Событие (теория вероятностей)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  Теория вероятности «событий»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Аксиомы вероятности
Вероятностное пространство Образец пространства Элементарное мероприятие Мероприятие Случайная переменная Вероятностная мера
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

В теории вероятности , событие представляет собой набор из результатов в качестве эксперимента (а подмножества из выборки пространства ) , к которому вероятность назначена. ^[1] Один результат может быть элементом множества разных событий, ^[2] и разные события в эксперименте обычно не одинаково вероятны, поскольку они могут включать в себя очень разные группы результатов. ^[3] Событие определяет дополнительное событие , а именно дополнительный набор (событие не происходит), и вместе они определяют испытание Бернулли : произошло событие или нет?

Как правило, когда выборочное пространство конечно, любое подмножество выборочного пространства этого события ( я . Е . Все элементы силового набора образца пространств определяются как события). Однако этот подход не работает в тех случаях, когда пространство выборки бесконечно . Таким образом, при определении вероятностного пространства можно и часто необходимо исключить определенные подмножества выборочного пространства из событий (см. События в вероятностных пространствах ниже).

Простой пример [ править ]

Если мы соберем колоду из 52 игральных карт без джокеров и возьмем одну карту из колоды, то пробное пространство будет набором из 52 элементов, поскольку каждая карта является возможным исходом. Однако событие - это любое подмножество пространства выборки, включая любой одноэлементный набор ( элементарное событие ), пустой набор (невозможное событие с нулевой вероятностью) и само пространство выборки (определенное событие с вероятностью единица). Другие события являются собственными подмножествами выборочного пространства, содержащими несколько элементов. Так, например, к потенциальным событиям относятся:

• «Красное и черное одновременно, не будучи шутником» (0 элементов),
• «Пятерка червей» (1 элемент),
• «Король» (4 элемента),
• «Лицевая карта» (12 элементов),
• «Пика» (13 элементов),
• «Лицевая карта или красная масть» (32 элемента),
• «Карта» (52 элемента).

Поскольку все события являются наборами, они обычно записываются как наборы (например, {1, 2, 3}) и представляются графически с помощью диаграмм Венна . В ситуации, когда каждый исход в пространстве выборки Ω равновероятен, вероятность события A определяется следующей формулой : ${\ displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ mathrm {P} (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \, \ \ left ({\ text {альтернативно:}} \ \ Pr (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \ right)}$

Это правило можно легко применить к каждому из приведенных выше примеров событий.

События в вероятностных пространствах [ править ]

Определение всех подмножеств пространства выборки как событий хорошо работает, когда существует только конечное число результатов, но вызывает проблемы, когда пространство выборки бесконечно. Для многих стандартных распределений вероятностей , таких как нормальное распределение , выборочное пространство - это набор действительных чисел или некоторое подмножество действительных чисел . Попытки определить вероятности для всех подмножеств действительных чисел сталкиваются с трудностями, когда кто-то рассматривает наборы с «плохим поведением» , например неизмеримые . Следовательно, необходимо ограничить внимание более ограниченным семейством подмножеств. Для стандартных инструментов теории вероятностей, таких как совместные и условные вероятности., чтобы работать, необходимо использовать σ-алгебру , т. е. замкнутое относительно дополняемости семейство и счетные объединения его членов. Наиболее естественный выбор σ-алгебры - измеримое по Борелю множество, полученное из объединений и пересечений интервалов. Однако более широкий класс измеримых множеств по Лебегу оказывается более полезным на практике.

В общем теоретико-мерном описании вероятностных пространств событие может быть определено как элемент выбранной σ-алгебры подмножеств выборочного пространства. Согласно этому определению, любое подмножество выборочного пространства, которое не является элементом σ-алгебры, не является событием и не имеет вероятности. Однако при разумной спецификации вероятностного пространства все интересующие события являются элементами σ-алгебры.

Примечание об обозначениях [ править ]

Несмотря на то, что события являются подмножествами некоторого пространства выборки Ω, они часто записываются как предикаты или индикаторы, включающие случайные величины . Например, если X - случайная величина с действительным знаком, определенная в пространстве выборок Ω, событие

${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,}$

можно записать более удобно как, просто,

${\displaystyle u<X\leq v\,.}$

Это особенно часто встречается в формулах для вероятности , таких как

${\displaystyle \Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.}$

Множество U < X ≤ v является примером прообраза при отображении X , потому что , если и только если .${\displaystyle \omega \in X^{-1}((u,v])}$${\displaystyle u<X(\omega )\leq v}$

См. Также [ править ]

• Дополнительное мероприятие
• Элементарное мероприятие
• Независимое мероприятие
• Попарно независимые события

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с событием (теория вероятностей) .

• «Случайное событие» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Формальное определение в системе Мицар .