Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Диаграмма Венна, показывающая символы верхнего регистра, используемые в греческом , латинском и кириллическом алфавитах
Часть серии по статистике
Теория вероятности
Приложения Nuvola atlantik.png

Диаграмма Венна , которая также называется первичной схемой , , набор диаграмма , или логическая блок - схема , является схемой , которая показывает все возможные логические отношения между конечным набором различных множеств . Эти диаграммы изображают элементы в виде точек на плоскости, а также наборы как области внутри замкнутых кривых. Диаграмма Венна состоит из нескольких перекрывающихся замкнутых кривых, обычно кругов, каждая из которых представляет собой набор. Точки внутри кривой, помеченные S, представляют элементы множества S , а точки за пределами границы представляют элементы, не входящие в множество S. Это поддается интуитивной визуализации; например, множество всех элементов , которые являются членами обоих множеств S и Т , обозначим S  ∩  T и читать «пересечение S и Т », представлена визуально по области перекрытия областей S и Т . [1] [2]

На диаграммах Венна кривые всячески перекрываются, показывая все возможные отношения между множествами. Таким образом, они являются частным случаем диаграмм Эйлера , которые не обязательно показывают все отношения. Диаграммы Венна были созданы около 1880 года Джоном Венном . Они используются для обучения элементарной теории множеств , а также для иллюстрации простых взаимосвязей множеств в теории вероятностей , логики , статистики , лингвистики и информатики .

Диаграмма Венна, в которой площадь каждой формы пропорциональна количеству содержащихся в ней элементов, называется пропорциональной площади (или масштабированной ) диаграммой Венна .

Пример [ править ]

Наборы A (существа с двумя ногами) и B (существа, которые могут летать)

В этом примере используются два набора A и B, представленные здесь в виде цветных кружков. Оранжевый кружок, набор A, представляет все типы живых существ, которые являются двуногими. Синий круг, набор B, представляет живые существа, которые могут летать. Каждый отдельный тип существ можно представить как точку где-нибудь на диаграмме. Живые существа, которые могут летать и иметь две ноги, например попугаи, входят в оба набора, так что они соответствуют точкам в области, где синие и оранжевые круги перекрываются. Эта перекрывающаяся область будет содержать только те элементы (в данном примере, существа), которые являются членами как набора A (двуногие существа), так и набора B (летающие существа).

Люди и пингвины двуногие, и поэтому они находятся в оранжевом круге, но поскольку они не могут летать, они появляются в левой части оранжевого круга, где он не перекрывается с синим кругом. У комаров шесть ног и они летают, поэтому точка комаров находится в той части синего круга, которая не пересекается с оранжевым. Существа, которые не являются двуногими и не могут летать (например, киты и пауки), будут представлены точками за пределами обоих кругов.

В сочетании область множеств А и В называется объединением А и В, обозначим через A ∪ B . [1] [3] Союз в этом случае включает всех живых существ, которые либо двуногие, либо могут летать (или оба).

Область включена в А и В, где перекрываются два множества, называется пересечение А и В, обозначим через A ∩ B . [1] [3] В этом примере пересечение двух множеств не пусто, потому что есть точки, которые представляют существ, которые находятся как в оранжевом, так и в синем кругах.

История [ править ]

Витраж с диаграммой Венна в Gonville and Caius College, Кембридж

Диаграммы Венна были введены в 1880 году Джоном Венном в статье под названием «О схематическом и механическом представлении суждений и рассуждений» в Philosophical Magazine и Journal of Science о различных способах представления предложений с помощью диаграмм. [4] [5] [6] Использование этих типов диаграмм в формальной логике , по словам Фрэнка Рускии Марка Уэстона, «нелегко проследить историю, но несомненно, что диаграммы, которые обычно ассоциируются с Венном, на самом деле возникли намного раньше. Однако они справедливо связаны с Венном, потому что он всесторонне исследовал и формализовал их использования, и был первым, кто их обобщил ». [7]

Сам Венн не использовал термин «диаграмма Венна» и называл свое изобретение « кругами Эйлера ». [6] Например, в первом предложении своей статьи 1880 года Венн пишет: «Схемы схематического представления были так привычно введены в логические трактаты в течение последнего столетия или около того, что многие читатели, даже те, кто не изучал профессионально Можно предположить, что логика знакома с общей природой и целью таких устройств. Из этих схем только одна, а именно та, которая обычно называется «кругами Эйлера», получила какое-либо всеобщее признание ... » [4] [5] Льюис Кэрролл ( Чарльз Л. Доджсон) включает «Метод диаграмм Венна», а также «Метод диаграмм Эйлера» в «Приложение, адресованное учителям» его книги « Символическая логика» (4-е издание, опубликованное в 1896 году). Термин «диаграмма Венна» позже был использован Кларенсом Ирвингом Льюисом в 1918 году в его книге «Обзор символической логики» . [7] [8]

Диаграммы Венна очень похожи на диаграммы Эйлера , которые были изобретены Леонардом Эйлером в 18 веке. [примечание 1] [9] [10] М. Э. Барон отметил, что Лейбниц (1646–1716) создавал подобные диаграммы до Эйлера в 17 веке, но большая часть из них не была опубликована. [11] Она также наблюдает даже более ранние диаграммы типа Эйлера, написанные Рамоном Лулллем в 13 веке. [12]

В 20 веке диаграммы Венна получили дальнейшее развитие. Дэвид Уилсон Хендерсон показал в 1963 году, что существование n- диаграммы Венна с n- кратной вращательной симметрией подразумевает, что n было простым числом . [13] Он также показал, что такие симметричные диаграммы Венна существуют, когда n равно пяти или семи. В 2002 году Питер Гамбургер нашел симметричные диаграммы Венна для n = 11, а в 2003 году Григгс, Киллиан и Сэвидж показали, что симметричные диаграммы Венна существуют для всех других простых чисел. Эти объединенные результаты показывают, что вращательно-симметричные диаграммы Венна существуют тогда и только тогда, когда n - простое число.[14]

Диаграммы Венна и диаграммы Эйлера были включены как часть обучения теории множеств , как часть нового математического движения в 1960-х годах. С тех пор они также были включены в учебные программы других областей, таких как чтение. [15]

В 2020 году сексолог доктор Линдси Доу начала использовать слово « пизда » для обозначения пересечения точек А и В на диаграмме Венна. Это была попытка добавить это слово в словарь к 2023 году. [16] [ нужен лучший источник ]

Обзор [ править ]

См. Также: Set (математика) § Основные операции

  • Пересечение двух наборов

  • Союз двух наборов

  • Симметричная разность двух множеств

  • Относительное дополнение в А (левый) в B (справа)

  • Абсолютное дополнение к A в U

Диаграмма Венна состоит из набора простых замкнутых кривых, нарисованных на плоскости. Согласно Льюису [8], «принцип этих диаграмм состоит в том, что классы [или множества ] должны быть представлены регионами в таком отношении друг к другу, что все возможные логические отношения этих классов могут быть указаны на одной диаграмме. То есть, диаграмма изначально оставляет место для любого возможного отношения классов, а фактическое или данное отношение затем может быть определено, указав, что некоторая конкретная область является нулевой или не является нулевой ». [8] : 157

Диаграммы Венна обычно содержат перекрывающиеся круги . Внутренняя часть круга символически представляет элементы набора, а внешняя часть представляет элементы, которые не являются членами набора. Например, на диаграмме Венна с двумя наборами один круг может представлять группу всех деревянных предметов, а другой круг может представлять набор всех таблиц. Перекрывающаяся область или пересечение будет тогда представлять набор всех деревянных столов. Могут использоваться формы, отличные от кругов, как показано ниже на диаграммах высших наборов самого Венна. Диаграммы Венна обычно не содержат информации об относительных или абсолютных размерах ( мощности ) множеств. То есть они схематические диаграммы обычно нарисованы не в масштабе.

Диаграммы Венна похожи на диаграммы Эйлера . Однако диаграмма Венна для n наборов компонентов должна содержать все 2 n гипотетически возможных зон, которые соответствуют некоторой комбинации включения или исключения в каждом из наборов компонентов. [17] Диаграммы Эйлера содержат только реально возможные зоны в данном контексте. На диаграммах Венна заштрихованная зона может представлять пустую зону, тогда как на диаграмме Эйлера соответствующая зона отсутствует на диаграмме. Например, если один набор представляет молочные продукты, а другой - сыры , диаграмма Венна содержит зону для сыров, которые не являются молочными продуктами. Предполагая, что в контексте сырозначает какой-то тип молочного продукта, на диаграмме Эйлера зона сыра полностью находится внутри зоны молочного продукта - зоны для (несуществующего) немолочного сыра нет. Это означает, что по мере увеличения количества контуров диаграммы Эйлера обычно становятся менее сложными визуально, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если количество непустых пересечений невелико. [18]

Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть в следующем примере. Возьмите три комплекта:

Диаграммы Эйлера и Венна этих множеств:

  • Диаграмма Эйлера

  • Диаграмма Венна

Расширения на большее количество наборов [ править ]

Диаграммы Венна обычно представляют два или три набора, но есть формы, которые позволяют использовать более высокие числа. Ниже показано, что четыре пересекающиеся сферы образуют диаграмму Венна высшего порядка, которая имеет симметрию симплекса и может быть представлена ​​визуально. 16 пересечений соответствуют вершинам тессеракта (или ячейкам 16-ячейки соответственно).




Для большего количества наборов некоторая потеря симметрии диаграмм неизбежна. Венн стремился найти «симметричные фигуры ... элегантные сами по себе» [9], которые представляли большее количество множеств, и он разработал элегантную диаграмму из четырех множеств, используя эллипсы (см. Ниже). Он также дал конструкцию диаграмм Венна для любого количества наборов, где каждая последующая кривая, ограничивающая набор, чередуется с предыдущими кривыми, начиная с диаграммы с тремя кругами.

  • Конструкция Венна для четырех наборов

  • Конструкция Венна для пяти наборов

  • Конструкция Венна для шести наборов

  • Диаграмма Венна из четырех множеств с использованием эллипсов

  • Non-пример: Эта схема Эйлера является не Венна диаграмма для четырех наборов , как это имеет только 13 регионов ( за исключением внешней стороны); нет области, где встречаются только желтый и синий или только красный и зеленый круги.

  • Диаграмма Венна с пятью наборами, использующая конгруэнтные эллипсы в пятичастном осесимметричном расположении, разработанное Бранко Грюнбаумом . Этикетки были упрощены для большей читаемости; например, обозначает ∩ B C ∩ C C ∩ D C ∩ E с , в то время как до н.э. обозначает с ∩ B ∩ C ∩ D C ∩ E .

  • Шестиступенчатая диаграмма Венна, состоящая только из треугольников (интерактивная версия)

Диаграммы Эдвардса – Венна [ править ]

  • Три комплекта

  • Четыре комплекта

  • Пять наборов

  • Шесть комплектов

Энтони Уильям Фэрбэнк Эдвардс построил серию диаграмм Венна для большего числа множеств, сегментируя поверхность сферы, которые стали известны как диаграммы Эдвардса-Венна. [19] Например, три множества могут быть легко представлены, если взять три полусферы сферы под прямым углом ( x  = 0, y  = 0 и z  = 0). Четвертый набор можно добавить к изображению, взяв кривую, похожую на шов на теннисном мяче, который изгибается вверх и вниз вокруг экватора, и так далее. Полученные наборы затем можно спроецировать обратно на плоскость, чтобы получить диаграммы зубчатых колес с увеличивающимся числом зубцов, как показано здесь. Эти схемы были придуманы при проектировании витража.окно в память Венна. [19]

Другие диаграммы [ править ]

Диаграммы Эдвардса – Венна топологически эквивалентны диаграммам, разработанным Бранко Грюнбаумом , которые основывались на пересекающихся многоугольниках с увеличивающимся числом сторон. Они также являются двумерными представлениями гиперкубов .

Генри Джон Стивен Смит разработал аналогичные диаграммы n -множеств, используя синусоидальные кривые [19] с рядом уравнений

Чарльз Латвидж Доджсон (он же Льюис Кэрролл ) разработал диаграмму из пяти наборов, известную как квадрат Кэрролла . Хоакин и Бойлс, с другой стороны, предложили дополнительные правила для стандартной диаграммы Венна, чтобы учесть определенные проблемные случаи. Например, что касается проблемы представления единичных утверждений, они предлагают рассматривать круг диаграммы Венна как представление множества вещей и использовать логику первого порядка и теорию множеств, чтобы рассматривать категориальные утверждения как утверждения о множествах. Кроме того, они предлагают рассматривать отдельные утверждения как утверждения о принадлежности к множеству.. Так, например, чтобы представить утверждение «a есть F» на этой переработанной диаграмме Венна, маленькая буква «a» может быть помещена внутри круга, который представляет множество F. [20]

Понятия, связанные с данным [ править ]

Диаграмма Венна как таблица истинности

Диаграммы Венна соответствуют таблицам истинности для предложений , и т.д., в том смысле , что каждая область диаграммы Венна соответствует одной строке таблицы истинности. [21] [22] Этот тип также известен как диаграмма Джонстона. Другой способ представления множеств - это R-диаграммы Джона Ф. Рэндольфа .

См. Также [ править ]

  • Экзистенциальный граф ( Чарльз Сандерс Пирс )
  • Логические связки
  • Информационная диаграмма
  • Диаграмма Маркуанда (и в качестве дальнейшего вывода диаграмма Вейча и карта Карно )
  • Сферический октаэдр - стереографическая проекция правильного октаэдра образует трехкомпонентную диаграмму Венна в виде трех ортогональных больших окружностей, каждый из которых разделяет пространство на две половины.
  • Модель трех кругов
  • Triquetra
  • Vesica piscis

Примечания [ править ]

  1. ↑ В « Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de Physique et de Philésphie» [Письма к немецкой принцессе на различные физические и философские темы] (Санкт-Петербург, Россия: l'Academie Impériale des Sciences, 1768), том 2, страницы 95-126. В статье Венна, однако, он предполагает, что идея построения диаграмм возникла еще до Эйлера и была приписана Кристиану Вайзу или Иоганну Кристиану Ланге (в книге Ланге Nucleus Logicae Weisianae (1712)).

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c "Полный список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 5 сентября 2020 .
  2. ^ «Пересечение множеств» . web.mnstate.edu . Проверено 5 сентября 2020 .
  3. ^ a b «Множества и диаграммы Венна» . www.mathsisfun.com . Проверено 5 сентября 2020 .
  4. ^ a b Венн, Джон (июль 1880 г.). "I. О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждений" (PDF) . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 5. 10 (59): 1–18. DOI : 10.1080 / 14786448008626877 . Архивировано (PDF) из оригинала на 2017-05-16. [1] [2]
  5. ^ a b Венн, Джон (1880). «О применении геометрических диаграмм для разумных представлений логических предложений» . Труды Кембриджского философского общества . 4 : 47–59.
  6. ^ a b Сандифер, Эд (2003). «Как это сделал Эйлер» (PDF) . MAA Online . Математическая ассоциация Америки (MAA) . Проверено 26 октября 2009 .
  7. ^ a b Раски, Фрэнк ; Уэстон, Марк (18.06.2005). «Обзор диаграмм Венна» . Электронный журнал комбинаторики .
  8. ^ a b c Льюис, Кларенс Ирвинг (1918). Обзор символической логики . Беркли: Калифорнийский университет Press .
  9. ^ a b Венн, Джон (1881). Символическая логика . Макмиллан . п. 108 . Проверено 9 апреля 2013 .
  10. ^ Mac Queen, Gailand (октябрь 1967). Логическая диаграмма (PDF) (Диссертация). Университет Макмастера . Архивировано из оригинального (PDF) 14 апреля 2017 года . Проверено 14 апреля 2017 . (NB. Имеет подробную историю развития логических диаграмм, включая, помимо прочего, диаграмму Венна.)
  11. ^ Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1903) [ок. 1690]. "De Formae Logicae per linearum ductus". В Couturat, Луи (ред.). Opuscules et fragmentes inedits de Leibniz (на латыни). С. 292–321.
  12. ↑ Барон, Маргарет Э. (май 1969). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». Математический вестник . 53 (384): 113–125. DOI : 10.2307 / 3614533 . JSTOR 3614533 . 
  13. ^ Хендерсон, Дэвид Уилсон (апрель 1963 г.). «Диаграммы Венна для более четырех классов». Американский математический ежемесячник . 70 (4): 424–426. DOI : 10.2307 / 2311865 . JSTOR 2311865 . 
  14. ^ Раски, Фрэнк ; Сэвидж, Карла Д .; Вагон, Стэн (декабрь 2006 г.). "Поиск простых симметричных диаграмм Венна" (PDF) . Уведомления AMS . 53 (11): 1304–1311.
  15. ^ «Стратегии чтения диаграмм Венна для понимания прочитанного» . Архивировано из оригинала на 2009-04-29 . Проверено 20 июня 2009 .
  16. ^ «Новое определение влагалища - YouTube» . www.youtube.com . Проверено 28 декабря 2020 .
  17. ^ Weisstein, Эрик В. "Диаграмма Венна" . mathworld.wolfram.com . Проверено 5 сентября 2020 .
  18. ^ «Диаграммы Эйлера 2004: Брайтон, Великобритания: 22–23 сентября» . Проект «Рассуждение с помощью диаграмм», Кентский университет. 2004 . Проверено 13 августа 2008 .
  19. ^ a b c Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбэнк (2004). Шестеренки разума: история диаграмм Венна . Балтимор, Мэриленд, США: Издательство Университета Джона Хопкинса . п. 65. ISBN 978-0-8018-7434-5..
  20. ↑ Хоакин, Иеремия Джовен; Бойлз, Роберт Джеймс М. (июнь 2017 г.). "Обучение силлогистической логике с помощью переоборудованной диаграммной техники Венна" . Философия преподавания . 40 (2): 161–180. DOI : 10,5840 / teachphil201771767 . Архивировано 21 ноября 2018 года . Проверено 12 мая 2020 .
  21. ^ Гримальди, Ральф П. (2004). Дискретная и комбинаторная математика . Бостон: Эддисон-Уэсли . п. 143. ISBN 978-0-201-72634-3.
  22. ^ Джонсон, Дэвид Л. (2001). «3.3 Законы» . Элементы логики через числа и множества . Серия «Математика бакалавриата Springer». Берлин, Германия: Springer-Verlag . п. 62 . ISBN 978-3-540-76123-5.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Махмудиан, Эбадолла С .; Rezaie, M .; Ватан, Ф. (март 1987 г.). «Обобщение диаграммы Венна» (PDF) . Восемнадцатая ежегодная иранская математическая конференция . Тегеран и Исфахан, Иран. Архивировано из оригинального (PDF) на 2017-05-01 . Проверено 1 мая 2017 .
  • Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбэнк (1989-01-07). «Диаграммы Венна для многих множеств». Новый ученый . 121 (1646): 51–56.
  • Уоткинсон, Джон (1990). «4.10. Расстояние Хэмминга». Кодирование для цифровой записи . Стоунхэм, Массачусетс, США: Focal Press . стр. 94–99, складной на спине. ISBN 978-0-240-51293-8. (NB. Книга поставляется с 3-страничным разворотом семибитовой цилиндрической диаграммы Венна.)
  • Стюарт, Ян (июнь 2003 г.) [1992]. «Глава 4. Шестерни разума» . Еще одна прекрасная математика, в которую вы меня втянули (перепечатка 1-го изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. ( WH Freeman ). С. 51–64. ISBN 978-0-486-43181-9.
  • Гласснер, Эндрю (2004). «Венн и сейчас». Морфы, кряквы и монтаж: компьютерное воображение . Уэлсли, Массачусетс, США: А.К. Петерс . С. 161–184. ISBN 978-1568812311.
  • Мамакани, Халег; Раски, Фрэнк (27.07.2012). «Новая роза: первая простая симметричная диаграмма 11-Венна» . п. 6452. arXiv : 1207.6452 . Bibcode : 2012arXiv1207.6452M . Архивировано 01 мая 2017 года . Проверено 1 мая 2017 .

Внешние ссылки [ править ]

  • "Диаграмма Венна" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Логическая игра Льюиса Кэрролла - Венн против Эйлера в разорванном узле
  • Шесть наборов диаграмм Венна, составленных из треугольников
  • Интерактивная диаграмма Венна из семи наборов
  • VBVenn - бесплатная программа с открытым исходным кодом для расчета и построения количественных двухкружных диаграмм Венна.