Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Во многих случаях, статистическая физика использует вероятностные меры , но не все меры , которые он использует вероятностные меры. [1] [2]
Часть серии по статистике
Теория вероятности
Приложения Nuvola atlantik.png

В математике , вероятностная мера является функцией вещественной , определенной на множестве событий в вероятностном пространстве , удовлетворяющее измерение свойств , такие как счетная аддитивность . [3] Разница между вероятностной мерой и более общим понятием меры (которое включает такие понятия, как площадь или объем ) заключается в том, что вероятностная мера должна присваивать значение 1 всему вероятностному пространству.

Интуитивно свойство аддитивности говорит, что вероятность, присвоенная объединению двух непересекающихся событий с помощью меры, должна быть суммой вероятностей событий, например, значение, присвоенное «1 или 2» при броске кубика, должно быть равным сумма значений, присвоенных «1» и «2».

Вероятностные меры имеют приложения в самых разных областях, от физики до финансов и биологии.

Определение [ править ]

Вероятностная мера отображения вероятностного пространства для событий в единичном интервале .

Требования к функции μ, чтобы быть вероятностной мерой на вероятностном пространстве, заключаются в следующем:

  • μ должен возвращать результаты в единичном интервале [0, 1], возвращая 0 для пустого набора и 1 для всего пространства.
  • μ должен удовлетворятьсвойству счетной аддитивности, которое для всех счетных наборовпопарно непересекающихся множеств :

Например, учитывая три элемента 1, 2 и 3 с вероятностями 1/4, 1/4 и 1/2, значение, присвоенное {1, 3}, равно 1/4 + 1/2 = 3/4, как в диаграмма справа.

Условная вероятность на основе пересечения событий определяется как:

удовлетворяет требованиям вероятностной меры, пока не равно нулю. [4]

Вероятностные меры отличаются от более общего понятия нечетких мер, в котором нет требования, чтобы сумма нечетких значений равнялась 1, а аддитивное свойство заменяется отношением порядка, основанным на включении множества .

Примеры приложений [ править ]

Рыночные меры, которые присваивают вероятности пространствам финансового рынка на основе реальных движений рынка, являются примерами вероятностных показателей, которые представляют интерес в математических финансах , например, в ценообразовании производных финансовых инструментов . [5] Например, нейтральная к риску мера - это вероятностная мера, которая предполагает, что текущая стоимость активов является ожидаемой величиной будущей выплаты, принятой в отношении той же нейтральной к риску меры (т.е. рассчитанной с использованием соответствующей функции плотности нейтральной к риску ), и дисконтированы по безрисковой ставке. Если существует уникальная мера вероятности, которую необходимо использовать для определения цены активов на рынке, то рынок называется полным рынком . [6]

Не все меры, которые интуитивно представляют шанс или вероятность, являются вероятностными. Например, хотя фундаментальное понятие системы в статистической механике - это пространство мер, такие меры не всегда являются вероятностными. [1] В общем, в статистической физике, если мы рассматриваем предложения вида «вероятность того, что система S принимает состояние A равно p», геометрия системы не всегда приводит к определению вероятностной меры при конгруэнтности , хотя это может происходить в случае систем с одной степенью свободы. [2]

Вероятностные меры также используются в математической биологии . [7] Например, в сравнительном анализе последовательностей мера вероятности может быть определена для вероятности того, что вариант может быть допустимым для аминокислоты в последовательности. [8]

Ультрафильтры можно понимать как вероятностные меры с оценками, что позволяет проводить множество интуитивных доказательств, основанных на мерах. Например, теорема Хиндмана может быть доказана путем дальнейшего исследования этих мер, в частности , их свертки .

См. Также [ править ]

  • Мера Бореля
  • Нечеткая мера
  • Мера Хаара
  • Мера мартингейла
  • Мера Лебега

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Курс математики для студентов-физиков, Том 2 Пола Бамберга, Шломо Штернберг 1991 ISBN  0-521-40650-1 стр. 802
  2. ^ a b Концепция вероятности в статистической физике Яира М. Гуттмана 1999 ISBN 0-521-62128-3 стр. 149 
  3. ^ Введение в теоретико- мерную вероятность Джорджем Г. Руссасом 2004 ISBN 0-12-599022-7 стр. 47 
  4. ^ Вероятность, случайные процессы и эргодические свойства Робертом М. Греем 2009 ISBN 1-4419-1089-1 стр. 163 
  5. ^ Количественные методы ценообразования деривативов Доминго Тавелла 2002 ISBN 0-471-39447-5 стр. 11 
  6. ^ Необратимые решения в условиях неопределенности Светлана И. Боярченко, Серж Левендорскийĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 стр. 11 
  7. ^ Математические методы в биологии Дж. Дэвидом Логаном, Уильямом Р. Волесенским 2009 ISBN 0-470-52587-8 стр. 195 
  8. ^ Обнаружение биомолекул механизмов с вычислительной биологией Франка Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 стр 127 

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Джон Вили. ISBN 0-471-00710-2.
  • Эш, Роберт Б .; Doléans-Dade, Кэтрин А. (1999). Теория вероятностей и меры . Академическая пресса. ISBN 0-12-065202-1.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с мерой вероятности на Викискладе?