шанс (значения)
• Вероятности членства в классе
• Непредвиденные обстоятельства
• Равновероятность
• Эвристика в суждении и принятии решений
• Теория вероятности
• Случайность
• Статистика
• Оценщики
• Теория оценок
• Функция плотности вероятности
• Попарная независимость

В законе

• Баланс вероятностей

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Калленберг О. (2005) Вероятностные симметрии и принципы инвариантности . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. 510 стр.  ISBN 0-387-25115-4 
• Калленберг О. (2002) Основы современной вероятности, 2-е изд. Серии Спрингера в статистике. 650 стр.  ISBN 0-387-95313-2 
• Олофссон, Питер (2005) Вероятность, статистика и стохастические процессы , Wiley-Interscience. 504 стр. ISBN 0-471-67969-0 . 

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Вероятностью

В Викиучебнике есть дополнительная информация по теме: Вероятность

Викискладе есть медиафайлы по теме вероятности .

• Виртуальные лаборатории теории вероятностей и статистики (Университет Ала-Хантсвилл)
• Вероятность в наше время на BBC
• Электронная книга вероятностей и статистики
• Эдвин Томпсон Джейнс . Теория вероятностей: логика науки . Препринт: Вашингтонский университет, (1996). - HTML-указатель со ссылками на файлы PostScript и PDF (первые три главы)
• Люди из истории вероятности и статистики (Саутгемптонский университет)
• Вероятность и статистика самых ранних использований страниц (Саутгемптонский университет)
• Самые ранние случаи использования символов в вероятности и статистике при раннем использовании различных математических символов
• Учебное пособие по вероятности и теореме Байеса для студентов первого курса Оксфордского университета
• [1] PDF-файл Антологии случайных операций (1963) на сайте UbuWeb
• Введение в вероятность - электронная книга Чарльза Гринстеда, исходный код Лори Снелл ( лицензия свободной документации GNU )
• (на английском и итальянском языках) Бруно де Финетти , Probabilità e индукция , Болонья, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (цифровая версия) 
• Лекция Ричарда П. Фейнмана о вероятности.