Аксиомы вероятности

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Аксиомы вероятности
Вероятностное пространство Образец пространства Элементарное мероприятие Мероприятие Случайная переменная Вероятностная мера
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

В аксиомах Колмогорова являются основой теории вероятностей , введенной А. Н. Колмогоровым в 1933 году ^[1] Эти аксиомы остаются центральными и имеют непосредственный вклад в математику, физические науки, и реальных случаи вероятности. ^[2] Альтернативный подход к формализации вероятности, одобренный некоторыми байесовцами , дается теоремой Кокса . ^[3]

Аксиомы [ править ]

В качестве допущения к настройке аксиомам можно суммировать следующим образом : Пусть (Ω,  F ,  P ) является мерой пространства с является вероятность некоторого события Е , а  = 1. Тогда (Ω,  F ,  P ) представляет собой вероятность того, пространство , с выборочным пространством Q, пространство событий F и вероятностной мерой  P . ^[1]${\ Displaystyle P (E)}$${\ Displaystyle P (\ Omega)}$

Первая аксиома [ править ]

Вероятность события - неотрицательное действительное число:

${\ Displaystyle P (E) \ in \ mathbb {R}, P (E) \ geq 0 \ qquad \ forall E \ in F}$

где пространство событий. Отсюда следует, что всегда конечно, в отличие от более общей теории меры . Теории, которые приписывают отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому.${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle P (E)}$

Вторая аксиома [ править ]

Это допущение единичной меры : вероятность того, что произойдет хотя бы одно из элементарных событий во всем пространстве выборки, равна 1.

${\ Displaystyle P (\ Omega) = 1.}$

Третья аксиома [ править ]

Это предположение об σ-аддитивности :

Любая счетная последовательность непересекающихся множеств (синоним взаимоисключающих событий) удовлетворяет${\ Displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots}$

${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}$

Некоторые авторы рассматривают просто конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств , а не σ-алгебра . ^[4] Распределения квазивероятностей в общем случае ослабляют третью аксиому.

Последствия [ править ]

Из аксиом Колмогорова можно вывести другие полезные правила для изучения вероятностей. Доказательства ^{[5] [6] [7]} этих правил представляют собой очень проницательную процедуру, которая иллюстрирует силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с остальными двумя аксиомами. Ниже показаны четыре непосредственных следствия и их доказательства:

Монотонность [ править ]

${\displaystyle \quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).}$

Если A является подмножеством B или равно ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Доказательство монотонности ^[5] [ править ]

Для проверки свойства монотонности зададим и , где и для . Легко видеть, что множества попарно не пересекаются и . Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что${\displaystyle E_{1}=A}$${\displaystyle E_{2}=B\setminus A}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle E_{i}=\varnothing }$${\displaystyle i\geq 3}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B}$

${\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}$

Поскольку согласно первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой серию неотрицательных чисел, и поскольку она сходится к конечному числу , мы получаем и и .${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность пустого множества [ править ]

${\displaystyle P(\varnothing )=0.}$

В некоторых случаях это не единственное событие с вероятностью 0.${\displaystyle \varnothing }$

Доказательство вероятности пустого множества [ править ]

Как показано в предыдущем доказательстве, . Однако это утверждение рассматривается от противоречия: если тогда левая часть не меньше бесконечности;${\displaystyle P(\varnothing )=0}$${\displaystyle P(\varnothing )=a}$${\displaystyle [P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})]}$${\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\varnothing )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.\end{cases}}}$

Если тогда получаем противоречие, потому что сумма не превосходит конечную. Таким образом, . Мы показали в качестве побочного продукта доказательства монотонности, что .${\displaystyle a>0}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Правило дополнения [ править ]

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

Доказательство правила дополнения [ править ]

Данные и являются взаимоисключающими, и что :${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega }$

${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})}$ ... (по аксиоме 3)

и, ... (по аксиоме 2)${\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}$

${\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}$

Числовая граница [ править ]

Из свойства монотонности сразу следует, что

${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.}$

Доказательство числовой границы [ править ]

Учитывая правило дополнения и аксиому 1 :${\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)}$ ${\displaystyle P(E^{c})\geq 0}$

${\displaystyle 1-P(E)\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow 1\geq P(E)}$

${\displaystyle \therefore 0\leq P(E)\leq 1}$

Дальнейшие последствия [ править ]

Еще одно важное свойство:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. То есть вероятность того, что произойдет A или B , - это сумма вероятностей того, что произойдет A и произойдет B , за вычетом вероятности того, что произойдет и A, и B. Доказательство этого заключается в следующем:

Во-первых,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)}$ ... (по Аксиоме 3)

Так,

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))}$(автор ).${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$

Также,

${\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)}$

и исключение из обоих уравнений дает желаемый результат.${\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))}$

Распространением закона сложения на любое количество множеств является принцип включения-исключения .

Приставляя B к дополнению A ^c к A в законе сложения, получаем

${\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}$

То есть вероятность того, что какое-либо событие не произойдет (или его дополнение ), равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.

Простой пример: подбрасывание монеты [ править ]

Рассмотрим один бросок монеты и предположим, что монета выпадет либо орлом (H), либо решкой (T) (но не обоими сразу). Не делается никаких предположений относительно того, честная ли монета.

Мы можем определить:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Из аксиом Колмогорова следует, что:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

Вероятность выпадения ни орла, ни решки равна 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

Вероятность либо голов или хвостов, является 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

Сумма вероятности выпадения решки и вероятности выпадения решки равна 1.

См. Также [ править ]

• Борелевская алгебра
• σ-алгебра
• Теория множеств
• Условная возможность
• Квазивероятность
• Полностью вероятностный дизайн

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дальнейшее чтение [ править ]

• ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика . Читает: Эддисон-Уэсли. С.  12–16 . ISBN 0-201-01503-X.
• МакКорд, Джеймс Р .; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность» . Введение в теорию вероятностей . Нью-Йорк: Макмиллан. С.  13–28 .
• Формальное определение вероятности в системе Мицара и список формально доказанных теорем по этому поводу.