В теории вероятностей , неравенство Буля , также известное как союз связан , говорит , что для любых конечномерного или счетного множества из событий , вероятность того, что по крайней мере один из событий происходят не больше , чем сумма вероятностей отдельных событий. Неравенство Буля названо в честь Джорджа Буля . [1]
Формально для счетного множества событий A 1 , A 2 , A 3 , ... имеем
п ( ⋃ я А я ) ≤ ∑ я п ( А я ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} {\ mathbb {P}} (A_ {i}).} В мере теоретико термины, неравенство Буля вытекает из того факта , что мера (и , конечно , любая вероятностная мера ) является σ - полуаддитивно .
Доказательство с помощью индукции Неравенство Буля может быть доказано для конечных наборов событий методом индукции.
Для п знак равно 1 {\ Displaystyle п = 1} случае следует, что
п ( А 1 ) ≤ п ( А 1 ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}).} По делу п {\ displaystyle n} , у нас есть
п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ) ≤ ∑ я знак равно 1 п п ( А я ) . {\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb { P}} (A_ {i}).} С п ( А ∪ B ) знак равно п ( А ) + п ( B ) - п ( А ∩ B ) , {\ Displaystyle \ mathbb {P} (A \ чашка B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B),} и поскольку операция объединения ассоциативна , мы имеем
п ( ⋃ я знак равно 1 п + 1 А я ) знак равно п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ) + п ( А п + 1 ) - п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ∩ А п + 1 ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) - \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right).} С
п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ∩ А п + 1 ) ≥ 0 , {\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ cap A_ {n + 1} \ right) \ geq 0,} по первой аксиоме вероятности имеем
п ( ⋃ я знак равно 1 п + 1 А я ) ≤ п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ) + п ( А п + 1 ) , {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}),} и поэтому
п ( ⋃ я знак равно 1 п + 1 А я ) ≤ ∑ я знак равно 1 п п ( А я ) + п ( А п + 1 ) знак равно ∑ я знак равно 1 п + 1 п ( А я ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n + 1} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P } (A_ {i}) + \ mathbb {P} (A_ {n + 1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ mathbb {P} (A_ {i}).} Доказательство без использования индукции Для любых мероприятий в А 1 , А 2 , А 3 , … {\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ точки} в нашем вероятностном пространстве у нас есть
п ( ⋃ я А я ) ≤ ∑ я п ( А я ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).} Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если B 1 , B 2 , B 3 , … {\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots} являются непересекающиеся подмножества вероятностного пространства , то
п ( ⋃ я B я ) знак равно ∑ я п ( B я ) ; {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i});} это называется счетной аддитивностью.
Если B ⊂ А , {\ Displaystyle B \ подмножество A,} тогда п ( B ) ≤ п ( А ) . {\ Displaystyle \ mathbb {P} (B) \ leq \ mathbb {P} (A).}
Действительно, из аксиом вероятностного распределения
п ( А ) знак равно п ( B ) + п ( А - B ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (AB).} Обратите внимание, что оба условия справа неотрицательны.
Теперь нам нужно изменить наборы А я {\ displaystyle A_ {i}} , поэтому они становятся непересекающимися.
B я знак равно А я - ⋃ j знак равно 1 я - 1 А j . {\ displaystyle B_ {i} = A_ {i} - \ bigcup _ {j = 1} ^ {i-1} A_ {j}.} Так что если B я ⊂ А я {\ displaystyle B_ {i} \ subset A_ {i}} , тогда мы знаем
⋃ я знак равно 1 ∞ B я знак равно ⋃ я знак равно 1 ∞ А я . {\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} B_ {i} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.} Следовательно, мы можем вывести следующее уравнение
п ( ⋃ я А я ) знак равно п ( ⋃ я B я ) знак равно ∑ я п ( B я ) ≤ ∑ я п ( А я ) . {\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i} B_ {i} \ right) = \ sum _ {i} \ mathbb {P} (B_ {i}) \ leq \ sum _ {i} \ mathbb {P} (A_ {i}).} Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхнюю и нижнюю границы вероятности конечных объединений событий. [2] Эти оценки известны как неравенства Бонферрони в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Bonferroni (1936) .
Определять
S 1 знак равно ∑ я знак равно 1 п п ( А я ) , {\ displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mathbb {P}} (A_ {i}),} а также
S 2 знак равно ∑ 1 ≤ я < j ≤ п п ( А я ∩ А j ) , {\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {1 \ leq i также как и
S k знак равно ∑ 1 ≤ я 1 < ⋯ < я k ≤ п п ( А я 1 ∩ ⋯ ∩ А я k ) {\ displaystyle S_ {k}: = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ cdots для всех целых k из {3, ..., n }.
Тогда для нечетного k из {1, ..., n },
п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ) ≤ ∑ j знак равно 1 k ( - 1 ) j - 1 S j , {\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j},} и для четного k из {2, ..., n },
п ( ⋃ я знак равно 1 п А я ) ≥ ∑ j знак равно 1 k ( - 1 ) j - 1 S j . {\ displaystyle {\ mathbb {P}} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {j-1} S_ {j}.} Неравенство Буля является исходным случаем, k = 1. Когда k = n , то равенство выполняется, и результирующее тождество является принципом включения-исключения .
Бонферрони, Карло Э. (1936), «Теория статистики делле класса и вычислений вероятности», Pubbl. d. R. Ist. Супер. di Sci. Эконом. e Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8 : 1–62, Zbl 0016.41103 Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и идентичности типа включения-исключения , конспект лекций по математике, 1826 , Берлин: Springer-Verlag , стр. Viii + 113, ISBN 3-540-20025-8 , MR 2019293 , Zbl 1026.05009 Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями , вероятностью и их приложениями, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. X + 269, ISBN 0-387-94776-0 , Руководство по ремонту 1402242 , Zbl 0869.60014 Галамбос, Янош (1977), "Бонферроните неравенство" , Анналы вероятностей , 5 (4): 577-581, DOI : 10,1214 / AOP / 1176995765 , JSTOR 2243081 , МР 0448478 , Zbl +0369,60018Галамбос, Янош (2001) [1994], "Неравенства Бонферрони" , Энциклопедия математики , EMS Press Эта статья включает материал из неравенств Бонферрони на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .